1、2002 年第十九届全国中学生物理竞赛预复赛试题及解答 目 录 第十九届全国中学生物理竞赛预赛试卷 1 第十九届全国中学生物理竞赛预赛试题参考解答、评分标准 4 第十九届全国中学生物理竞赛复赛试题 17 第十九届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答 20 1 第十九届全国中学生物理竞赛预赛试卷 题题 号号 一一 二二 三三 四四 五五 六六 七七 总计总计 得得 分分 全卷共七题，总分为全卷共七题，总分为 140 分分 一、 （15 分）今年 3 月我国北方地区遭遇了近 10 年来最严重的沙尘暴天气现把沙尘上扬后的情况简化为 如下情景：v为竖直向上的风速，沙尘颗粒被扬起后悬浮在空中（不动） 这时
2、风对沙尘的作用力相当于空 气不动而沙尘以速度v竖直向下运动时所受的阻力此阻力可用下式表达 2 fAv 其中为一系数，A为沙尘颗粒的截面积，为空气密度 （1）若沙粒的密度 33 S 2.8 10 kg m ，沙尘颗粒为球形，半径 4 2.5 10mr ，地球表面处空气密 度 3 0 1.25kg m ，0.45，试估算在地面附近，上述v的最小值 1 v （2）假定空气密度随高度h的变化关系为 0(1 )Ch，其中 0 为0h 处的空气密度，C为一常量， 41 1.18 10mC ，试估算当 1 9.0m sv 时扬沙的最大高度 （不考虑重力加速度随高度的变化） 二、 （20 分）图预 19-2
3、所示电路中，电池的电动势为E， 两个电容器的电容皆为C，K 为一单刀双掷开关。开始时 两电容器均不带电 （1）第一种情况，现将 K 与a接通，达到稳定，此过程 中电池内阻消耗的电能等于_； 再将 K 与a断开 而与b接通，此过程中电池供给的电能等于_。 （2）第二种情况，现将 K 与b接通，达到稳定，此过程 中电池内阻消耗的电能等于_； 再将 K 与b断开 而与a接通，此过程中电池供给的电能等于_。 三、 （20 分）据新华社报道，为了在本世纪初叶将我国的航天员送上太空，2002 年 3 月 25 日 22 时 15 分， 我国成功地发射了一艘无人试验飞船。在完成预定任务后，飞船于 4 月 1
4、 日 16 时 51 分安全着陆，共绕地 球飞行 108 圈。 （1）飞船的名称是什么？ （2）飞船在运行期间，按照地面指挥控制中心的指令成功地实施了数百个动作，包括从椭圆轨道变换成 圆轨道等假如把飞船从发射到着陆的整个过程中的运动都当作圆周运动处理，试粗略估计飞船离地面的 平均高度已知地球半径 6 6.37 10 mR，地球表面处的重力加速度 2 9.80m sg 2002 年 9 月 2 四、 （20 分）如图预 19-4 所示，三个绝热的、容积相同的球状容器 A、B、C， 用带有阀门 K1、K2的绝热细管连通，相邻两球球心的高度差1.00mh初 始时，阀门是关闭的，A 中装有 1mol
5、的氦（He）,B 中装有 1mol 的氪（Kr）,C 中装有 lmol 的氙 （Xe） ， 三者的温度和压强都相同 气体均可视为理想气体 现 打开阀门 K1、K2，三种气体相互混合，最终每一种气体在整个容器中均匀分 布，三个容器中气体的温度相同求气体温度的改变量已知三种气体的摩 尔质量分别为 31 He 4.003 10 kg mol 31 Kr 83.8 10 kg mol 31 Xe 131.3 10 kg mol 在体积不变时，这三种气体任何一种每摩尔温度升高 1K，所吸收的热量均为 3 /2R，R为普适气体常量 五、 （20 分） 图预 19-5 中， 三棱镜的顶角为 60， 在三棱镜
