1、2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法 第1课时 综 合 法 主题：主题：综合法综合法 【自主认知自主认知】 1.1.观察不等式证明，思考此证明过程是从什么入手证明结论成立的？观察不等式证明，思考此证明过程是从什么入手证明结论成立的？ 在锐角三角形在锐角三角形ABCABC中，求证：中，求证： sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C.sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C. 【证明证明】因为因为ABCABC为锐角三角形，为锐角三角形， 所以所以A+BA+B 所以所以A A - -B B， 因为因为y=sin xy=sin
2、 x在在 上是增函数，上是增函数， 所以所以sin Asin =cos Bsin Asin =cos B， 同理可得同理可得sin Bcos Csin Bcos C，sin Ccos Asin Ccos A， 所以所以sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C.sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C. 2 ， 2 (0) 2 ， (B) 2 提示：提示：是利用函数是利用函数y=sin xy=sin x在在 上是增函数这一性质入手证明上是增函数这一性质入手证明 结论成立的结论成立的. . (0) 2 ， 2.2.问题问题1 1中的证明过程是
3、否为中的证明过程是否为“顺推法顺推法”？ 提示：提示：证明过程是以已知入手，借助不等式的性质和三角函数的单调证明过程是以已知入手，借助不等式的性质和三角函数的单调 性得出结论的性得出结论的. . 根据以上探究过程，试着写出综合法的定义及证明流程：根据以上探究过程，试着写出综合法的定义及证明流程： 1.1.综合法的定义综合法的定义 一般地，利用一般地，利用_和某些数学定义、公理、定理等，经过一系和某些数学定义、公理、定理等，经过一系 列的列的_，最后推导出所要证明的，最后推导出所要证明的_成立，这种证明方法成立，这种证明方法 叫做综合法叫做综合法. . 已知条件已知条件 推理论证推理论证 结论结
4、论 2.2.综合法的流程综合法的流程 其中其中P P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q Q表示所要证明表示所要证明 的的_，Q Q1 1，Q Q2 2，Q Qn n表示中间结论表示中间结论. . 结论结论 【合作探究合作探究】 1.1.综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？ 提示：提示：因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的 每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法每一个结论都是正确的
5、，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法 是演绎推理是演绎推理. . 2.2.综合法逻辑推理的依据是什么？综合法逻辑推理的依据是什么？ 提示：提示：综合法逻辑推理的依据是演绎推理中的三段论综合法逻辑推理的依据是演绎推理中的三段论. . 【过关小练过关小练】 1.1.若实数若实数a a，b b满足满足0 所以所以2ab 又因为又因为0b，则比较大小：，则比较大小：sin Asin A sin B.sin B. 【解析解析】在在ABCABC中，中， 由正弦定理可知由正弦定理可知 可知可知 又因为又因为abab，所以，所以sin Asin B.sin Asin B. 答案：答案： abc 2R si
6、n Asin Bsin C ， ab sin Asin B 2R2R ， 【归纳总结归纳总结】 对综合法的四点说明对综合法的四点说明 (1)(1)思维特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其推理思维特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其推理 过程实际上是寻找结论成立的必要条件的过程过程实际上是寻找结论成立的必要条件的过程. . (2)(2)优点：条理清晰，易于表述优点：条理清晰，易于表述. . (3)(3)缺点：探路艰难，易生枝节缺点：探路艰难，易生枝节. . (4)(4)思维过程，原因思维过程，原因结果结果. . 综合法的两个特点综合法的两个特点 (1)(1)用综合法证明不
