1、3.1.2 复数的几何意义 主题一：主题一：复数的几何意义复数的几何意义 【自主认知自主认知】 1.1.在什么条件下，复数在什么条件下，复数z z唯一确定？唯一确定？ 提示：提示：给出复数给出复数z z的实部和虚部的实部和虚部. . 2.2.设复数设复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)，以，以z z的实部和虚部组成一个有序实数对的实部和虚部组成一个有序实数对(a(a， b)b)，那么复数，那么复数z z与有序实数对与有序实数对(a(a，b)b)之间是一个怎样的对应关系？之间是一个怎样的对应关系？ 提示：提示：一一对应关系一一对应关系. . 3.3.有序实数对有序实数对(a(a，b
2、)b)的几何意义是什么？的几何意义是什么？ 提示：提示：有序实数对有序实数对(a(a，b)b)表示坐标平面内的点表示坐标平面内的点. . 4.4.用有向线段表示平面向量，向量的大小和方向由什么要素所确定？用有向线段表示平面向量，向量的大小和方向由什么要素所确定？ 提示：提示：有向线段的始点和终点有向线段的始点和终点. . 5.5.在复平面内，复数在复平面内，复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)用向量如何表示？用向量如何表示？ 提示：提示：以原点以原点O O为始点，点为始点，点Z(aZ(a，b)b)为终点的向量为终点的向量. . 根据以上探究过程，试着写出复平面的概念以及复数与点、
3、向量根据以上探究过程，试着写出复平面的概念以及复数与点、向量 间的对应关系：间的对应关系： 1.1.复平面的概念复平面的概念 (1)(1)复平面：用复平面：用_来表示复数的平面来表示复数的平面. . (2)_(2)_叫做实轴，叫做实轴，_叫做虚轴叫做虚轴. . (3)(3)实轴上的点都表示实轴上的点都表示_，虚轴上的点，虚轴上的点( (除原点外除原点外) )都表示都表示_._. 直角坐标系直角坐标系 x x轴轴 y y轴轴 实数实数 纯虚数纯虚数 2.2.复数与点、向量间的对应复数与点、向量间的对应 (a,b)(a,b) 【合作探究合作探究】 1.1.复平面中，实轴上的点一定表示实数，虚轴上的
4、点一定表示虚数吗？复平面中，实轴上的点一定表示实数，虚轴上的点一定表示虚数吗？ 提示：提示：在复平面中，实轴上的点一定表示实数，但虚轴上的点不一定在复平面中，实轴上的点一定表示实数，但虚轴上的点不一定 表示虚数表示虚数. .事实上，虚轴上的点事实上，虚轴上的点(0(0，0)0)是原点，它表示实数是原点，它表示实数0 0，虚轴上，虚轴上 的其他点都表示纯虚数的其他点都表示纯虚数. . 2.2.用坐标表示平面向量，如何根据向量的坐标画出表示向量的有向线用坐标表示平面向量，如何根据向量的坐标画出表示向量的有向线 段？段？ 提示：提示：以原点为始点，向量的坐标对应的点为终点画有向线段以原点为始点，向量
5、的坐标对应的点为终点画有向线段. . 3.3.复数与平面向量是什么关系？复数与平面向量是什么关系？ 提示：提示：一一对应关系一一对应关系 【拓展延伸拓展延伸】复数的三角形式复数的三角形式 (1)(1)定义：复数定义：复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)表示成表示成r(cosr(cos+isin+isin) )的形式叫复的形式叫复 数数z z的三角形式的三角形式. .即即z=r(cosz=r(cos+isin+isin) )，其中，其中为复数为复数z z的辐角的辐角. . (2)(2)非零复数非零复数z z辐角辐角的多值性的多值性. .以以OxOx轴正半轴为始边，向量所在的射轴正半
6、轴为始边，向量所在的射 线为终边的角线为终边的角叫复数叫复数z=a+biz=a+bi的辐角，因此复数的辐角，因此复数z z的辐角是的辐角是 +2k+2k(kZ).(kZ). (3)(3)辐角主值表示法；用辐角主值表示法；用arg zarg z表示复数表示复数z z的辐角主值的辐角主值. . 定义：适合定义：适合00，2 2) )的角的角叫辐角主值，唯一性：复数叫辐角主值，唯一性：复数z z的辐角的辐角 主值是确定的，唯一的主值是确定的，唯一的. .z=0z=0时，其辐角是任意的时，其辐角是任意的. . 【过关小练过关小练】 1.1.已知复数已知复数z=iz=i，复平面内对应点，复平面内对应点Z