6、两侧对称位置上放置焦距均为 30.0cmf 的 两个完全相同的凸透镜 L1和 L2若在 L1 的前焦面上距主光轴下方14.3cmy 处放 一单色点光源S， 已知其像 S 与S对该光学 系统是左右对称的试求该三棱镜的折射 率 六、 （20 分）一个长为 1 L，宽为 2 L，质量为m的矩形导电线框，由质量 均匀分布的刚性杆构成，静止放置在不导电的水平桌面上，可绕与线框的 一条边重合的光滑固定轴 ab 转动，在此边中串接一能输出可变电流的电 流源（图中未画出） 。线框处在匀强磁场中，磁场的磁感应强度B沿水平 方向且与转轴垂直，俯视图如图预 19-6 所示。现让电流从零逐渐增大， 当电流大于某一最小
7、值 min I时，线框将改变静止状态。 （1）求电流值 min I。 （2）当线框改变静止状态后，设该电流源具有始终保持恒定电流值 0 I不 变（ 0min II）的功能。已知在线框运动过程中存在空气阻力。试分析线框的运动状况。 七、 （25 分）如图预 19-7 所示，在长为0 . 1lm、质量为 B 30.0 kgm 的车厢 B 内的右壁处，放一质 量 A 20.0kgm 的小物块 A（可视为质点） ，向右的水平拉力120.0 NF 作用于车厢，使之从静止开始运 3 动，测得车厢 B 在最初 2.0 s 内移动的距离5.0ms ，且在这段时间内小物块未与车厢壁发生过碰撞假 定车厢与地面间的
8、摩擦忽略不计，小物块与车厢壁之间的碰撞是弹性的求车厢开始运动后 4.0 s 时，车厢 与小物块的速度 4 第十九届全国中学生物理竞赛预赛试题参考解答、评分标准 一、参考解答 （1）在地面附近，沙尘扬起要能悬浮在空中，则空气阻力至少应与重力平衡，即 2 01 Avmg 式中m为沙尘颗粒的质量，而 2 Ar 3 s 4 3 mr 得 1 0 s 4 3 gr v 代入数据得 1 1 4.0m sv （2）用 h 、h分别表示 1 9.0m sv 时扬沙到达的最高处的空气密度和高度，则有 0h (1)Ch 此时式应为 2 hAv mg 由、可解得 2 0 s 41 1 3 rg h Cv 代入数据得
9、 3 6.8 10 mh 评分标准：本题 15 分。 1. 第一小题 8 分。其中式 3 分，式 1 分，式 1 分，式 2 分，式 1 分。 2. 第二小题 7 分。其中式 1 分，式 1 分，式 3 分，式 2 分。 二、参考解答 （1） 2 1 2 CE，0 （2） 2 1 4 CE， 2 1 2 CE 评分标准：本题 20 分。 （1）10 分。其中每个空 5 分。 （2）10 分。其中每个空 5 分。 三、参考解答 （1）神舟 3 号 （2） 设飞船飞行时间为t， 绕地球飞行的圈数为N， 周期为T， 飞船的质量为m， 离地面的平均高度为h， 5 地球半径为R，地球质量为M，则有 t
10、T N 2 2 2 () () mM GmRh TRh 2 Mm Gmg R 由、式解得 1/3 2 2 22 4 gR t hR N 由题给数据可知 5 5.8536 10 st ，代入t及其它有关数据得 5 2.9 10 mh 评分标准：本题 20 分 （1）4 分 （2）16 分。其中、式各 3 分，式 4 分（答案在 5 2.7 10 m 5 3.1 10 m之间均给这 4 分） 四、参考解答 根据题设的条件，可知：开始时 A 中氦气的质量 3 He 4.003 10kgm ，B 中氪气的质量 3 Kr 83.8 10kgm ，C 中氙气的质量 3 Xe 131.3 10kgm 。三种