7、等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条 理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹. . (2)(2)因用综合法证明命题因用综合法证明命题“若若A A到到D D”的思考过程可表示为：的思考过程可表示为： 故要从故要从A A推理到推理到D D，由，由A A推演出的中间结论未必唯一，如推演出的中间结论未必唯一，如B B，B B1 1，B B2 2等，等， 可由可由B B，B B1 1，B B2 2进一步推演出的中间结论则可能更多，如进一步推演出的中间结论则可能更多，如C C，C C1 1，C C2 2
8、， C C3 3，C C4 4等等. . 所以如何找到所以如何找到“切入点切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问和有效的推理途径是有效利用综合法证明问 题的题的“瓶颈瓶颈”. . 类型一：类型一：用综合法证明不等式问题用综合法证明不等式问题 【典例典例1 1】已知已知a a，b b，c0c0，且，且a+b+c=1a+b+c=1，求证：，求证： (1)a(1)a2 2+b+b2 2+c+c2 2 (2) (2) 【解题解题指南指南】(1)(1)构造构造 再分别利用基本不等式再分别利用基本不等式. . (2)(2)构造构造 再利用再利用 (a0(a0，b0)b0)求解求解. . 1 . 3
9、 abc3 222 111 abc 999 ， 111 abc 333 ， ab ab 2 【解析解析】(1)(1)因为因为 所以所以 ( (当且仅当当且仅当a=b=c= a=b=c= 时取时取“= =”) ) 所以所以a a2 2+b+b2 2+c+c2 2 222 12a12b12c abc 939393 ， 222 111222 (a)(b)(c)abc 999333 1 3 22 abc. 33 1 . 3 (2)(2)因为因为 三式相加得三式相加得 ( (当且仅当当且仅当a=b=c= a=b=c= 时取时取“= =”) )， 所以所以 111 abc 111 333 abc 3232
10、32 ， abc11 abc1 22333 abc3. 1 3 【规律总结规律总结】综合法证明不等式的主要依据综合法证明不等式的主要依据 (1)a(1)a2 20(aR).0(aR). (2)(a(2)(a- -b)b)2 20(a0(a，bR)bR)，其变形有，其变形有a a2 2+b+b2 22ab2ab， abab， a a2 2+b+b2 2 (3)(3)若若a a，b(0b(0，+ +) )，则，则 特别地，特别地， 2 ab () 2 2 ab . 2 ab ab 2 ， ba 2. ab (4)a(4)a2 2+b+b2 2+c+c2 2ab+bc+ca(aab+bc+ca(a，
11、b b，cR).cR). 由基本不等式由基本不等式a a2 2+b+b2 22ab2ab，易得，易得a a2 2+b+b2 2+c+c2 2ab+bc+caab+bc+ca，而此结论是一，而此结论是一 个很重要的不等式，许多不等式的证明都可以用该结论个很重要的不等式，许多不等式的证明都可以用该结论. . (5)a+b+c(5)a+b+c，a a2 2+b+b2 2+c+c2 2，ab+bc+caab+bc+ca这三个式子之间的关系由这三个式子之间的关系由 (a+b+c)(a+b+c)2 2=a=a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2(ab+bc+ca)+2(ab+bc+ca)给出，三个式子中
12、知道两个式子，第给出，三个式子中知道两个式子，第 三个式子可以由该等式用另外两个式子表示出来三个式子可以由该等式用另外两个式子表示出来. . 【巩固训练巩固训练】设设a a，b b，c c为不全相等的正数，且为不全相等的正数，且abc=1abc=1，求证：，求证： 【证明证明】因为因为a0a0，b0b0，c0c0，且，且abc=1abc=1， 所以所以 又又bc+ca bc+ca 同理同理 111 abc. abc 111111 abc()bccaab. abcabc 2 2 bc ca2 abc2 c， bcab2 bcaab2 a， 因为因为a a，b b，c c不全相等，不全相等， 所以
