1、3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及 其几何意义 【自主预习自主预习】 复数的加、减法法则及几何意义与运算律复数的加、减法法则及几何意义与运算律 z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C,C,设设 分别与复数分别与复数z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di =c+di (a,b,c,dR)(a,b,c,dR)相对应相对应, ,且且 不共线不共线 12 OZ OZ， 12 OZ OZ， 加法加法 减法减法 运算运算 法则法则 z z1 1+z+z2 2 =(a+c)+(b+d)i=(a+c)+(b+d)i z z1 1- -z z2 2 =(
2、a=(a- -c)+(bc)+(b- -d)id)i 几何几何 意义意义 复数的和复数的和z z1 1+z+z2 2与向量与向量 的坐标对应的坐标对应 复数的差复数的差z z1 1- -z z2 2与向量与向量 的坐的坐 标对应标对应 1 OZ 2 OZOZ 1221 OZOZZ Z 加法加法 减法减法 运算运算 律律 交换交换 律律 z z1 1+z+z2 2=z=z2 2+_+_ 结合结合 律律 (z(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3 =z=z1 1+(_)+(_) z z1 1 z z2 2+z+z3 3 【即时小测即时小测】 1.(20151.(2015福建高考福建高考) )若
3、若(1+i)+(2(1+i)+(2- -3i)=a+bi(a,bR,i3i)=a+bi(a,bR,i 是虚数单位是虚数单位),),则则a,ba,b的值分别等于的值分别等于 ( ( ) ) A.3,A.3,- -2 2 B.3,2B.3,2 C.3,C.3,- -3 3 D.D.- -1,41,4 【解题指南解题指南】根据复数相等的含义求解根据复数相等的含义求解. . 【解析解析】选选A.A.由题可知由题可知3 3- -2i=a+bi,2i=a+bi,因为因为a,ba,b均为实数均为实数, , 所以所以a=3,b=a=3,b=- -2.2. 2.2.若复数若复数z z满足满足z+iz+i- -3
4、=33=3- -i,i,则则z z等于等于 ( ( ) ) A.0A.0 B.2iB.2i C.6C.6 D.6D.6- -2i2i 【解析解析】选选D.z=3D.z=3- -i i- -(i(i- -3)=63)=6- -2i.2i. 【知识探究知识探究】 探究点探究点1 1 复数的加法与减法运算复数的加法与减法运算 1.1.两个复数的和是个什么数两个复数的和是个什么数, ,它的值唯一吗它的值唯一吗? ? 提示提示: :仍然是个复数仍然是个复数, ,是唯一的复数是唯一的复数. . 2.2.若复数若复数z z1 1,z,z2 2满足满足z z1 1- -z z2 20,0,能否认为能否认为z
5、z1 1zz2 2? ? 提示提示: :不能不能. .如如2+i2+i- -i0,i0,但但2+i2+i与与i i不能比较大小不能比较大小. . 【归纳总结归纳总结】 对复数加法减法运算的五点说明对复数加法减法运算的五点说明 (1)(1)一种规定一种规定: :复数的代数形式的加法法则是一种规定复数的代数形式的加法法则是一种规定, , 减法是加法的逆运算减法是加法的逆运算. . (2)(2)运算律运算律: :实数加法的交换律、结合律在复数集中仍实数加法的交换律、结合律在复数集中仍 成立成立. .实数的移项法则在复数中仍然成立实数的移项法则在复数中仍然成立. . (3)(3)运算结果运算结果: :
6、两个复数的和两个复数的和( (差差) )是唯一的复数是唯一的复数. . (4)(4)适当推广适当推广: :可以推广到多个复数进行加、减运算可以推广到多个复数进行加、减运算. . (5)(5)虚数单位虚数单位i:i:在进行复数加减运算时在进行复数加减运算时, ,可将虚数单位可将虚数单位i i 看成一个字母看成一个字母, ,然后去括号然后去括号, ,合并同类项即可合并同类项即可. . 特别提醒特别提醒: :当复数的虚部为零时当复数的虚部为零时, ,与实数的加法、减法与实数的加法、减法 法则一致法则一致. . 探究点探究点2 2 复数加减法的几何意义复数加减法的几何意义 1.1.类比绝对值类比绝对值