11、气体均匀混合后，A 中的 He 有 1 mol 3 降 入 B 中，有 1 mol 3 降入 C 中。He 的重力势能增量为 HeHeHeHe 11 ()( 2 ) 33 Emghmghmgh B 中的 Kr 有 1 mol 3 升入 A 中，有 1 mol 3 降入 C 中。Kr 的重力势能增量为 KrKrKr 11 ()0 33 Em ghm gh C 中的 Xe 有 1 mol 3 升入 A 中，有 1 mol 3 升入 B 中。Xe 的重力势能增量为 XeXeXeXe 11 2 33 Emghmg hmgh 混合后，三种气体的重力势能共增加 PHeKrXeXeHe ()EEEEmmgh
12、 因球与外界绝热，也没有外力对气体做功，故重力势能的增加必然引起内能的减少。在体积不变时， 气体不做功。由热力学第一定律可知，此时传给气体的热量应等于气体内能的增量，但因理想气体的内能 只由温度决定，与体积无关，故只要温度改变量相同，则体积不变条件下内能的增量也就是任何过程中理 想气体内能的增量。根据题给的已知条件，注意到本题中所考察的理想气体共有 3 摩尔，故有 6 P 3 3 2 ER T 上式中右方为气体内能减少量，T表示气体温度的增量，由、两式得 XeHe 2() 9 mmgh T R 将已知数据代入，注意到 11 8.31J KmolR ，可得 2 3.3 10KT 即混合后气体温度
13、降低 2 3.3 10K （如果学生没记住R的数值，R的值可用标准状态的压强 52 0 1.013 10 N mp ，温度 0 273.13KT 和 1mol 理想气体在标准状态下的体积 23 0 2.24 10mV 求得，即 0 0 0 p V R T ） 评分标准：本题共 20 分。 说明经扩散使三种气体均匀混合，并导致气体重力势能改变求得式，得 8 分。说明能量转换过程，由重 力势能增加而内能减少，列出式，得 8 分。得出正确结果，算出式，得 4 分。 五、参考解答 由于光学系统是左右对称的，物、像又是左右对称的，光路一定是左右对称的。该光线在棱镜中的部 分与光轴平行。由S射向 1 L光
14、心的光线的光路图如图预解 19-5 所示。由对称性可知 12 ir 21 ir 由几何关系得 12 60ri 由图可见 11 ir 又从 1 FSO的边角关系得 7 tan/y f 代入数值得 arctan(14.3/30.0)25.49 由、与式得 1 30r ， 1 55.49i 根据折射定律，求得 1 1 sin 1.65 sin i n r 评分标准：本题 20 分 1. 图预解 19-5 的光路图 4 分。未说明这是两个左右对称性的结果只给 2 分。 2. 、式各给 2 分，式给 3 分，式给 1 分，式给 4 分。 六、参考解答 （1）解法一： 导体线框放在水平桌面上，俯视图如图预
15、解 19-6-1。由图可见，在线框 没动之前，线框的PQ边与P Q 边平行于磁场B，因而不受磁场力。 PP 边 受的安培力的大小为 1 IBL，方向垂直于桌面向下，但此力对轴的力矩为零。 QQ 边受的安培力的大小为 1QQ FIBL ，方向垂直桌面向上。此力对固定 轴的力矩为 012 MI BL L 除此力矩外， 线框还受到重力矩作用。 重力力矩等于重力乘线框重心 （O点） 到轴 ab 的距离，即 02 (/2)mg L 当 0 M 0 时，桌面对线框的支持力的力矩为零， 0 M 0 时，线框将改变静止状态，开始绕轴 ab 向上翘 起。根据题意及、式，由力矩平衡原理可知 1 22min 1 2
16、 IBL LmgL 解得 min 1 2 mg I BL 解法二： 线框所受的重力矩也可以由各边对 ab 轴的重力矩来求。PQ边与P Q 边的重心均在（ 2/2 L）处，两 条边对 ab 轴的合力矩为 8 22 1 12 ()2 mgLL LL QQ 边对 ab 轴的力矩为 1 22 12 2() mgL L LL 故线框所受的重力矩为 0122 /2)mgL （ 与解法一求得的式一致，从而求得 min I与式相同。 （2）线框处于静止状态时，若电流 0 I比 min I稍大，线框所受的电磁力矩M将大于重力矩，使线框绕 ab 轴向上翘起。PQ边和P Q 边所受电磁力不等于零，但二者相互抵消。当