13、上述三个不等式中的所以上述三个不等式中的“= =”号不能同时成立号不能同时成立. . 所以所以2(bc+ca+ab)2( )2(bc+ca+ab)2( )， 即即bc+ca+ab bc+ca+ab 故故 cab abc， 111 abc. abc 【拓展延伸拓展延伸】证明不等式的注意点证明不等式的注意点 在用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式在用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式 相加，同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性相加，同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性 质成立的前提条件质成立的前提条件. . 【补偿训练
14、补偿训练】已知已知x0x0，y0y0且且x+y=1x+y=1， 求证：求证： 【证明证明】方法一：因为方法一：因为x0x0，y0y0，1=x+y 1=x+y 所以所以xy xy 所以所以 11 (1)(1)9. xy 2 xy， 1 . 4 11111 (1)(1)1 xyxyxy xy12 111 89. xyxyxy 方法二方法二：因为：因为1=x+y1=x+y， 所以所以 又因为又因为x x0 0，y y0 0，所以，所以 2 2， 所以所以 5+25+22=9.2=9. 11xyxy (1)(1)(1)(1) xyxy yxxy (2)(2)52(). xyyx xy yx 11 (1
15、)(1) xy 类型二：类型二：利用综合法证明数列问题利用综合法证明数列问题 【典例典例2 2】设数列设数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，且，且(3(3- -m)Sm)Sn n+2ma+2man n=m+3(nN=m+3(nN* *) )， 其中其中m m为常数，且为常数，且mm- -3.3. (1)(1)求证：求证：aan n 是等比数列是等比数列. . (2)(2)若数列若数列aan n 的公比的公比q=f(m)q=f(m)，数列，数列bbn n 满足满足b b1 1=a=a1 1，b bn n= f(b= f(bn n- -1 1) ) (nN(nN* *，n2)n
16、2)，求证：，求证： 为等差数列为等差数列. . 3 2 n 1 b 【解题指南解题指南】(1)(1)中利用中利用a an+1 n+1与 与S Sn n和和S Sn+1 n+1之间的关系结合等比数列的 之间的关系结合等比数列的 定义证明定义证明.(2).(2)中利用定义证明，即中利用定义证明，即 = =常数常数(n2).(n2). 【证明证明】(1)(1)由由(3(3- -m)Sm)Sn n+2ma+2man n=m+3=m+3得得 (3(3- -m)Sm)Sn+1 n+1+2ma +2man+1 n+1=m+3 =m+3， 两式相减得两式相减得(3+m)a(3+m)an+1 n+1=2ma
17、=2man n(m(m- -3)3)， 所以所以 所以所以aan n 是等比数列是等比数列. . nn 1 11 bb n 1 n a2m am3 ， (2)b(2)b1 1=a=a1 1=1=1，q=f(m)= q=f(m)= 所以所以nNnN* *，n2n2时，时， b bn n= f(b= f(bn n- -1 1)= )= b bn nb bn n- -1 1+3b+3bn n=3b=3bn n- -1 1 所以数列所以数列 为首项为为首项为1 1，公差为，公差为 的等差数列的等差数列. . 2m m3 ， 3 2 3 2 n 1 n 1 2b b3 nn 1 111 . bb3 n
18、1 b 1 3 【规律总结规律总结】综合法证明数列问题的依据综合法证明数列问题的依据 【巩固训练巩固训练】数列数列aan n 的前的前n n项和记为项和记为S Sn n，已知，已知a a1 1=1=1，a an+1 n+1= = S Sn n(n=1(n=1，2 2，3 3) )， 证明：证明：(1)(1)数列数列 是等比数列是等比数列. . (2)S(2)Sn+1 n+1=4a =4an n. . n2 n n S n 【证明证明】(1)(1)因为因为a an+1 n+1=S =Sn+1 n+1- -S Sn n， ，a an+1 n+1= S = Sn n(nN(nN* *) )， 所以所
