1、高三理科数学试题第 1 页，共 5 页 长安一中长安一中 20202020 级级高三高三第二次质量检测第二次质量检测 数学数学(理科理科)试题试题 一、一、选择题选择题(共共 12 小小题，每题，每小小题题 5 分分)1已知复数3iz=（i 为虚数单位），则22zz的共轭复数的模为（）A1 B3 C5 D7 2如图是甲、乙两人高考前 10 次数学模拟成绩的折线图，则下列说法正确的是（）A甲的数学成绩最后 3 次逐渐降低 B甲的数学成绩在 130 分以上的次数少于 乙的数学成绩在 130 分以上的次数 C甲有 7 次考试成绩比乙高 D甲数学成绩的极差大于乙数学成绩的极差 3已知集合204xAxx
2、+=，0,1,2,3,4,5B=，则4,5=（）A()RAB B()RAB C()RBA D()RBA 4图形是信息传播互通的重要的视觉语言，画法几何是法国著名数学家蒙日的数学巨著，该书在投影的基础上，用“三视图来表示三维空间中立体图形.即做一个几何体的“三视图”，需要分别从几何体正面、左面、上面三个不同角度观察，从正投影的角度作图.下图中粗实线画出的是某三棱锥的三视图，且网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A26 B27 C30 D33 高三理科数学试题第 2 页，共 5 页 5函数()2sin 2logyxx=的图象大致是（）A B C D 6已知在ABC中，三个
3、内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若函数()()3222133f xxbxacac x=+无极值点，则cosB的最小值是（）A6 B14 C12 D13 7如图，棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，P为线段1AB上的动点（不含端点），则下列结论错误错误的个数是（）平面11D AP 平面1A AP 1APD的取值范围是0,2 三棱锥11BDPC的体积为定值 11DCDP A1 B2 C3 D4 8中国古代数学的瑰宝九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，1AA垂直于底面，15AA=，底面
4、扇环所对的圆心角为2，弧AD长度是弧BC长度的 3 倍，2CD=，则该曲池的体积为（）A92 B5 C112 D10 高三理科数学试题第 3 页，共 5 页 9 设球O与圆锥1SO的体积分别为1V，2V，若球O的表面积与圆锥1SO的侧面积相等，且圆锥1SO的轴截面为正三角形，则12VV的值是（）A33 B2 33 C63 D2 63 10设椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点为F，椭圆C上的两点,A B关于原点对称，且满足0,|2|FA FBFBFAFB=，则椭圆C的离心率的最大值是（）A13 B33 C23 D53 11已知2()2sin1(0)3f xx=+，给出下列结论：若
5、f(x1)=1，f(x2)=1，且|x1x2|min=，则=1；存在(0，2)，使得 f(x)的图象向左平移6个单位长度后得到的图象关于 y轴对称；若 f(x)在0，2上恰有 7 个零点，则 的取值范围为41 47,24 24；若 f(x)在,6 4 上单调递增，则 的取值范围为20,3.其中，所有错误错误结论的编号是（）A B C D 12设0.110.1e,ln0.99abc=，则（）Aabc Bcba Ccab Dacb 二、填空题二、填空题(共共 4 小题，每题小题，每题 5 分分)13已知平面向量，满足 =(1，1)，|=2，|=2，则 与的夹角为_ 14已知双曲线2222=1(0,
6、0)的两条渐近线均与圆:(5)2+2=9相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为_ 15核酸检测是疫情防控的一项重要举措.某相邻两个居民小区均计划在下月的 1 日至 7 日这七天时间内，随机选择其中的连续三天做核酸检测，则恰好仅有一天这两个居民小区同时在做核酸检测的概率为_.16已知 的三边长分别为，角是钝角，则()2的取值范围是_.高三理科数学试题第 4 页，共 5 页 三、解答题：三、解答题：（一一）必考必考题：共题：共 60 分分(每题每题 12 分分)17已知等差数列 na是单调递增数列，22a=，且31a,45,5a a+成等比数列，nS是数列 na的前n项和.(1)求数列 n
7、a的通项公式；(2)设13nnnba a+=，nT是数列 nb的前n项和，求nT.18.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，ABC120，AB1，BC4，PA 15，M，N 分别为 BC，PC 的中点，PDDC，PMMD.(1)证明：CD平面 PDM；(2)求直线 AN 与平面 PBC 所成角的正弦值.19.在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒、保质保量”成为口罩生产线上的重要标语(1)在试产初期，某新型全