7、 Z的坐标为的坐标为( ( ) ) A.(0A.(0，1)1) B.(1B.(1，0)0) C.(0C.(0，0)0) D.(1D.(1，1)1) 【解析解析】选选A.A.复数复数z=iz=i的实部为的实部为0 0，虚部为，虚部为1 1，所以对应点的坐标为，所以对应点的坐标为(0(0， 1).1). 2.2.向量向量a=(1=(1，- -2)2)所对应的复数是所对应的复数是( ( ) ) A.z=1+2iA.z=1+2i B.z=1B.z=1- -2i2i C.z=C.z=- -1+2i1+2i D.z=D.z=- -2+i2+i 【解析解析】选选B.B.因为因为a=(1=(1，- -2)2)
8、，所以复平面内对应的点为，所以复平面内对应的点为Z(1Z(1，- -2)2)， 所以所以a对应的复数为对应的复数为z=1z=1- -2i.2i. 主题二：主题二：复数的模复数的模 【自主认知自主认知】 1.1.设设Z(aZ(a，b)b)，则向量，则向量 的模如何用的模如何用a a，b b表示？表示？ 提示：提示： OZ 22 |OZ|ab . 2.2.根据复数模的意义，考虑根据复数模的意义，考虑|a+bi|a+bi|的计算公式是什么？的计算公式是什么？ 提示：提示：|a+bi|=|a+bi|= 3.3.向量向量 的模的模r r与复数与复数z=a+biz=a+bi的模的模|z|z|有何关系？有何
9、关系？ 提示：提示：相等相等. .即即r=|z|= r=|z|= 22 ab . OZ 22 ab . 根据以上探究过程，总结出复数模的定义以及计算公式：根据以上探究过程，总结出复数模的定义以及计算公式： (1)(1)复数复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)模的定义：模的定义：_._. (2)(2)复数复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)模的计算：模的计算：_._. zOZ(O)复数 对应的向量为原点 的模 22 zabiab 【合作探究合作探究】 1.1.若若|z|=1|z|=1，|z|2i B.|2+3i|1B.|2+3i|1- -4i|4i| C.|2C.|2
10、- -i|2ii|2i4 4 D.iD.i2 2 - -i i 【解析解析】选选C.C.因为两个虚数不能比较大小，因此排除选项因为两个虚数不能比较大小，因此排除选项A A和和D.D. 因为因为 所以所以|2+3i|2i4 4，选项，选项C C正确正确. . 2 222 2 3i2313 1 4i1417 ， 2 2 215 【归纳总结归纳总结】 1.1.复数的模的两个关注点复数的模的两个关注点 (1)(1)从几何意义上理解，复数的模表示点从几何意义上理解，复数的模表示点Z Z到原点的距离到原点的距离. . (2)(2)模的计算公式：模的计算公式：|a+bi|= |a+bi|= ，求复数的模，关
11、键是明确复数，求复数的模，关键是明确复数 的实部与虚部，将复数化为代数形式，然后根据公式求解的实部与虚部，将复数化为代数形式，然后根据公式求解. . 22 ab 2.2.复数复数z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)、复平面上的点、复平面上的点Z(aZ(a，b)b)与平面向量与平面向量 三者之间的联系与区别三者之间的联系与区别 (1)(1)联系：三者一一对应，是通过有序实数对在三者之间建立起一联系：三者一一对应，是通过有序实数对在三者之间建立起一 一对应关系一对应关系. .因此三者都表示复数因此三者都表示复数z z，为了方便起见，把复数，为了方便起见，把复数z=a+biz=a+bi (
