1、第3课时 三角形中的几何计算 在ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，那么它们如何用已知边和角表示？habsinCcsinB hb=csinAasinC hc=asinBbsinA1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题,掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.(重点)2.三角形各种类型的判定方法.(难点)1.我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些？D思考：如何用已知边和角表示三角形的面积？探究点1 三角形面积公式AaCBcbhahchb111222abcabcABCabABCab在在 ABCABC中中，边边BCBC，CACA，ABAB上上的的高
2、高分分别别记记为为h,h,hh,h,h，则则有有S=ah=bhchS=ah=bhchc2.已知边角求三角形的面积:habsinCcsinB hb=csinAasinC hc=asinBbsinAAahaCBDcb121121221122cA AB BC Ca ab b根根据据以以前前学学过过的的三三角角形形面面积积公公式式S S=a ah h=b bh hc ch h，可可以以推推导导出出下下面面S S=a ab bs si in nC C，S S=b bc cs si in nA A，S S=的的三三角角形形面面积积公公式式：a ac cs si in nB B.分析：这是一道在不同的已知条
3、件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.例1 在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1 ）:（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5；（2）已知B=62.7，C=65.8,b=3.16cm；（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm.cmcm2 应应2 21 1（1）1）用用S=casinBS=casinB2 21 1 S=S=23.523.5 90.90.14.814.8s s9（9（cm）cm）i i.n148.
4、5n148.5解解2 2：2 22222bcbsinCbcbsinC（2）2）根根据据正正弦弦定定理理，=，=，c=，c=，sinBsinCsinBsinBsinCsinB11sinCsinA11sinCsinAS=bcsinA=b，S=bcsinA=b，22sinB22sinBA=180A=180-（-（B+C）B+C）=180=180-（-（62.762.7+65.8+65.8）=51.5=51.5，1sin65.81sin65.8sin51.5sin51.5S=S=3.16 3.16 4.0（4.0（cm）cm）.2sin62.72sin62.7(3)根据余弦定理的推论，得 应应2222
5、2222222222222 2c+a-bc+a-bcosB=cosB=2ca2ca38.7+41.4-27.338.7+41.4-27.3=2238.738.741.441.40.769 7，0.769 7，sinB=1-cos B1-0.769 70.638 4，sinB=1-cos B1-0.769 70.638 4，1 1用用S=casinB，S=casinB，得得2 21 1SS38.738.741.441.40.6384511.4（0.6384511.4（cm）cm）.2 2例2 如图,某市在进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成市内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长
6、分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1）分析：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解.CAB解：设a=68 m,b=88 m,c=127 m,根据余弦定理的推论，.0.753 2 ，应应22222222222222222 2c+a-b127+68-88c+a-b127+68-88cosB=cosB=2ca22ca21271276868sinB=1-cos B1-0.753 20.657 8.sinB=1-cos B1-0.753 20.657 8.1 1用用S=casinB，S=casinB，得得2 21 1SS12712768
7、680.657 82 840.4（0.657 82 840.4（m）m）.2 2这这个个区区积积2 2域域的的面面是是2 2 8 84 40 0.答答4 4 m m：.例3 在ABC中，求证：分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理和余弦定理来证明.探究点2 三角形边角关系应用222222222222222222a+bsin A+sin Ba+bsin A+sin B（1 1）=.=.csin Ccsin C（2 2）a+b+c=2a+b+c=2（bccosA+cacosB+abcosCbccosA+cacosB+abcosC）.证明：（1）根
8、据正弦定理，可设显显边边边边.22222 2222222222222222222abcabc=k=ksinAsinBsinCsinAsinBsinC然然kk0，0，所所以以a+ba+b左左=c ck sin A+k sin Bsin A+sin Bk sin A+k sin Bsin A+sin B=右=右k sin Csin Ck sin Csin C（2）根据余弦定理，右边=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边.（1）acosA=bcosB.例4 判断满足下列条件的三角形的形状.提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.探
9、究点3 判断三角形的形状.coscossinA+sinBsinA+sinB（2 2）sinC=sinC=ABAB边边该该（1 1）关关2222222222222224422222224422222222222222由由余余弦弦定定理理得得b+c-ac+a-bb+c-ac+a-baa=b=b2bc2ca2bc2ca所所以以c（c（a-b）a-b）=a-b=（=a-b=（a+b）a+b）（a-b）a-b），所所以以a=b 或a=b 或c=a+b.c=a+b.根根据据的的系系得得三三角角形形是是等等腰腰三三角角形形或或直直解解：角角三三角角形形.另解：由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,
10、所以sin2A=sin2B,即2A=2B,根据边的关系易得是等腰三角形.所以A=B，思考：为什么两种求解方法答案不同，哪个正确？哪个错误？为什么？因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180，则A+B=90.前一种解法正确.后一种解法遗漏了一种情况；2222222222222222222222222222222222222222222323222323222323222323由由已已知知，sinA+sinB=sinC（sinA+sinB=sinC（cosA+cosB）cosA+cosB），b+c-aa+c-bb+c-aa+c-b由由正正、余余弦弦定定理理得得
11、，a+b=c（a+b=c（+）+）2bc2ac2bc2acb+c-aa+c-bb+c-aa+c-b所所以以a+b=+，a+b=+，2b2a2b2a所所以以2a b+2ab=a（2a b+2ab=a（b+c-a）b+c-a）+b（+b（a+c-b）a+c-b），所所以以a b+ab=ac-a+bc-b，a b+ab=ac-a+bc-b，所所以以a b+ab-aca b+ab-ac（2）2）+a-bc+b=0+a-bc+b=0所以此三角形为直角三角形.222222222222222222222222所所以以ab（ab（a+b）a+b）-c（-c（a+b）a+b）+（+（a+b）a+b）（a-ab+