17、保持电流值 0 I恒定不变时，线框 将从静止状态开始绕固定轴作加速转动。在加速转动过程中，由于通过线框的磁通量发生变化，线框内将 产生感应电动势，它有使线框中的电流变小的趋势，题中已设电流源有保持电流恒定不变的功能，所以当 线框平面转至与桌面成角时，如图预解 19-6-2a 所示，线框受到的合力矩为 012 1 cos 2 MI BLmg L 随着角逐渐增大，合力矩随之减小，但M始终大于零，因而线框仍作逆时针加速转动，角速度不断 增大。当线框平面转到竖直面 NN 时，合力矩为零，角速度达到最大。由于惯性，线框将越过 NN 面作逆 时针转到。此时，合力矩与线框转动方向相反，角速度将逐渐减小，合力
18、矩的大小随着角的增大而增大， 如图预解 19-6-2b 所示。 如果没有空气阻力，将增至 180。当角等于 180 时，线框转动的角速度为零，合力矩将使线框作顺 时针加速转动，结果线框将在角等于 0与 180之间往复摆动不止。实际上，由于空气阻力作用，线框平 面在 NN 平面两侧摆动的幅度将逐渐变小，最终静止在 NN 面处，此时，电磁力矩与重力矩均为零。如果 线框稍偏离平衡位置 NN ， 电磁力矩与重力矩的合力矩将使线框回到 NN 平面处。 故线框处于稳定平衡状 态。 评分标准：本题 20 分。第一问 6 分、第二问 14 分。 第一问中，、式各 2 分。 9 第二问中，正确地分析了线框往复转
19、动，给 4 分；说明最后平衡在竖直面处，给 6 分；说明稳定平衡， 给 4 分。 七、参考解答 解法一： 1. 讨论自 B 开始运动到 0 2.0sT 时间内 B 与 A 的运动。 根据题意，在 2 s 内，A 未与 B 发生过碰撞，因此不论 A 与 B 之间是否有相对运动，不论 A 与 B 之 间是否有摩擦，B 总是作初速为零的匀加速直线运动。设 B 的加速度为 B1 a，有 2 B1 0 1 2 sa T 得 2 B1 2 0 2 2.5m s s a T （1） 如果 A、B 之间无摩擦，则在 B 向右移动 1 米距离的过程中，A 应保持静止状态，接着 B 的车厢左壁必与 A 发生碰撞，
20、这不合题意。如果 A、B 之间无相对运动（即两者之间的摩擦力足以使 A 与 B 有一样的加速 度） ，则 B 的加速度 2 B BA 2.4m s F a mm 这与（1）式矛盾。由此可见，A、B 之间既有相对运动又存在摩擦力作用。 以 f F表示 A、B 间的滑动摩擦力的大小，作用于 B 的摩擦力向左，作用于 A 的摩擦力向右，则有 B B1f FFm a （2） A A1f Fm a （3） 由（1） 、 （2） 、 （3）式得 2 A1 2.25m sa （4） f 45NF （5） 2. 讨论 B 的左壁与 A 发生第一次碰撞前的运动。 由于 A1B1 aa，B 向右的速度将大于 A
21、的速度，故 A 与 B 的左壁间的距离将减小。设自静止开始， 经过时间 1 t，B 的左壁刚要与 A 发生碰撞，这时，B 向右运动的路程与 A 向右运动的路程之差正好等于l， 即有 22 B1 1A1 1 11 22 a ta tl 解得 10 1 B1A1 2l t aa （6） 代入数据，得 1 2 2 s=2.83st A 与 B 发生第一次碰撞时，碰前的速度分别为 A1A1 1A1 B1A1 2l va ta aa （7） B1B1 1B1 B1A1 2l va ta aa （8） 3. 讨论 B 与 A 间的弹性碰撞 以 A1 u和 B1 u分别表示第一次碰撞后 A 和 B 的速度。