7、|x|x- -x x0 0| |的几何意义的几何意义, ,说明说明|z|z- -z z0 0|(z,z|(z,z0 0C)C) 的几何意义的几何意义. . 提示提示: :|z|z- -z z0 0|(z,z|(z,z0 0C)C)的几何意义是复平面内点的几何意义是复平面内点Z(Z(对对 应应z z的点的点) )到点到点Z Z0 0( (对应对应z z0 0的点的点) )的距离的距离, ,即即| |=|z| |=|z- - z z0 0|.|. 0 ZZ 2.2.既然复数的加减法可以按照向量加减法的运算法则既然复数的加减法可以按照向量加减法的运算法则 来运算来运算, ,是不是就有是不是就有z z
8、1 1+z+z2 2= z= z2 2- -z z1 1= = 呢呢? ? 21 OZOZ， 21 OZOZ 提示提示: :因为复数的几何意义只是强调了复数与向量之间因为复数的几何意义只是强调了复数与向量之间 的对应关系的对应关系; ;式子式子z z1 1+z+z2 2= z= z2 2- -z z1 1= = 的左边是复数的左边是复数, ,而右边是向量而右边是向量, ,因此不能说因此不能说z z1 1+z+z2 2与与 ,z,z2 2- -z z1 1与与 相等相等. . 21 OZOZ 21 OZOZ 21 OZOZ 21 OZOZ 【归纳总结归纳总结】 对复数加减运算几何意义的两点说明对
9、复数加减运算几何意义的两点说明 (1)(1)复数的加法复数的加法: :根据复数加法的几何意义知根据复数加法的几何意义知, ,两个复数两个复数 的和就是两个复数对应向量的和所对应的复数的和就是两个复数对应向量的和所对应的复数. . (2)(2)复数的减法复数的减法: :根据复数减法的几何意义根据复数减法的几何意义, ,两个复数的两个复数的 差就是两个复数对应向量的差所对应的复数差就是两个复数对应向量的差所对应的复数. . 易错警示易错警示: :注意向量的加减法与复数的加减法之间的关注意向量的加减法与复数的加减法之间的关 系系. . 类型一类型一 复数的代数形式的加减运算复数的代数形式的加减运算
10、【典例典例】1.1.若若z z1 1=2+i,z=2+i,z2 2=3+ai,=3+ai,复数复数z z1 1+z+z2 2所对应的点在所对应的点在 实轴上实轴上, ,则实数则实数a=a= ( ( ) ) A.A.- -2 2 B.2B.2 C.C.- -1 1 D.1D.1 2.2.计算计算:(1)(:(1)(- -2+3i)+(52+3i)+(5- -i).i). (2)(2)(- -1+ i)+(1+ i).1+ i)+(1+ i). (3)(a+bi)(3)(a+bi)- -(2a(2a- -3bi)3bi)- -3i(a,bR).3i(a,bR). 2 2 【解题探究解题探究】1.1
11、.本例本例1 1中复数中复数z z1 1+z+z2 2的值是多少的值是多少? ?实轴上实轴上 的点所对应复数的虚部是多少的点所对应复数的虚部是多少? ? 提示提示: :z z1 1+z+z2 2=5+(a+1)i,=5+(a+1)i,实轴上点的纵坐标为实轴上点的纵坐标为0,0,则实轴则实轴 上的点所对应复数的虚部是上的点所对应复数的虚部是0.0. 2.2.解答本例解答本例2 2的思路是什么的思路是什么? ? 提示提示: :明确复数的实部和虚部明确复数的实部和虚部, ,实部与虚部分别相加减实部与虚部分别相加减. . 【解析解析】1.1.选选C.C.由由z z1 1+z+z2 2=5+(a+1)i
