1、3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几 何意义 主题一：主题一：复数的加法复数的加法 【自主认知自主认知】 1.1.设向量设向量 分别表示复数分别表示复数z z1 1，z z2 2，那么向量，那么向量 表示的复数应该是什么？表示的复数应该是什么？ 提示：提示： 表示的复数是表示的复数是z z1 1+z+z2 2. . 12 OZ OZ， 12 OZOZ 12 OZOZ 2.2.设复数设复数z z1 1a abibi，z z2 2c cdi(adi(a，b b，c c，dR)dR)对应的向量分别为对应的向量分别为 那么向量那么向量 的坐标分别是什么？的坐标分别是
2、什么？ 提示：提示： (a(a，b)b)， (c(c，d)d)， (a(ac c，b bd).d). 12 OZ OZ， 1212 OZ OZ OZOZ， 1 OZ 2 OZ 12 OZOZ 根据以上探究过程，总结出复数加法的运算法则、运算律及其根据以上探究过程，总结出复数加法的运算法则、运算律及其 几何意义：几何意义： 1.1.复数的加法法则：复数的加法法则：(a+bi)+(c+di)=_(a(a+bi)+(c+di)=_(a，b b，c c， dR).dR). 2.2.复数加法的运算律复数加法的运算律 对任意对任意z z1 1，z z2 2，z z3 3CC， 交换律：交换律：z z1 1
3、+ z+ z2 2= z= z2 2+ z+ z1 1， 结合律：结合律：(z(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=_.=_. (a+c)+(b+d)i(a+c)+(b+d)i z z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3) ) 3.3.复数加法的几何意义：复数复数加法的几何意义：复数z z1 1+z+z2 2是以是以 为邻边的平行四边为邻边的平行四边 形的形的_所对应的复数所对应的复数. . 12 OZ OZ， OZ对角线 【合作探究合作探究】 1.1.两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？ 提示：提示：仍然是个复数，且是一个确定的复数仍然
4、是个复数，且是一个确定的复数. . 2.2.复数的加法可以按照向量的加法来进行吗？复数的加法可以按照向量的加法来进行吗？ 提示：提示：可以，这是复数加法的几何意义可以，这是复数加法的几何意义. . 【过关小练过关小练】 1.1.复数复数z z1 1=2=2- - i i，z z2 2= = - -2i2i，则，则z z1 1+z+z2 2等于等于( )( ) 【解析解析】选选C.zC.z1 1+z+z2 2= = 1 2 1 2 35 A.0B.i 22 5553 C.iD.i 2222 11 2i(2i) 22 1155 2(2)ii. 2222 2.2.在复平面内，向量在复平面内，向量 对
5、应的复数为对应的复数为3 3- -4i4i，点，点B B对应的复数为对应的复数为 - -2+2i2+2i，则向量，则向量 对应的复数为对应的复数为( )( ) A.5A.5- -6i B.16i B.1- -2i2i C.C.- -5+6i D.55+6i D.5- -2i2i 【解析解析】选选B.B.由复数加法运算的几何意义知，由复数加法运算的几何意义知， 对应的复数对应的复数 即为即为(3(3- -4i)+(4i)+(- -2+2i)2+2i)，即，即1 1- -2i.2i. OA OAOB OAOB 主题二：主题二：复数的减法复数的减法 【自主认知自主认知】 1.1.规定：复数的减法是加
6、法的逆运算，若复数规定：复数的减法是加法的逆运算，若复数z=zz=z1 1- -z z2 2，则复数，则复数z z1 1等于等于 什么？什么？ 提示：提示：z z1 1=z+z=z+z2 2. . 2.2.设复数设复数z z1 1=a+bi(a=a+bi(a，bR)bR)，z z2 2=c+di(c=c+di(c，dR)dR)，z=x+yi(xz=x+yi(x，yR)yR)， 代入代入z z1 1=z+z=z+z2 2，由复数相等的充要条件得，由复数相等的充要条件得x x，y y分别等于什么？分别等于什么？ 提示：提示：x=ax=a- -c c，y=by=b- -d.d. 3.3.根据上述分析
7、，设复数根据上述分析，设复数z z1 1=a+bi(a=a+bi(a，bR)bR)，z z2 2=c+di(c=c+di(c，dR)dR)，则，则 z z1 1- -z z2 2等于什么？等于什么？ 提示提示：z z1 1- -z z2 2=(a=(a- -c)+(bc)+(b- -d)i.d)i. 根据以上探究过程，总结出复数减法的运算法则及其几何意义：根据以上探究过程，总结出复数减法的运算法则及其几何意义： 1.1.复数的减法法则：复数的减法法则：(a+bi)(a+bi)- -(c+di)=_(a(c+di)=_(a，b b，c c， dR).dR). 2.2.复数减法的几何意义：复数复数