22、当 A1 u、 B1 u为正时，分别表示它们向右运动。在 碰撞的极短时间内，外力F的冲量可忽略不计，因此有 BBA A1B1A A1B1 m vm vm um u 2222 BBA A1B1A A1B1 1111 2222 m vm vm um u 解以上两式得 A1B1A1B1B1A1 ()2 ()uuvvl aa （9） （9）式表示，在弹性碰撞中，碰撞前后两者的相对速度的大小不变，但方向反转。 4. 讨论从第一次碰撞到车厢与小物块速度变至相同过程中的运动。 由（9）式可以看出，经第一次碰撞，A 和 B 都向右运动，但 A 的速度 A1 u大于 B 的速度 B1 u，这时 作用于 A 的摩
23、擦力向左，作用于 B 的摩擦力向右，大小仍都为 f F。设此过程中 A 向左的加速度和 B 向右 的加速度分别为 A2 a和 B2 a，则由牛顿第二定律有 A A2f Fm a B B2f FFm a 解得 2f A2 A 2.25m s F a m （10） 2f B2 B 5.5m s FF a m （11） 由此可知，碰撞后，A 作减速运动，B 作加速运动。设经过时间 1 t，两者速度相等，第一次达到相对静止， 则有 11 A1A2 1B1B2 1 ua tua t 由上式和（9）式解得 1 B1A1 A1B1B1A1 A2B2A2B2A2B2 2 ()l aauuvv t aaaaaa
24、 （12） 代入有关数据得 1 2 2 s=0.09s 31 t （13） 设在时间 1 t内，A 与 B 的左壁之间的距离增大至 1 l，则有 22 A1 1A2 1B2 1B2 11 11 22 u ta tu ta tl 结合（9） 、 （12）两式得 2 1 lld （14） 式中 B1A1 A2B2 aa d aa （15） 代入有关数据得 B1A1 A2B2 (5/2)(9/4)1 1 (9/4)(11/2)31 aa d aa 由（14）可知 1 ll，A 不会与 B 的右壁发生碰撞。 5. 讨论 A 与 B 的左壁的第二次碰撞。 以 1 v表示 B 与 A 第一次相等的速度，由
25、于 B 始终受F作用而加速，它将拖着 A 向右加速，其情况与 第一次碰撞前相似。这时作用于 A 的摩擦力向右，A 的加速度为 A1 a，方向向右。作用于 B 的摩擦力向左， B 的加速度为 B1 a，方向也向右。但是原来 A 与 B 左端的距离为l，现改为 1 l，因 A1B1 aa，B 的左壁与 小 A 之间的距离将减小。设两者间的距离从 1 l减小至零即减小至开始发生第二次碰撞所经历的时间为 2 t， 以 1 l代入式，结合（14）式，即可求得 1 21 B1A1B1A1 22ll tdt d aaaa （16） 代入有关数据，得 2 18 2 20.51s 3131 t 第二次碰撞前瞬间
26、 A 和 B 的速度分别为 12 A21A1 2 vva t B21B1 2 vva t A2B2A1B12A1B11A1B1 ()()()vvaataat dvvd （17） 故第二次碰撞前 A、B 速度之差小于第一次碰撞前 A、B 的速度差。设第二次碰撞完毕的瞬间 A、B 的速 度分别为 A2 u和 B2 u，则有 A2B2A2B2B1A1 ()()uuvvvvd （18） 第二次碰撞后，A 以加速度 A2 a作减速运动，B 以加速度 B2 a作加速运动。设经历时间 2 t，两者速度 相等，即第二次相对静止，则有 A2A2 2B2B2 2 ua tua t 解得 A2B2B1A1 21 A