12、=5+(a+1)i所对应的点在实轴所对应的点在实轴 上得上得a=a=- -1.1. 2.(1)(2.(1)(- -2+3i)+(52+3i)+(5- -i)=(i)=(- -2+5)+(32+5)+(3- -1)i=3+2i.1)i=3+2i. (2)(2)(- -1+1+ i)+(1+i)+(1+ i)=(i)=(- -1+1)+(1+1)+( + )i=2+ )i=2 i.i. (3)(a+bi)(3)(a+bi)- -(2a(2a- -3bi)3bi)- -3i=(a3i=(a- -2a)+(b+3b2a)+(b+3b- -3)i=3)i=- -a+(4ba+(4b- - 3)i.3)i
13、. 2 22 2 2 【延伸探究延伸探究】将本例将本例1 1改为改为“若若z z1 1=2+i,z=2+i,z2 2=3+ai,=3+ai,复数复数 z z1 1+z+z2 2所对应的点在第四象限上所对应的点在第四象限上, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围”. . 【解析解析】由题意知由题意知a+10,a+10,解得解得aa- -1.1. 【方法技巧方法技巧】复数加、减运算法则的记忆复数加、减运算法则的记忆 (1)(1)复数的实部与实部相加减复数的实部与实部相加减, ,虚部与虚部相加减虚部与虚部相加减. . (2)(2)把把i i看作一个字母看作一个字母, ,类比多项式加减中的合并同类
14、项类比多项式加减中的合并同类项. . 特别提醒特别提醒: :注意运算格式及范围注意运算格式及范围, ,避免出错避免出错 (1)(1)在进行复数减法运算时要注意格式在进行复数减法运算时要注意格式, ,两复数相减所两复数相减所 得结果依然是一个复数得结果依然是一个复数, ,其对应的实部与虚部分别是两其对应的实部与虚部分别是两 复数的实部与虚部的差复数的实部与虚部的差. .注意中间用注意中间用“+ +”号号, ,如如z z1 1= = a+bi,za+bi,z2 2=c+di,z=c+di,z1 1- -z z2 2=(a=(a- -c)+(bc)+(b- -d)i,d)i,而不是而不是z z1 1
15、- -z z2 2=(a=(a- - c)c)- -(b(b- -d)i(a,b,c,dR).d)i(a,b,c,dR). (2)(2)复数中出现字母时复数中出现字母时, ,首先要判断其是否为实数首先要判断其是否为实数, ,再确再确 定复数的实部与虚部定复数的实部与虚部, ,最后把实部与虚部分别相加最后把实部与虚部分别相加. . 【变式训练变式训练】计算计算: : (1)(3(1)(3- -2i)2i)- -(10(10- -5i)+(2+17i).5i)+(2+17i). (2)(1(2)(1- -2i)2i)- -(2(2- -3i)+(33i)+(3- -4i)4i)- -(4(4- -
16、5i)+5i)+(2011+(2011- -2012i).2012i). 【解析解析】(1)(1)原式原式=(3=(3- -10+2)+(10+2)+(- -2+5+17)i=2+5+17)i=- -5+20i.5+20i. (2)(2)原式原式=(1=(1- -2+32+3- -4+4+2009+2009- -2010+2011)+(2010+2011)+(- -2+32+3- -4+54+5- - - -2010+20112010+2011- -2012)i=10062012)i=1006- -1007i.1007i. 类型二类型二 向量的加减法的几何意义向量的加减法的几何意义 【典例典例
17、】1.1.已知复数已知复数z z1 1=3+2i,z=3+2i,z2 2=1=1- -3i,3i,则复数则复数z=zz=z1 1- -z z2 2 在复平面内对应的点在复平面内对应的点Z Z位于复平面内的第位于复平面内的第_象象 限限. . 2.2.如图所示如图所示, ,平行四边形平行四边形OABCOABC的顶点的顶点O,A,CO,A,C分别对应的分别对应的 复数为复数为0,3+2i,0,3+2i,- -2+4i.2+4i. 求求:(1) :(1) 表示的复数表示的复数. . (2) (2) 表示的复数表示的复数. . AO CA 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中中z z1 1,z