12、a(a，bR)bR)说成点说成点Z(aZ(a，b)b)或向量或向量 . . (2)(2)区别：主要是表达形式不同区别：主要是表达形式不同. . z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)从数的角度刻画复数，称为复数的代数形式从数的角度刻画复数，称为复数的代数形式. . 点点Z(aZ(a，b)b)从形的角度刻画复数，称为复数的几何形式从形的角度刻画复数，称为复数的几何形式. .向量向量 从形的角度刻画复数，称为复数的向量形式从形的角度刻画复数，称为复数的向量形式. . OZ OZ OZ 类型一：类型一：复数与点的对应关系复数与点的对应关系 【典例典例1 1】(1)(1)若若 则复数则复数z=
13、(sinz=(sin- -coscos) ) +(sin+(sin+cos+cos)i)i在复平面内所对应的点在在复平面内所对应的点在( ( ) ) A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限 35 () 44 ， (2)(2)求实数求实数a a分别取何值时，复数分别取何值时，复数z= +(az= +(a2 2- -2a2a- -15)i(aR)15)i(aR)对应对应 的点的点Z Z满足下列条件：满足下列条件： 在复平面的第二象限内在复平面的第二象限内. . 在复平面内的在复平面内的x x轴上方轴上方. . 【解题指南解题指南】(1
14、)(1)根据所给角根据所给角的范围，确定复数的范围，确定复数z z的实部与虚部的符的实部与虚部的符 号号. . (2)(2)由由z=a+bi(az=a+bi(a，bR)bR)与点与点Z(aZ(a，b)b)一一对应知第问要求实部小于一一对应知第问要求实部小于 0 0，虚部大于，虚部大于0 0；第问要求虚部大于；第问要求虚部大于0.0. 2 aa6 a3 【解析解析】(1)(1)选选D.sin D.sin - -cos =cos = sin +cos = sin +cos = 因为因为 因此因此sin sin - -cos cos 0 0，sin +cos sin +cos 0 0， 所以复数所以
15、复数z z在复平面内对应的点在第四象限在复平面内对应的点在第四象限. . 2sin() 4 ， 2sin() 4 ， 353 ()()(). 444242 ，所以， ， (2)(2)点点Z Z在复平面的第二象限内，在复平面的第二象限内， 则则 解得解得a a- -3.3. 点点Z Z在在x x轴上方，则轴上方，则 即即(a+3)(a(a+3)(a- -5)5)0 0， 解得解得a a5 5或或a a- -3.3. 2 2 aa6 0 a3 a2a 15 0 ， ， 2 a2a 15 0 a30 ， ， 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(改变问法改变问法) )题题(2)(2)中题设条件不变，求复
16、数中题设条件不变，求复数z z表示的点在表示的点在x x轴上时实轴上时实 数数a a的值的值. . 【解析解析】点点Z Z在在x x轴上，所以轴上，所以a a2 2- -2a2a- -15=015=0， 所以所以a=5a=5或或a=a=- -3.3. 当当a=a=- -3 3时，时， 无意义，故无意义，故a=5a=5时，点时，点Z Z在在x x轴上轴上. . 2 aa6 a3 2.(2.(改变问法改变问法) )题题(2)(2)中条件不变，如果点中条件不变，如果点Z Z在直线在直线x+y+7=0x+y+7=0上，如何上，如何 求解？求解？ 【解析解析】因为点因为点Z Z在直线在直线x+y+7=0
17、x+y+7=0上，上， 所以所以 +a+a2 2- -2a2a- -15+7=015+7=0， 即即a a3 3+2a+2a2 2- -15a15a- -30=030=0， 所以所以(a+2)(a(a+2)(a2 2- -15)=015)=0， 故故a=a=- -2 2或或a=a= . . 所以所以a=a=- -2 2或或a=a= 时，点时，点Z Z在直线在直线x+y+7=0x+y+7=0上上. . 2 aa6 a3 15 15 【规律总结规律总结】复数与点的对应关系及应用复数与点的对应关系及应用 (1)(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的复平面内复数与点的对应关系的