27、2B2A2B2 0.016s uuvv tdt d aaaa （19） 在 2 t时间内，A 与 B 的左壁的距离变为 2 l，有 22 A2 2A2 2B2 2B2 22 11 22 uta tu ta tl 结合（8） 、 （9）得 2 4 lld （20） 自 B 开始运动到 A 与 B 达到第二次相对静止共经历时间 21122 3.43sTtttt 2 4.0sT 6. 讨论 A 与 B 的左壁的第三次碰撞。 当 A 与 B 的左壁之间的距离为 2 l时，A、B 相对静止。由于 B 受外力F作用而继续加速，它将拖着 A 向右加速。这时，A 的加速度为 A1 a，B 的加速度为 B1 a
28、，方向都向右，但因 B1A1 aa，A 将与 B 的左壁 发生第三次碰撞。设此过程经历的时间为 3 t，则以 2 l代入（6）式结合（16）式得 222 31 B1A1B1A1 22 0.09s ll tdt d aaaa （21） 设第三次碰撞前瞬间 A 和 B 的速度分别为 A3 v和 B3 v，碰撞后的速度分别为 A3 u和 B3 u 2 A3B3A1B13A1B1 ()()vvaatvvd 13 22 A3B3A3B3B1A13B1A11A1B1 ()()()()uuvvaataat dvvd 碰撞后，A 以加速度 A2 a作减速运动，B 以加速度 B2 a作加速运动。设经过时间 3
29、t两者速度相等，即 第三次相对静止，A 与 B 左壁之间的距离为 3 l。则有 2A3B3 31 A2B2 uu tt d aa （22） 6 3 tld 自 B 开始运动至第三次 A 与 B 相对静止共经历的时间 3 T仍小于 4 s。 7. 讨论车厢左壁与小物块的第n次碰撞。 在第1n 次碰撞完毕的瞬间，A 和 B 的速度分别为 A n1 u 和 Bn1 u ，A 以加速度 A2 a作减速运动，B 以加速度 B2 a作加速运动。经过时间 n1 t ，两者速度相等，即第1n 次相对静止。A 与 B 左壁之间的距离 为 n1 l 。根据前面的讨论有 n2 n11 tt d （23） 2(n1)
30、 n1 lld 再经过时间 n t将发生 B 的左壁与 A 的第n次碰撞。 碰撞前两者的速度分别为 A n v和 Bn v。 根据前面的讨论， 有 n1 n1 tt d （24） n1 BnA nA1B1 ()vvvvd 可以看出，碰撞次数越多，下一次碰撞前，A、B 速度之差越小。当碰撞次数n非常大时，下次碰撞前两 者的速度趋于相等，即 A 实际上将贴在 B 的左壁上不再分开。 8. 讨论第 4 秒 B 与 A 的运动速度。 第 4 秒末 B 与 A 的速度取决于在第 4 秒末 B 与 A 经历了多少次碰撞。B 自静止开始运动到第n次相 对静止经历的总时间为 nnn1122n 1n 1 Ttt
31、tttttt n2n2n1n1 11111111 221 1111111111 nn ()()()()() ttt dt dt dt dt dt d tttt dtt dtt dtt d 11 1 () 1 d tt d （25） 以 1 2 2t ， 1 2 2 31 t 代入，注意到当n很大时，0d得 14 64 2 3.56s 3131 T （26） 这表明早在第 4 秒之前，A 与 B 的左壁贴在一起时二者速度已相同，不再发生碰撞，此后二者即以相同的 速度运动了、 现以 A 和 B 都静止时作为初态， 设4sT 时刻 A 和 B 的速度为V， 对 A、 B 开始运动至4sT 的过程应用