18、,z2 2,z,z在复平面内对应的点在复平面内对应的点 可以构成一个什么图形可以构成一个什么图形? ? 提示提示: :由由z=zz=z1 1- -z z2 2及复数减法的几何意义知及复数减法的几何意义知, ,构成的是一构成的是一 个三角形个三角形. . 2.2.典例典例2 2中点中点O,A,CO,A,C对应的坐标分别是什么对应的坐标分别是什么? ? 提示提示: :分别是分别是(0,0),(3,2),(0,0),(3,2),(- -2,4).2,4). 【解析解析】1.1.因为因为z z1 1=3+2i,z=3+2i,z2 2=1=1- -3i,3i, 所以所以z=zz=z1 1- -z z2
19、2=3+2i=3+2i- -(1(1- -3i)=(33i)=(3- -1)+(2+3)i=2+5i.1)+(2+3)i=2+5i. 所以点所以点Z Z位于复平面内的第一象限位于复平面内的第一象限. . 答案答案: :一一 2.(1)2.(1)因为因为 , ,所以所以 表示的复数为表示的复数为- -3 3- -2i.2i. (2)(2)因为因为 所以所以 表示的复数为表示的复数为(3+2i)(3+2i)- -( (- -2+4i)=52+4i)=5- -2i.2i. AOOA, AO CAOAOC, CA 【延伸探究延伸探究】 1.1.若本例若本例2 2条件不变条件不变, ,试求点试求点B B
20、所对应的复数所对应的复数. . 【解析解析】因为因为 所以所以 表示的复数为表示的复数为 (3+2i)+(3+2i)+(- -2+4i)=1+6i.2+4i)=1+6i. 所以点所以点B B所对应的复数为所对应的复数为1+6i.1+6i. OBOAOC, OB 2.2.若本例若本例2 2条件不变条件不变, ,求对角线求对角线AC,BOAC,BO的交点的交点M M对应的复对应的复 数数. . 【解析解析】由题意知由题意知, ,点点M M为为OBOB的中点的中点, ,则则 由探由探 究究1 1中点中点B B坐标为坐标为(1,6)(1,6)得点得点M M坐标为坐标为 , ,所以点所以点M M对应对应
21、 的复数为的复数为 1 OMOB, 2 1 ,3, 2 () 1 3i. 2 【方法技巧方法技巧】利用复数加减运算的几何意义解题的技利用复数加减运算的几何意义解题的技 巧及常见结论巧及常见结论 (1)(1)技巧技巧: : 形转化为数形转化为数: :利用几何意义可以把几何图形的变换转利用几何意义可以把几何图形的变换转 化成复数运算去处理化成复数运算去处理. .数转化为形数转化为形: :对于一些复数运对于一些复数运 算也可以给予几何解释算也可以给予几何解释, ,使复数作为工具运用于几何之使复数作为工具运用于几何之 中中. . (2)(2)常见结论常见结论: :在复平面内在复平面内,z,z1 1,z
22、,z2 2对应的点分别为对应的点分别为 A,B,zA,B,z1 1+z+z2 2对应的点为对应的点为C,OC,O为坐标原点为坐标原点, ,则四边形则四边形OACB:OACB: 为平行四边形为平行四边形; ; 若若|z|z1 1+z+z2 2|=|z|=|z1 1- -z z2 2|,|,则四边形则四边形OACBOACB为矩形为矩形; ; 若若|z|z1 1|=|z|=|z2 2|,|,则四边形则四边形OACBOACB为菱形为菱形; ; 若若|z|z1 1|=|z|=|z2 2| |且且|z|z1 1+z+z2 2|=|z|=|z1 1- -z z2 2|,|,则四边形则四边形OACBOACB为
23、正方为正方 形形. . 【补偿训练补偿训练】已知已知z z1 1,z,z2 2C, |zC, |z1 1|=|z|=|z2 2|=1|=1，|z|z1 1+z+z2 2|=|= , ,求求|z|z1 1- -z z2 2| | 3 【解析解析】设复数设复数z z1 1,z,z2 2,z,z1 1+z+z2 2在复平面上对应的点分别在复平面上对应的点分别 为为Z Z1 1,Z,Z2 2,Z,Z,由由|z|z1 1|=|z|=|z2 2|=1|=1知知, ,以以OZOZ1 1,OZ,OZ2 2为邻边的平行四为邻边的平行四 边形是菱形边形是菱形, ,在在OZOZ1 1Z Z中中, ,由余弦定理由余弦