19、以(n+2)S(n+2)Sn n=n(S=n(Sn+1 n+1- -S Sn n) )， ， 整理，得整理，得nSnSn+1 n+1=2(n+1)S =2(n+1)Sn n，所以，所以 (nN(nN* *).). 故数列故数列 是公比为是公比为2 2，首项为，首项为1 1的等比数列的等比数列. . n2 n n 1n SS 2 n 1n n S n (2)(2)由由(1)(1)知知 (n2).(n2). 因为因为a an+1 n+1= S = Sn n，所以，所以a an n= S= Sn n- -1 1(n2)(n2)， 所以所以S Sn+1 n+1=4(n+1) =4(n+1) =4a=4
20、an n(n2).(n2). 又又a a2 2=3S=3S1 1=3=3，故，故S S2 2=a=a1 1+a+a2 2=4=4a=4=4a1 1. . 因此对于任意正整数因此对于任意正整数n1n1，都有，都有S Sn+1 n+1=4a =4an n. . n 1n 1 SS 4 n 1n 1 n2 n n 1 n 1 n 1 S n 1 【补偿训练补偿训练】在数列在数列aan n 中，中，a a1 1=1=1，a an+1 n+1=2a =2an n+2+2n n. . (1)(1)设设b bn n= = ，求证数列，求证数列bbn n 是等差数列是等差数列. . (2)(2)求数列求数列a
21、an n 的前的前n n项和项和S Sn n. . 【解析解析】(1)(1)因为因为a an+1 n+1=2a =2an n+2+2n n，所以，所以 因为因为b bn n= = ，所以，所以b bn+1 n+1= =b = =bn n+1+1， 所以数列所以数列bbn n 是首项为是首项为1 1，公差为，公差为1 1的等差数列，的等差数列， n n 1 a 2 n 1n nn 1 aa 1. 22 n n 1 a 2 n 1 n a 2 (2)(2)由由(1)(1)得得b bn n=n=n，a an n=n=n2 2n n- -1 1. . 因为因为S Sn n=1=12 20 0+2+22
22、 21 1+ +(n+(n- -1)1)2 2n n- -2 2+n+n2 2n n- -1 1， 所以所以2S2Sn n=1=12 21 1+2+22 22 2+ +(n+(n- -1)1)2 2n n- -1 1+n+n2 2n n， 两式相减得两式相减得S Sn n=n=n2 2n n- -1 12 20 0- -1 12 21 1- - -1 12 2n n- -1 1 =n=n2 2n n- -2 2n n+1=2+1=2n n(n(n- -1)+1.1)+1. 类型三类型三：综合法证明其他问题综合法证明其他问题 【典例典例3 3】证明：证明：sin(2sin(2 + + )=sin
23、)=sin +2sin+2sin cos(cos( + + ).). 【解题指南解题指南】利用所证等式两边角的关系，借助三角公式证明等式利用所证等式两边角的关系，借助三角公式证明等式 成立成立. . 【证明证明】因为因为sin(2+)sin(2+)- -2sincos(+)2sincos(+) =sin(+)+=sin(+)+- -2sincos(+)2sincos(+) =sin(+)cos+cos(+)sin=sin(+)cos+cos(+)sin- -2sincos(+)2sincos(+) =sin(+)cos=sin(+)cos- -cos(+)sin=sin(+)cos(+)sin
24、=sin(+)- -=sin.=sin. 所以原命题成立所以原命题成立. . 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(变换条件变换条件) )在例题中令在例题中令 = = ，求证：，求证：sin3sin3 =3sin=3sin - -4sin4sin3 3 . . 【证明证明】左边左边=sin(2+)=sin2cos+cos2sin=sin(2+)=sin2cos+cos2sin =2sincos=2sincos2 2+(1+(1- -2sin2sin2 2)sin)sin =2sin(1=2sin(1- -sinsin2 2)+sin)+sin- -2sin2sin3 3 =2sin=2sin- -