8、自动高速口罩生产流水线 有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不 影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人 工抽检已知批次 I的成品口罩生产中，前三道工序 的次品率分别为1135P=，23113433PP=，求批次 I 成品口罩的次品率1p(2)已知某批次成品口罩的次品率为()01pp，设 100 个成品口罩中恰有 1 个不合格品的概率为()p，记()p的最大值点为0p，改进生产线后批次J的口罩的次品率0Jpp=某医院获得批次 I，J的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示，求0p，并判断是否有 99.9%
9、的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？附：()()()()()22n adbcKabcdacbd=+高三理科数学试题第 5 页，共 5 页()2P Kk 0.050 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 20.已知椭圆 C 的一个焦点为(2,0)，椭圆过2(3,2），椭圆 C 的左顶点为P(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知斜率存在且不为 0 的直线l过点(1,0)D，设直线l与椭圆 C 交于 A，B.若直线,PA PB分别交直线 x=3 于点,M N，且MRRN=，记直线 AB，RD 的斜率分别为,k k.探究：k k是否为定值？
10、若是，求出该定值；若不是，请说明理由 21.已知函数()21,2.71828xf xeaxbxa bR e=为自然对数的底数.(1)设()g x是函数()f x的导函数，求函数()g x在区间0,1上的最小值；(2)若min1()02ag x=时，证明：当0 x 时，()()2ln1xebxx+（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分所做的第一题计分 选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系xOy中，圆1C的圆心坐标为()2,2且过原点，椭圆E
11、的参数方程为2cossinxy=（为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为()03=.(1)求圆1C的极坐标方程和曲线2C的普通方程；(2)若曲线2C与圆1C相交于异于原点的点P，M是椭圆E上的动点，求OPM面积的最大值.选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数()221f xxx=+，集合()3Ax f x=.(1)求A；(2)若,s tA，求证11ttss.20202020 级高三第二次质量检测理数答案详解级高三第二次质量检测理数答案详解 一、选择题一、选择题 题题号号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
12、 9 9 1010 1111 1212 答答案案 C C C C B B B B A A C C A A D D C C D D B B C C 二、二、填空题填空题 13.13.4 14.21629=1 15.625 16.(1,212 选填详解：1 C【详解】因为()223322i12iizz=+，所以其共轭复数是12i 故选：C 2C【详解】对于 A，由折线图可知最后三次数学成绩逐渐升高，故 A 说法错误；对于 B，甲的数学成绩在 130 分以上的次数为 6 次，乙的数学成绩在 130 分以上的次数为 5 次，故 B 说法错误；对于 C,甲有 7 次考试成绩比乙高,故 C 的说法正确；对
13、于 D，由折线图可知，甲乙两人的数学成绩的最高成绩相同，甲的最低成绩为 120 分，乙的最低成绩为 110 分，因此甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差，D说法错误.3B【详解】因为20(2,4)4xAxx+=，所以R|2Ax x=或4x.所以()R4,5AB=故选：B.4B【详解】依题意，如图，三棱锥ABCD是给定的三视图对应的三棱锥，其中,AB AC AD两两垂直，且3ABACAD=，三棱锥ABCD与以,AB AC AD为棱的正方体有共同的外接球，其直径是该正方体的体对角线，因此，三棱锥的外接球直径22223 3RABACAD=+=，其体积2427VR=，故选：B 5A【详解】设()2()
14、sin 2logf xyxx=，则()2()sin2log()fxxxf x=，故()2()sin 2logf xxx=为奇函数，故 C,D 错误；而令()2sin 2log0yxx=时，在(0,)之间的函数零点有1,2两个，故 B错误，故选：A 6C【详解】解：因为()()3222133f xxbxacac x=+，所以222()2fxxbxacac=+，若()f x无极值点，即()0fx=无变号零点，又二次函数2222yxbxacac=+开口向上，所以()0fx恒成立，等价为判别式0，即22244()0bacac=+，得222acbac+，所以2221cos22acbBac+=故选：C 7