24、定理, ,得得 cosOZcosOZ1 1Z= Z= 所以所以OZOZ1 1Z=120Z=120, ,所以所以Z Z1 1OZOZ2 2=60=60, ,因此因此, ,OZOZ1 1Z Z2 2是是 正三角形正三角形, ,所以所以|z|z1 1- -z z2 2|=|Z|=|Z2 2Z Z1 1|=1.|=1. 222 1212 12 |z |z |zz |1 2|z |z |2 ， 【延伸探究延伸探究】若把本题中的条件若把本题中的条件“|z|z1 1+z+z2 2|= |= ”改为改为 |z|z1 1- -z z2 2|=1|=1“|z|z1 1+z+z2 2| | ”, ,则则 等于多少等
25、于多少? ? 3 【解析解析】设复数设复数z z1 1,z,z2 2在复平面上对应的点分别为在复平面上对应的点分别为Z Z1 1,Z,Z2 2, , 由由|z|z1 1|=|z|=|z2 2|=1,|z|=1,|z1 1- -z z2 2|=1|=1知知, ,以以OZOZ1 1,OZ,OZ2 2为邻边的平行四为邻边的平行四 边形是菱形边形是菱形OZOZ1 1ZZZZ2 2,OZ,OZ为对角线为对角线, ,OZOZ1 1Z Z2 2为正三角形为正三角形, ,由由 余弦定理余弦定理, ,得得|z|z1 1+z+z2 2| |2 2=|z=|z1 1| |2 2+|z+|z2 2| |2 2- -2
26、|z2|z1 1|z|z2 2| cosOZ| cosOZ1 1Z,Z, 因为因为Z Z1 1OZOZ2 2=60=60, ,所以所以OZOZ1 1Z=120Z=120, , 所以所以|z|z1 1+z+z2 2|= .|= . 3 自我纠错自我纠错 复数加减法的几何意义复数加减法的几何意义 【典例典例】已知已知: :复平面上的四个点复平面上的四个点A,B,C,DA,B,C,D构成平行四构成平行四 边形边形, ,顶点顶点A,B,CA,B,C对应于复数对应于复数- -5 5- -2i2i、- -4+5i4+5i、2,2,则点则点D D对对 应的复数为应的复数为_._. 【失误案例失误案例】 分析
27、解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. . 提示提示: :错误的根本原因是误认为复平面上的四个点错误的根本原因是误认为复平面上的四个点 A,B,C,DA,B,C,D构成平行四边形只能是平行四边形构成平行四边形只能是平行四边形ABCD,ABCD,实际实际 上还有平行四边形上还有平行四边形ABDCABDC和平行四边形和平行四边形ACBD.ACBD.正确的解答正确的解答 过程如下过程如下: : 【解析解析】(1)(1)若若ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, ,则则 所以所以 所以所以 =(2,0)+(=(2,0)+(- -5,5,- -2)2)
28、- -( (- -4,5)=(1,4,5)=(1,- -7),7), 所以点所以点D D对应的复数为对应的复数为1 1- -7i.7i. OAOBOD OC,ODOCOAOB,即 OD BACD， (2)(2)若若ABDCABDC是平行四边形是平行四边形, ,则则 所以所以 =(2,0)=(2,0)- -( (- -5,5,- -2)+(2)+(- -4,5)=(3,7),4,5)=(3,7), 所以点所以点D D对应的复数为对应的复数为3+7i.3+7i. ABCD, ODOC OAOB (3)(3)若若ACBDACBD是平行四边形是平行四边形, ,则则 =(=(- -5,5,- -2)+(2)+(- -4,5)4,5)- -(2,0)=(2,0)=(- -11,3),11,3), 所以点所以点D D对应的复数为对应的复数为- -11+3i.11+3i. 综上所述综上所述, ,点点D D对应的复数为对应的复数为1 1- -7i7i或或3+7i3+7i或或- -11+3i.11+3i. 答案答案: :1 1- -7i7i或或3+7i3+7i或或- -11+3i11+3i ACDB， ODOAOB OC