8、减法的几何意义：复数z z1 1- -z z2 2是连接向量是连接向量 的的_， 并指向并指向_的向量的向量 所对应的复数所对应的复数. . (a(a- -c)+(bc)+(b- -d)id)i 12 OZ OZ， 终点终点 被减向量被减向量 21 Z Z 【合作探究合作探究】 1.1.设复数设复数z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di=c+di对应的向量分别为对应的向量分别为 则则 复数复数z z1 1- -z z2 2对应的向量是什么？对应的向量是什么？|z|z1 1- -z z2 2| |的几何意义是什么？的几何意义是什么？ 提示：提示： |z|z1 1- -z z2
9、2| |表示复数表示复数z z1 1，z z2 2对应复平面内的两点对应复平面内的两点Z Z1 1，Z Z2 2之间的距离之间的距离. . 12 OZ OZ， 1221 OZOZZ Z . 2.2.设设z z1 1，z z2 2均为复数，则当均为复数，则当z z1 1- -z z2 200时，是否一定有时，是否一定有z z1 1zz2 2？ 提示：提示：不一定不一定.z.z1 1- -z z2 200只能说明只能说明z z1 1- -z z2 2的结果是一个实数的结果是一个实数. .而而z z1 1，z z2 2 本身可能是虚数，不能比较大小本身可能是虚数，不能比较大小. .例如：例如：z z
10、1 1=3+i=3+i，z z2 2=1+i=1+i，虽有，虽有 z z1 1- -z z2 2=20=20，但不能推出，但不能推出3+i1+i.3+i1+i. 【拓展延伸拓展延伸】复数模的不等式、恒等式复数模的不等式、恒等式 若若z z1 1，z z2 2CC，则有，则有 (1)|z(1)|z1 1| |- -|z|z2 2|z|z1 1+z+z2 2|z|z1 1|+|z|+|z2 2| |，当，当z z1 1，z z2 2所对应的向量所对应的向量 同向时，右端等号成立；当同向时，右端等号成立；当z z1 1，z z2 2所对应的向量所对应的向量 反向时，反向时， 左端等号成立左端等号成立
11、. . (2)|z(2)|z1 1| |- -|z|z2 2|z|z1 1- -z z2 2|z|z1 1|+|z|+|z2 2| |，当，当z z1 1，z z2 2所对应的向量所对应的向量 同向时，左端等号成立；当同向时，左端等号成立；当z z1 1，z z2 2所对应的向量所对应的向量 反向时，反向时， 右端等号成立右端等号成立. . (3)|z(3)|z1 1+z+z2 2| |2 2+|z+|z1 1- -z z2 2| |2 2=2|z=2|z1 1| |2 2+2|z+2|z2 2| |2 2. . 12 OZOZ与 12 OZOZ与 12 OZOZ与 12 OZOZ与 【过关小
12、练过关小练】 1.(61.(6- -3i)3i)- -(3i+1)+(2(3i+1)+(2- -2i)2i)的结果为的结果为( ( ) ) A.5A.5- -3i3i B.3+5iB.3+5i C.7C.7- -8i8i D.7D.7- -2i2i 【解析解析】选选C.(6C.(6- -3i)3i)- -(3i+1)+(2(3i+1)+(2- -2i)2i) =(6=(6- -1)+(1)+(- -3 3- -3)i+(23)i+(2- -2i)2i) =5+(=5+(- -6)i+(26)i+(2- -2i)=(5+2)+(2i)=(5+2)+(- -6 6- -2)i2)i =7=7- -
13、8i.8i. 2.2.在复平面内，复数在复平面内，复数z=(1+2i)z=(1+2i)- -(3(3- -5i)5i)所对应的点位于所对应的点位于( ( ) ) A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限 【解析解析】选选B.z=(1+2i)B.z=(1+2i)- -(3(3- -5i)=(15i)=(1- -3)+(2+5)i=3)+(2+5)i=- -2+7i2+7i，故，故z z所对应的所对应的 点为点为( (- -2 2，7)7)，在第二象限，在第二象限. . 【归纳总结归纳总结】 1.1.对复数加法的三点说明对复数加法的三点
14、说明 (1)(1)复数的加法运算法则是一种规定复数的加法运算法则是一种规定. .当当b=0b=0，d=0d=0时与实数加法法则时与实数加法法则 保持一致保持一致. . (2)(2)两个复数的和仍是一个复数两个复数的和仍是一个复数. .两个复数的和是以这两个复数的实部两个复数的和是以这两个复数的实部 之和为实部，两个复数的虚部之和为虚部的复数之和为实部，两个复数的虚部之和为虚部的复数. . (3)(3)复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何 意义意义. . 2.2.对复数减法的三点说明对复数减法的三点说明 (1)(a+bi
15、)(1)(a+bi)- -(c+di)=(a(c+di)=(a- -c)+(bc)+(b- -d)id)i，两个复数的差仍是一个复数，两个复数的差仍是一个复数. .两两 个复数的差是以这两个复数的实部之差为实部，两个复数的虚部之差个复数的差是以这两个复数的实部之差为实部，两个复数的虚部之差 为虚部的复数为虚部的复数. . (2)(2)设复数设复数z z1 1=a+bi=a+bi，z z2 2=c+di=c+di，则，则z z1 1z z2 2=(a=(ac)+(bc)+(bd)id)i，类似于把，类似于把i i 看成未知数的多项式加减法中的合并同类项看成未知数的多项式加减法中的合并同类项. .