15、A【详解】11D A 平面1AAP，平面11D AP 平面1A AP，正确；若P是1AB上靠近1A的一个四等分点，22129148D P=+=，此时222111152cos458APAAAPAAAP=+=，22211D PAPAD+，此时1D PA为钝角，错；由于1/BPCD，则/BP平面11B DC，因此11PB DC的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，正确；而11DCDC，11/DCAB，所以11DCAB，且111DCA D,1111ABADA=，所以1DC 平面11APD,1D P 平面11APD，因此11DCD P，正确 故选：A 8D【详解】不妨设弧 AD所在圆的半径为 R，弧
16、 BC所在圆的半径为 r，由弧 AD长度为弧 BC 长度的 3 倍可知3Rr=，22CDRrr=，所以1r=，3R=.故该曲池的体积22()5104VRr=.故选：D.9C【详解】设球 O 的半径为 R，圆锥 SO1的底面半径为 r，则圆锥1SO的母线长 l=2r，由题意得 4R2=rl=2r2，解得2rR=，3312223244633133433RRVVrrrr=.10D【详解】如图所示：设椭圆的左焦点F，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF为平行四边形，又0FA FB=，即FAFB，所以平行四边形AFBF为矩形，所以2ABFFc=，设AFn=，AFm=，在直角ABF中，2mna+=，2224
17、mnc+=，得22mnb=，所以222mncnmb+=，令mtn=，得2212tctb+=，又由2FBFAFB，得1,2mtn=，所以221252,2cttb+=，所以 2251,4cb，即224 1,9 2ba，所以22251,23cbeaa=，所以离心率的取值范围是25,23，故选：D.11 B【详解】22()2sin1cos 2sin 2336f xxxx=+=+=+，()f x的最小正周期为22=.对于：因为 f(x1)=1，f(x2)=1，且|x1x2|min=，所以()f x的最小正周期为 T=2，122=.故错误；对于：图象变换后所得函数为sin 236yx=+，若其图象关于 y
18、 轴对称，则362k+=+，kZ，解得=1+3k，kZ，当 k=0 时，1(0,2)=.故正确；对于：设26tx=+，当0,2x时，2,4666tx=+.()f x在0,2 上有 7 个零点，即sinyt=在,466t+上有 7 个零点.则7486+，解得41472424.故错误；对于：由222,262kxkkZ+，得,36kkxkZ+，取 k=0，可得36x，若 f(x)在,6 4 上单调递增，则3664，解得203，因为1()111xfxxx=+，当(1,0)x 时，()0fx，当,()0 x+时()0fx，所以函数()ln(1)f xxx=+在(0,)+单调递减，在(1,0)上单调递增，
19、所以1()(0)09ff=，所以101ln099=，即bc，所以1()(0)010ff=，所以91ln+01010，故1109e10，所以11011e109，故ab，设()eln(1)(01)xg xxxx=+，则()()21 e11()+1 e11xxxg xxxx+=+=,令2()e(1)+1xh xx=，2()e(21)xh xxx=+，当021x时，()0h x，函数2()e(1)+1xh xx=单调递减，当211x，函数2()e(1)+1xh xx=单调递增，又(0)0h=，所以当021x时，()0h x，所以当021x，函数()eln(1)xg xxx=+单调递增，所以(0.1)(
20、0)0gg=，即0.10.1eln0.9，所以ac故选：C.二、填空题二、填空题 13【详解】因为 =(1,1)，所以|=2，因为 =2，所以 2+2 2 =2所以 =2，设,夹角为，则由平面向量数量积的定义可得=|=222=22，因为0 ，所以=4.故答案为：4.14【详解】由题意可知，双曲线2222=1(0,0)的渐近线方程为=，即 =0.由圆的方程为(5)2+2=9，得圆心为(5,0)，半径为=3.因为右焦点和圆心重合，所以双曲线右焦点的坐标为(5,0).=5 又因为双曲线2222=1(0,0)的两条渐近线均与圆:(5)2+2=9相切，所以|50|2+2=3，即52=3，解得=3.所以2
21、=2 2=25 9=16,所以该双曲线的标准方程为21629=1.故答案为：21629=1.15【详解】在下月的 1 日至 7 日这七天时间内，随机选择其中的连续三天做核酸检测，两个居民小区均有 5 种选择，分别为 1 日至 3 日，2 日至 4 日，3 日至 5 日，4 日至 6 日，5 日至 7 日，故总的情况有52=25种，其中这两个居民小区恰好有一天同时在做核酸检测的情况：（123,345），（234,456），（345，567）共有 3 种情况，再进行排列，所以共有322=6种情况，所以恰好仅有一天这两个居民小区同时在做核酸检测的概率为625故答案为：625 16【详解】的三边长分别
22、为，且角是钝角，则2 2+2，当 cb 时，令=1，()222+2=1()2+1=12+1=1(1)2+2(1)+2，1(1)+21+212(1)21+2=122+2=212，当且仅当=2+1时取“=”，即0 22+2=1()2+1=12+1，令()=12+1，(0,1，()=1(2+1)2(1)(2+1)2=2+2+1(2+1)2 0，()f t在(0,1上单调递增，(0)()(1)，即1()2 0，综上得1，则()()()121112,21453adadadad+=+=+2230dd=，0d，3d=，11a=na的通项公式为()1134naandn=+=.（2）由（1）得()()13311