32、动量定理，得 BA ()FTmm V （27） 或 BA FT V mm 代入数值，得 1 9.6m sV （28） 解法二： 如果 A 与 B 之间没有摩擦力，B 前进 1m 就会与 A 发生碰撞。已知开始 2s 为 A 与 B 未发生碰撞，而 B 已走了 5m，可见二者之间有摩擦力存在，且在此期间二者均作匀加速运动。由 2 1 2 sat可求出 B 对地 面的加速度 B1 a： 2 B1 1 52 2 a， B1 2.5 m sa 2 (1) 设 A 与 B 底部之间的滑动摩擦力为 f F，则由小车的运动方程 B Bf m aFF 代入数值得 f 45NF (2) 又由 A 的运动方程得
33、A 的相对地面的加速度为 2f A1 A 2.25m s F a m (3) 于是，A 对 B 的相对加速度为 2 AB1A1B1 0.25m saaa (4) 第一次碰撞 由开始运动到 A 碰撞 B 的左壁的时间 1 t满足 2 AB1 1 1 2 sat，1ms 。于是 1 2 2 s=2.83st (5) A 与 B 的左壁碰撞前瞬间，A 相对 B 的速度 11 AB1AB1 1 0.5 2 m s0.71m svat (6) 由于作弹性碰撞的两个物体在碰撞前后其相对速度等值反向，所以碰后 A 从 B 的左壁开始，以相对速度 15 1 AB1AB1 0.5 2 m s0.71m svv
34、1 (7) 向右运动，所受摩擦力反向向左，为 f F。对地面的加速度 A2 a为 2f A2 A 2.25m s F a m (8) 此时 B 所受的摩擦力 f F方向向右，由其运动方程 B B2f m aFF得 B 对地面的加速度 B2 a为 2f B2 B 5.5m s FF a m (9) 由(8)、(9)二式知，碰后 A 对 B 的相对加速度为 2 AB2A2B2 7.75m saaa (10) A 相当于 B 作向右的匀减速运动。设 A 由碰后开始达到相对静止的时间为 1 t ，相当于 B 走过的距离为 1 s， 由(6)式得 AB1AB1 11 AB2AB2 2 2 s=0.091
35、s 31 va tt aa (11) 2 1AB21 11 m=0.03m 231 sa t (12) 可见 A 停止在 B 当中，不与 B 的右壁相碰。 第二次碰撞 A 在 B 内相对静止后，将相当于 B 向左滑动，所受的摩擦力改为向右，而 B 所受的摩擦力改为向左。 这时 A 对 B 的相对加速度重新成为 AB1 a， 即 ( 4 ) 式。 A 由相对静止到与 B 的左壁第二次碰撞所需的时间 2 t 可用 2 1AB1 2 1 2 sat算出： 1AB2AB1 211 AB1AB1AB2 2 0.51s saa ttt aaa (13) 自 B 开始运动至 B 的左壁与 A 发生第二次碰撞
36、经历的时间 2112 3.43sTttt A 达到 B 的左壁前相当于 B 的速度的大小为 AB1AB1 AB2AB1 2AB11AB1 AB2AB2 aa vatatv aa (14) 这也就是第二次碰后 A 由 B 的左壁出发的相对速度大小。第二次碰后，A 相对 B 向右运动，此时 A 相对 于 B 的相对加速度又成为 AB2 a， 即( 1 0 )式。 A 由碰撞到相对静止所需要的时间 2 t 和相当于 B 走过的距离 2 s 分别为 16 AB2AB1AB1AB1AB1 2211 AB2AB2AB2AB2AB2 0.016s vaaaa tttt aaaaa (1 5 ) 2 2AB2
37、2 1 0.001m 2 sa t 以后的碰撞 根据(13)、(15)二式，如令 AB1 AB2 1/41 0.18 31/431 a k a (16) 则有 21 tkt 21 tkt 由此可以推知，在第三次碰撞中必有 2 321 tktk t 2 321 tk tk t (17) 在第n次碰撞中有 n1 n1 tkt n1 n1 tkt 18) （ 即每一次所需时间要比上次少得多（A 在 B 中所走的距离也小得多） 。把所有的时间加在一起，得 11ii i 1i 0 2 21 ()()2 2s=3.56s 311 Tttttk k (19) 这就是说，在 B 开始运动后 3.56 s 时，