16、 (3)(3)两个复数的和差仍然是个确定的复数，实数中加法运算的交换律两个复数的和差仍然是个确定的复数，实数中加法运算的交换律 和结合律在复数中仍然适用和结合律在复数中仍然适用. . 类型一：类型一：复数代数形式的加、减运算复数代数形式的加、减运算 【典例典例1 1】(1)(1)计算计算(3+i)(3+i)- -(2+i)(2+i)的结果为的结果为( ( ) ) A.1A.1 B.B.- -i i C.5+2iC.5+2i D.1D.1- -i i (2)(2)计算：计算： (2+2i)+(1(2+2i)+(1- -4i)4i)- -(5+7i).(5+7i). - -i i- -(3(3-
17、-4i)4i)- -( (- -1 1- -3i).3i). (x+yi)(x+yi)- -(3x(3x- -2yi)2yi)- -4i(x4i(x，yR).yR). 【解题指南解题指南】(1)(1)把括号去掉，实部与虚部分别计算把括号去掉，实部与虚部分别计算. . (2)(2)两个复数相加两个复数相加( (减减) )，将这两个复数的实部与实部相加，将这两个复数的实部与实部相加( (减减) )，虚部，虚部 与虚部相加与虚部相加( (减减) )，所得的结果分别作为和，所得的结果分别作为和( (差差) )的实部和虚部的实部和虚部. . 【解析解析】(1)(1)选选A.(3+i)A.(3+i)- -
18、(2+i)=1.(2+i)=1. (2)(2)(2+2i)+(1(2+2i)+(1- -4i)4i)- -(5+7i)(5+7i) =(2+1=(2+1- -5)+(25)+(2- -4 4- -7)i=7)i=- -2 2- -9i.9i. - -i i- -(3(3- -4i)4i)- -( (- -1 1- -3i)=3i)=- -i i- -(4(4- -i)=i)=- -4.4. (x+yi)(x+yi)- -(3x(3x- -2yi)2yi)- -4i4i =(x=(x- -3x)+(y+2y3x)+(y+2y- -4)i4)i = =- -2x+(3y2x+(3y- -4)i(x
19、4)i(x，yR).yR). 【规律总结规律总结】复数代数形式的加复数代数形式的加、减法运算技巧减法运算技巧 ( (1 1) )复数代数形式的加复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚虚 部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取因此要准确地提取 复数的实部与虚部复数的实部与虚部. . ( (2 2) )算式中若出现字母算式中若出现字母，首先确定其是否为实数首先确定其是否为实数，再确定复数的实部再确定复数的实部 与虚部与虚部，最后把实部与实部最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减虚部与
20、虚部分别相加减. . ( (3 3) )复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号优先；若无 括号括号，可以从左到右依次进行计算可以从左到右依次进行计算. . 【巩固训练巩固训练】计算：计算：(1)(1+3i)+(1)(1+3i)+(- -2+i)+(22+i)+(2- -3i).3i). (2)(2(2)(2- -i)i)- -( (- -1+5i)+(3+4i).1+5i)+(3+4i). (3)5i(3)5i- -(3+4i)(3+4i)- -( (- -1+3i).1+3i). (4)(a+bi)(4)(a+bi)- -(3a(
21、3a- -4bi)+5i(a4bi)+5i(a，bR).bR). 【解析解析】(1)(1)原式原式=(=(- -1+4i)+(21+4i)+(2- -3i)=1+i.3i)=1+i. (2)(2)原式原式=(3=(3- -6i)+(3+4i)=66i)+(3+4i)=6- -2i.2i. (3)(3)原式原式=5i=5i- -(4+i)=(4+i)=- -4+4i.4+4i. (4)(4)原式原式=(=(- -2a+5bi)+5i=2a+5bi)+5i=- -2a+(5b+5)i.2a+(5b+5)i. 【补偿训练补偿训练】1.1.若复数若复数z z满足满足z+2z+2- -3i=3i=- -