25、2sin2sin3 3+sin+sin- -2sin2sin3 3=3sin=3sin- -4sin4sin3 3=右边右边. . 所以所以sin3=3sinsin3=3sin- -4sin4sin3 3. 2.(2.(变换条件变换条件) )把延伸探究把延伸探究1 1改为改为“cos3cos3 =4cos=4cos3 3 - -3cos3cos ”， 如何证明？如何证明？ 【证明证明】左边左边=cos(2+)=cos2cos=cos(2+)=cos2cos- -sin2sinsin2sin =(2cos=(2cos2 2- -1)cos1)cos- -2sin2sin2 2coscos =2c
26、os=2cos3 3- -coscos- -2cos(12cos(1- -coscos2 2)=4cos)=4cos3 3- -3cos=3cos=右边右边. . 所以所以cos3=4coscos3=4cos3 3- -3cos.3cos. 【规律总结规律总结】综合法证明的关键综合法证明的关键 (1)(1)明确条件：充分寻找题目的条件，可在图形上标注明确条件：充分寻找题目的条件，可在图形上标注( (如立体几何如立体几何 的证明的证明) )，并尽力对知识点进行拓展、联想、挖掘题目的隐含条件，并尽力对知识点进行拓展、联想、挖掘题目的隐含条件. . (2)(2)关注目标：综合法证明问题一定要结合题目
27、结论，明确证明方向，关注目标：综合法证明问题一定要结合题目结论，明确证明方向， 这样可少走弯路这样可少走弯路. . (3)(3)注意转化思想的应用注意转化思想的应用. . 【巩固训练巩固训练】如图，在四棱锥如图，在四棱锥P P- -ABCDABCD中，中，PAPA底面底面ABCDABCD，ABADABAD， ACCDACCD，ABC=60ABC=60，PA=AB=BCPA=AB=BC，E E是是PCPC的中点的中点. . (1)(1)证明：证明：CDAE.CDAE. (2)(2)证明：证明：PDPD平面平面ABE.ABE. 【证明证明】(1)(1)在四棱锥在四棱锥P P- -ABCDABCD中
28、，因为中，因为PAPA底面底面ABCDABCD，CDCD 平面平面ABCDABCD， 故故PACD.PACD. 因为因为ACCDACCD，PAAC=APAAC=A，所以，所以CDCD平面平面PACPAC， 而而AEAE 平面平面PACPAC，所以，所以CDAE.CDAE. (2)(2)由由PA=AB=BCPA=AB=BC，ABC=60ABC=60，可得，可得AC=PAAC=PA， 因为因为E E是是PCPC的中点，所以的中点，所以AEPC.AEPC. 由由(1)(1)知，知，AECDAECD，且，且PCCD=CPCCD=C，所以，所以AEAE平面平面PCD.PCD. 而而PDPD 平面平面PC
29、DPCD，所以，所以AEPDAEPD， 因为因为PAPA底面底面ABCDABCD， PDPD在底面在底面ABCDABCD内的射影是内的射影是ADAD，ABADABAD， 所以所以ABPDABPD， 又因为又因为ABAE=AABAE=A，所以，所以PDPD平面平面ABE.ABE. 【补偿训练补偿训练】已知椭圆已知椭圆 =1(ab0)=1(ab0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F F1 1， F F2 2，A A在椭圆上，满足在椭圆上，满足AFAF2 2FF1 1F F2 2，原点，原点O O到直线到直线AFAF1 1的距离为的距离为 |OF|OF2 2| |， 求证：求证：a= b.a=
30、b. 22 22 xy ab 1 3 2 【证明证明】设设F F1 1( (- -c c，0)0)、F F2 2(c(c，0)(a0)(a2 2=b=b2 2+c+c2 2) )， 则则|OF|OF2 2|=c|=c，设，设A(xA(x0 0，y y0 0) )，因为，因为AFAF2 2FF1 1F F2 2，所以，所以x x0 0=c=c， 代入代入 =1=1可解得可解得y y0 0= = 所以所以|AF|AF2 2|= |= 所以所以|AF|AF1 1|=2a|=2a- -|AF|AF2 2|=2a|=2a- - 在在RtRtAFAF2 2F F1 1中，中，O O是是F F1 1F F2 2的中点，的中点， 22 22 xy ab 2 b a ， 2 b . a 222 b2ab aa ， 所以所以O O到到AFAF1 1的距离为的距离为 所以所以 化简整理得化简整理得a a2 2=2b=2b2 2. .所以所以a= b.a= b. 2 1 22 22 1 2 2 22 2b c |FF |AF |11 a d 2ab2|AF |2 a b c11 OFc. 2ab33 2 22 b c1 c 2ab3 ， 2