12、b）a-ab+b）=0=0即即（a+b）a+b）（a+b-c）a+b-c）=0，=0，又又a+ba+b0，0，所所以以a+b-c=0，a+b-c=0，所所以以c=a+b，c=a+b，利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并观察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)1.在 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 且ab，则 （）A AB BC C1asinBcos
13、C+csinBcosA=b,2=B B2255A.B.C.D.A.B.C.D.63366336三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)【解析】选A.据正弦定理，设 则 将它们代入 整理得 即 又 所以 因为ab，所以 必为锐角，所以 abcabc=k=ksinAsinBsinCsinAsinBsinCa a=k ks si in nA A,b b=k ks si in nB B,c c=k ks si in nC C.1 1a as si in nB Bc co os sC C+c cs si in nB
14、Bc co os sA A=b b,2 21 1sinAcosC+cosAsinC=,sinAcosC+cosAsinC=,2 21 1s si in n(A A+C C)=,2 2s si in n(A A+C C)=s si in n(-B B)=s si in nB B,1 1s si in nB B=2 2B B=.6 6B B三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)2 2.（2 20 01 13 3 陕陕西西高高考考）设设A AB BC C的的内内角角A A,B B,C C所所对对的的边边分分别别
15、为为a a,b b,c c,若若b bc co os sC C+c cc co os sB B=a as si in nA A,则则A AB BC C的的形形状状为为 （）A A.直直角角三三角角形形 B B.锐锐角角三三角角形形 C C.钝钝角角三三角角形形 D D.不不确确定定分析：在含有边角关系式三角函数恒等变形中，利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式，这是判断三角形形状的两个转化方向.三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)【解析】选A.因为 所以由正弦定理得所
16、以三角形ABC是直角三角形.bcosC+ccosB=asinAbcosC+ccosB=asinA2 22 22 2s si in nB Bc co os sC C+s si in nC Cc co os sB B=s si in n A A,所所以以s si in n(B B+C C)=s si in n A As si in nA A=s si in n A As si in nA A=1 1三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)1 13.3.在在ABCABC中中，已已知知tanB=3tanB=3，co
17、sC=cosC=，AC=3 6AC=3 6，3 3求求ABCABC的的面面积积 （）设设长长别别为为2 2AB，AB，BC，BC，CA的CA的分分c，c，a，a，b b3131由由tanB=3得tanB=3得B=60所B=60所以以sinB=，sinB=，cosB=，cosB=，22222 22 2又又sinC=1-cos C=，sinC=1-cos C=，3 32 22 23 63 6bsinCbsinC3 3由由正正弦弦定定理理得得，c=8.c=8.sinsin：，3 32 2B B解解三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-
18、精品课件ppt(实用版)ABCABC所所以以sinA=sin（sinA=sin（B+C）B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC3112 2323112 232=+=+，=+，2323632323631 1故故S=bcsinA=6 2+8 3.S=bcsinA=6 2+8 3.2 2三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)4.2645在在 A AB BC C中中，已已知知a a=，b b=，A A=，求求三三角角形形的的面面积积S S为为bsinAbsinA由由正正弦
19、弦定定理理可可得得sinB=sinB=a a66sin45sin453 3=.=.2222因因在在ABC中ABC中，ab,所ab,所以以A B,A B,所所以以B=60B=60或或B=1B=1解解：2020.则则（1）1）若若B=60B=60，C=180C=180-45-45-60-60=75=75,113+3113+3故故S=absinC=S=absinC=22 66sin75sin75=.=.222222三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)答：三角形的面积为3 3+3 33 3-3 3或或.2 22
20、 2则则（2 2）若若B B=1 12 20 0，C C=1 18 80 0-4 45 5-1 12 20 0=1 15 51 11 13 3-3 3故故S S=a ab bs si in nC C=2 2 6 6s si in n1 15 5=.2 22 22 2三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)5.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，cos3 sin0.aCaCbc （1）求A.（2）若a=2，ABC的面积为 ，求b,c.3解：（1）由 及正弦定理得a ac co os sC C+
21、3 3a as si in nC C-b b-c c=0 0s si in nA Ac co os sC C+3 3s si in nA As si in nC C-s si in nB B-s si in nC C=0 0因因为为B B=-A A-C C,所所以以 3 3s si in nA As si in nC C-c co os sA As si in nC C-s si in nC C=0 0由于sinC0，所以1sin().62A 又0A ,故A=.3 三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)（
22、2）ABC的面积1 1S S=b bc cs si in nA A=3 3,故故b bc c=4 4.2 22 22 22 22 22 2而而a a=b b+c c-2 2b bc cc co os sA A,故故b b+c c=8 8.解解得得b b=c c=2 2.三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)1.三角形面积公式：2.确定三角形的形状利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.111222S S=a ab bs si in nC C，S S=b bc cs si in nA A，S S=a ac cs si in nB B.三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)三角形中的几何计算优质ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)