38、A 将紧贴 B 的左壁，并与 B 具有相同速度，二者不再发生碰撞，一 直处于相对静止状态。现取 A 和 B 都静止时作为初态，以4.0sT 时刻的运动状态为末态，设此时 A 和 B 的速度为V，由动量定理，有 BA ()FTmm V 代入数值，得 1 BA 9.6m s FT V mm (20) 答：自车厢开始运动到 4.0 s 时车厢与物块的速度相同，均为 1 9.6m s 评分标准：本题 25 分。 得出摩擦力 f F得 5 分，得出第一次碰撞时间 1 t得 5 分，得出第二次碰撞时间 2 t得 5 分。得出无穷次碰撞时 间T得 5 分 ，得到最后结果V再得 5 分。 17 第十九届全国中
39、学生物理竞赛复赛试题 一、 （20 分）某甲设计了 1 个如图复 19-1 所示的“自动喷泉”装置，其中 A、B、C 为 3 个容器，D、E、 F 为 3 根细管，管栓 K 是关闭的A、B、C 及细管 D、E 中均盛有水，容 器水面的高度差分别为 1 h和 1 h如图所示A、B、C 的截面半径为 12cm，D 的半径为 0.2cm 甲向同伴乙说： “我若拧开管栓 K， 会有水从细管口喷出 ” 乙认为不可能理由是： “低处的水自动走向高外，能量从哪儿来？”甲当 即拧开 K，果然见到有水喷出，乙哑口无言，但不明白自己的错误所在甲 又进一步演示在拧开管栓 K 前，先将喷管 D 的上端加长到足够长，然
40、后 拧开 K，管中水面即上升，最后水面静止于某个高度处 (1)论证拧开 K 后水柱上升的原因 (2) 当 D 管上端足够长时， 求拧开 K 后 D 中静止水面与 A 中水面的高 度差 (3)论证水柱上升所需能量的来源 二、 (18 分) 在图复 19-2 中，半径为R的圆柱形区域内有匀强磁场，磁场 方向垂直纸面指向纸外，磁感应强度B随时间均匀 变化，变化率/BtK (K为一正值常量),圆柱形 区外空间没有磁场，沿图中AC弦的方向画一直线， 并向外延长，弦AC与半径OA的夹角/4直 线上有一任意点， 设该点与A点的距离为x， 求从A 沿直线到该点的电动势的大小 三、 （18 分）如图复 19-3
41、 所示，在水平光滑绝缘的桌面上，有三个带正电的质点 1、2、3，位于边长为l的等边三角形的三个顶点处。C为三角形的中心，三个质 点的质量皆为m，带电量皆为q。质点 1、3 之间和 2、3 之间用绝缘的轻而细的 刚性杆相连，在 3 的连接处为无摩擦的铰链。已知开始时三个质点的速度为零， 在此后运动过程中，当质点 3 运动到 C 处时，其速度大小为多少？ 四、 （18 分）有人设计了下述装置用以测量线圈的自感系数在图复 19-4-1 中，E 为电压可调的直流电源。 K 为开关，L为待测线圈的自感系数， L r为线圈的直流电阻，D 为理想二极管，r为用电阻丝做成的电阻 器的电阻， A 为电流表。 将图复 19-4-1 中a、b之间的电阻线装进图复 19-4-2 所示的试管 1 内， 图复 19-4-2 中其它装置见图下说明其中注射器筒 5 和试管 1 组成的密闭容器内装有某种气体（可视为理想气体） ， 通过活塞 6 的上下移动可调节毛细管 8 中有色液注的初始位置， 调节后将阀门 10 关闭， 使两边气体隔开 毛 细管 8 的内直径为d 18 已知在压强不变 的 条 件下，试管中的气体温度升高 1K 时，需要吸收的热量为 q C，大气压强为p。设试管、三通管、注射器和 毛细