18、实质是：复数的实部就是该点的 横坐标，虚部就是该点的纵坐标横坐标，虚部就是该点的纵坐标. . (2)(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数的取值范围时，已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数的取值范围时， 可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件构成可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件构成 的方程的方程( (组组) )或不等式或不等式( (组组) )，通过解方程，通过解方程( (组组) )或不等式或不等式( (组组) )得出结论得出结论. . 【补偿训练补偿训练】当实数当实数m m分别为何值时，复数分别为何值时，复数(m(m2 2- -8m+1
19、5)+(m8m+15)+(m2 2+3m+3m- -28)i28)i 在复平面内对应的点：在复平面内对应的点： (1)(1)位于第四象限？位于第四象限？ (2)(2)位于位于x x轴的负半轴上？轴的负半轴上？ (3)(3)位于位于y y轴的正半轴上？轴的正半轴上？ 【解题指南解题指南】复数复数a+bi(aa+bi(a，bR)bR)在复平面内对应的点位于第四象限在复平面内对应的点位于第四象限 应满足应满足a0a0且且b0. 【解析解析】(1)(1)当复数当复数(m(m2 2- -8m+15)+(m8m+15)+(m2 2+3m+3m- -28)i28)i在复平面内对应的点在复平面内对应的点 位于
20、第四象限时，位于第四象限时， 所以所以- -71 B.B.- -10D.a0 5 【解题指南解题指南】(1)(1)设设z=a+2ai(aR)z=a+2ai(aR)，由复数模的计算公式列方程求，由复数模的计算公式列方程求 出出a a值即可值即可. . (2)(2)根据复数模的计算公式列不等式得出答案根据复数模的计算公式列不等式得出答案. . 【解析解析】(1)(1)选选D.D.依题意可设复数依题意可设复数z=a+2ai(aR)z=a+2ai(aR)， 由由|z|= |z|= 得得 解得解得a=a=1 1，故，故z=1+2iz=1+2i或或z=z=- -1 1- -2i.2i. (2)(2)选选B
21、.B.因为因为 所以所以 即即a a2 2+40，所以，所以|z|z|- -3=03=0，即，即|z|=3|z|=3，它表示复数，它表示复数z z对应的点到原点的对应的点到原点的 距离为距离为3 3，即其轨迹是以原点为圆心，以，即其轨迹是以原点为圆心，以3 3为半径的圆为半径的圆. . 2.2.因为因为(2 )(2 )2 2=(x=(x- -2)2)2 2+y+y2 2，所以，所以z z2 2=x+yi=x+yi所对应的点所对应的点(x(x，y)y)的轨迹是的轨迹是 以以(2(2，0)0)为圆心，以为圆心，以2 2为半径的圆为半径的圆. . 答案答案：(x(x- -2)2)2 2+y+y2 2
22、=8=8 2 3 3. .由由a a2 2- -2 2a+a+4 4=(a=(a- -1 1) )2 2+ +3 33 3， - -(a(a2 2- -2 2a+a+2 2)=)=- -(a(a- -1 1) )2 2- -1 1- -1 1. . 得得z z的实部为正数的实部为正数，虚部为负数虚部为负数. . 所以复数所以复数z z的对应点在第四象限的对应点在第四象限. . 设设z=x+yi(xz=x+yi(x，yR)yR)，则则 消去消去a a2 2- -2 2a a得得y=y=- -x+x+2 2(x(x3 3) )， 所以复数所以复数z z对应点的轨迹是一条射线对应点的轨迹是一条射线， 其方程为其方程为y=y=- -x+x+2 2(x(x3 3) ). . 2 2 xa2a4 y(a2a2). ， 【规律总结规律总结】解复数所对应点的图形问题常用两种方法解复数所对应点的图形问题常用两种方法 方法一：根据方法一：根据|z|z|表示点表示点Z Z和原点间的距离，直接判定图形形状和原点间的距离，直接判定图形形状. . 方法二：利用模的定义，把复数问题转化为实数问题来解决，这也是方法二：利用模的定义，把复数问题转化为实数问题来解决，这也是 本章的一种重要思想方法本章的一种重要思想方法. .
