1、二 绝对值不等式1.绝对值三角不等式绝对值不等式绝对值不等式原点原点a a|a|+|b|a|+|b|距离距离ab0ab0长度长度(a-b)(b-c)0(a-b)(b-c)01.|a+b|1.|a+b|与与|a|-|b|,|a-b|a|-|b|,|a-b|与与|a|-|b|a|-|b|及及|a|+|b|a|+|b|分别具有什么分别具有什么关系？关系？提示：提示：|a|-|b|a+b|,|a|-|b|a-b|a|+|b|.|a|-|b|a+b|,|a|-|b|a-b|a|+|b|.2.2.三个实数的绝对值不等式的几何意义是怎样的？三个实数的绝对值不等式的几何意义是怎样的？提示：提示：数轴上任意一点
2、到两点的距离之和，不小于这两点的数轴上任意一点到两点的距离之和，不小于这两点的距离距离.3.3.函数函数y=|xy=|x4|+|x4|+|x6|6|的最小值是的最小值是_._.【解析解析】y=|xy=|x4|+|x4|+|x6|=|46|=|4x|+|xx|+|x6|6|4|4x+xx+x6|=2.6|=2.答案：答案：2 21.1.定理定理2 2的几何解释的几何解释在数轴上在数轴上,a,b,c,a,b,c所对应的点分别为所对应的点分别为A,B,C,A,B,C,当点当点B B在点在点A,CA,C之间之间时时,|a-c|=|a-b|+|b-c|;,|a-c|=|a-b|+|b-c|;当点当点B
3、B不在点不在点A,CA,C之间时之间时,|a-c|a-,|a-c|b|a|b|时时,有有|a|-|b|0,|a|-|b|0,所以所以|a+b|a|-|b|=|a|-|b|.|a+b|a|-|b|=|a|-|b|.所以必有所以必有 即即|a|b|a|b|是是 成立的充分条件成立的充分条件.当当 时时,由由|a+b|0,|a+b|0,必有必有|a|-|b|0,|a|-|b|0,即即|a|b|,|a|b|,故故|a|b|a|b|是是 成立的必要条件成立的必要条件.所以不等式成立的充要条件为所以不等式成立的充要条件为|a|b|.|a|b|.答案：答案：|a|b|a|b|ab1ab，ab1ab，ab1a
4、b，ab1ab，【拓展提升拓展提升】与绝对值不等式相关的判断方法与技巧与绝对值不等式相关的判断方法与技巧(1)(1)判断一个不等式成立与否判断一个不等式成立与否,往往是对影响不等号的因素进往往是对影响不等号的因素进行分析行分析,如一个数的正、负、零等，数如一个数的正、负、零等，数(或式子或式子)的积、平方、的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式取倒数等都对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了中的作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了.(2)(2)如果对不等式不能直接判断如果对不等式不能直接判断,往往需要对不等式化简
5、整理往往需要对不等式化简整理或变形后再利用绝对值不等式进行判断或变形后再利用绝对值不等式进行判断.【变式训练变式训练】“”“”是是“|x-y|q”|x-y|q”的的()()A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析解析】选选A.A.若若则则所以所以 是是|x-y|q|x-y|q的充分条件的充分条件.反之反之,若若|x-|x-y|q,y|0,|x-a|,|y-b|0,|x-a|,|y-b|.求证：求证：|x+3y-a-3b|4.|x+3y-a-3b|a|x-3|+|x-4|a的解集不是
6、的解集不是R R的正确理解的正确理解.【类题试解类题试解】若不等式若不等式|x-1|+|x+3|a|x-1|+|x+3|a恒成立，则恒成立，则a a的取值范的取值范围是围是_._.【解析解析】因为因为a|x-1|+|x+3|a|x-1|+|x+3|恒成立，故恒成立，故a a小于等于小于等于|x-1|+|x+3|x-1|+|x+3|中的最小值，中的最小值，又又|x-1|+|x+3|=|1-x|+|x+3|1-x+x+3|=4,|x-1|+|x+3|=|1-x|+|x+3|1-x+x+3|=4,故故a4,a4,即即a a的取值范围是的取值范围是(-,4(-,4.答案：答案：(-,4(-,4 1.1
7、.若若x-ax-ah,h,y-ay-ak,k,则下列不等式一定成立的是则下列不等式一定成立的是 ()()A.A.x-yx-y2h B.2h B.x-yx-y2k2kC.C.x-yx-yh+k D.h+k D.x-yx-yh-kh-k【解析解析】选选C.C.x-yx-y=(x-a)+(a-y)(x-a)+(a-y)x-ax-a+a-ya-yh+k.h+k.2.2.设设abab0 0，下面四个不等式中，正确的是，下面四个不等式中，正确的是 ()()a+ba+ba a;a+ba+b|b|;|b|;a+ba+ba-ba-b;a+ba+ba a-b b.A.A.和和 B.B.和和C.C.和和 D.D.和
8、和【解析解析】选选C.C.因为因为abab0,0,所以所以a,ba,b同号，所以同号，所以a+ba+b=a a+b b,所以正确所以正确.3.3.函数函数y=|xy=|x1|+|x1|+|x5|5|的最小值为的最小值为_,_,此时此时x x的取值范围的取值范围是是_._.【解析解析】|x|x1|+|x1|+|x5|=|x5|=|x1|+|51|+|5x|x|x|x1+51+5x|=4x|=4，当且仅当当且仅当(x(x1)(51)(5x)0,x)0,即即1x51x5时等号成立时等号成立.答案：答案：4 4 1,51,54.4.已知已知|a+b|-c(a,b,cR),|a+b|-c(a,b,cR)
9、,给出下列不等式：给出下列不等式：a-b-c,a-b+c,a-b+c,ab-c,ab-c,|a|b|-c,|a|b|-c,|a|-|b|-c,|a|-|b|-c,其其中一定成立的是中一定成立的是_.(_.(填上你认为一定成立的所有序号填上你认为一定成立的所有序号)【解析解析】因为因为|a+b|-c,|a+b|-c,所以所以ca+b-c,ca+b-c,即即c-ba-b-c,c-ba-b-c,所以正确，错误所以正确，错误;又又|a|-|b|a+b|-c,|a|-|b|a+b|-c,所以所以|a|b|-c,|a|b|-c,故正确，错误故正确，错误.答案：答案：5.5.已知已知求证：求证：|f(a)|f(a)f(b)|f(b)|a|ab|.b|.【证明证明】因为因为所以所以|f(a)|f(a)f(b)|f(b)|a|ab|.b|.222f(x)1xab,，222222ab1a1b1a1b22abab,ab22f(a)1a,f(b)1b,