23、34313431nnnba annnn+=，11111111111113.1122558373434313131nTnnnnnn=+=.18.解析：(1)证明 因为底面 ABCD 是平行四边形，ABC120，BC4，AB1，且 M 为 BC 的中点，所以 CM2，CD1，DCM60，易得 CDDM.又 PDDC，且 PDDMD，PD，DM平面 PDM，所以 CD平面 PDM.(2)解 因为 PMMD，由(1)知 PMDC，又 MD，DC平面 ABCD，MDDCD，所以 PM平面 ABCD.连接 AM，则 PMAM.因为ABC120，AB1，BM2，所以 AM 7.又 PA 15，所以 PM2
24、2.由(1)知 CDDM，过点 M 作 MECD 交 AD 于点 E，则 MEMD.故可以以 M 为坐标原点，MD，ME，MP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(3，2，0)，P(0，0，2 2)，C(3，1，0)，所以 N32，12，2，所以 AN3 32，52，2.设平面 PBC 一个法向量为 n(x，y，z).设直线 AN 与平面 PBC 所成的角为，()()2 3,2,03,1,2 2BCPC=,由00n BCn PC=可求出 n(1，3，0).则 sin|cosAN，n|ANn|AN|n|510.故直线 AN 与平面 PDM 所成角的正弦值为510.
25、19.【详解】解：（1）批次成品口罩的次品率为()()()112334333231111135343335pppp=（2）100 个成品口罩中恰有 1 个不合格品的概率()()991100C1ppp=因此()()()()()9998981001991100 11 100pppppp=令()0p=，得0.01p=当()0,0.01p时，()0p；当()0.01,1p时，()0p 因此，有 99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关 20.(1)22142xy+=(2)由题意得直线 l 的方程为：(1)yk x=，与椭圆方程联立可得22(1),1,42yk xxy=+=整理得2222
26、(21)4240kxk xk+=，设1122(,(1),(,(1)A x k xB x k x，则2122421kxxk+=+，21222421kx xk=+，（8 分）又P(2,0)，所以直线PA的方程为11(1)(2)2k xyxx=+，令3x=，解得 115(1)(3,)2k xMx+，同理可得，225(1)(3,)2k xNx+，设(,)RRR xy.因为MRRN=，所以Rx=3，1212115()222Rxxkyxx=+，将代入上式并化简可得53Ryk=，所以5533 16kkk=，故56k k=，为定值 21.解析：（1）()()2xg xfxeaxb=()2xgxea=当0,1x
27、时，()12,2gxa ea 当11202aa时，()0gx ()g x单调递增 ()()min01g xgb=当1120222eaeaa时()g x在()()0,ln 2a单调递减，在()()ln 2,1a单调递增()()()()minln 222 ln 2g xgaaaab=当202eeaa时，()0gx()g x单调递减()()min12g xgeab=综上所述：12a 时，()()min01g xgb=122ea时,212xxxe +,即222212xxexxx+=,要证不等式()21 ln(1)xexx+,只需证明21ln(1)xexx+,只需证明2222ln(1)xxxx+,只需证
28、ln(1)22xxx+,设2()ln(1)(0)2xF xxxx=+,则22214()(0)1(2)(1)(2)xF xxxxxx=+,所以当0 x 时,()0Fx恒成立,故()F x在()0,+上单调递增,又()00F=()0F x恒成立,原不等式成立 22解析（1）依题意：圆1C的半径()()2220202 2r=+=，所以，圆1C的标准方程为：()()22228xy+=，得22440 xyxy+=，由222xy+=，cosx=，siny=，得1C的极坐标方程为4sin4cos=+，由()03=，得2C的普通方程为()300 xyx=；（2）由（1）知1C的极坐标方程为4sin4cos=+
29、，2C的普通方程为()300 xyx=，将()03=代入4sin4cos=+得2 32=+，2 32OP=+.设()2cos,sinM，则M到2C的距离()()222 3cossin13sin231d+=+（其中 3tan6=）,132d，当()sin1+=时，等号成立，()()()maxmax133111132312222OPMSOP d+=+=23.解析（1）函数141,21()2211,021 4,0 xxf xxxxx x=+=，当()3f x 时，112x，所以112Axx=.（2）证明：因为,s tA，所以1,12s t，所以()()22222222211111110tttttssssss=+=，所以2211ttss，故11ttss.