22、1+5i1+5i，则复数，则复数z=(z=( ) ) A.3A.3- -8i8i B.B.- -3 3- -8i8i C.3+8iC.3+8i D.D.- -3+8i3+8i 【解析解析】选选D.D.由由z+2z+2- -3i=3i=- -1+5i1+5i，得，得z=(z=(- -1+5i)1+5i)- -(2(2- -3i)=3i)=- -3+8i.3+8i. 2.2.设设z z1 1=x+2i=x+2i，z z2 2=3=3- -yi(xyi(x，yR)yR)，且，且z z1 1+z+z2 2=5=5- -6i6i，则，则z z1 1- -z z2 2= = . . 【解析解析】因为因为z
23、 z1 1=x+2i=x+2i，z z2 2=3=3- -yiyi，z z1 1+z+z2 2=5=5- -6i6i， 所以所以(3+x)+(2(3+x)+(2- -y)i=5y)i=5- -6i6i， 所以所以z z1 1- -z z2 2=(2+2i)=(2+2i)- -(3(3- -8i)=8i)=- -1+10i.1+10i. 答案：答案：- -1+10i1+10i 3x5x2 2y6y8. ， 所以所以 ， 类型二：类型二：复数加减运算的几何意义复数加减运算的几何意义 【典例典例2 2】(1)(1)在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC与与BDBD相交于
24、点相交于点O O， 若向量若向量 对应的复数分别是对应的复数分别是3+i3+i，- -1+3i1+3i，则，则 对应的复数对应的复数 是是( ( ) ) A.2+4iA.2+4i B.B.- -2+4i2+4i C.C.- -4+2i4+2i D.4D.4- -2i2i (2)(2)已知平行四边形的三个顶点分别对应复数已知平行四边形的三个顶点分别对应复数2i2i，4 4- -4i4i，2+6i.2+6i.求第求第 四个顶点对应的复数四个顶点对应的复数. . OAOB，CD 【解题指南解题指南】(1)(1)根据复数与向量的对应关系转化为向量的减法求解根据复数与向量的对应关系转化为向量的减法求解.
25、 . (2)(2)根据题设条件可知，第四个顶点有根据题设条件可知，第四个顶点有3 3种不同情况，然后分情况利用种不同情况，然后分情况利用 复数加减法求解复数加减法求解. . 【解析解析】(1)(1)选选D.D.由于由于 所以所以 对应的复数为对应的复数为 (3+i)(3+i)- -( (- -1+3i)=41+3i)=4- -2i.2i. (2)(2)如图，设这个平行四边形已知的三个顶点如图，设这个平行四边形已知的三个顶点 分别为分别为Z Z1 1，Z Z2 2，Z Z3 3，它们对应的复数分别是，它们对应的复数分别是z z1 1= = 2i2i，z z2 2=4=4- -4i4i，z z3
26、3=2+6i=2+6i，第四个顶点所对应的，第四个顶点所对应的 复数为复数为z z4 4，则，则 CDBAOAOB，CD 当这个平行四边形是以当这个平行四边形是以Z Z1 1Z Z2 2和和Z Z1 1Z Z3 3为一组邻边时，有为一组邻边时，有 所以所以z z4 4- -z z1 1=(z=(z2 2- -z z1 1)+(z)+(z3 3- -z z1 1) )，z z4 4=(z=(z2 2+z+z3 3) )- -z z1 1=6.=6. 当这个平行四边形是以当这个平行四边形是以Z Z1 1Z Z2 2和和Z Z2 2Z Z3 3为一组邻边时，有为一组邻边时，有 所以所以z z4 4-
27、 -z z2 2=(z=(z1 1- -z z2 2)+(z)+(z3 3- -z z2 2).). 所以所以z z4 4=(z=(z1 1+z+z3 3) )- -z z2 2= =- -2+12i.2+12i. 141213 Z ZZ ZZ Z， 242123 Z ZZ ZZ Z . 当这个平行四边形是以当这个平行四边形是以Z Z3 3Z Z1 1和和Z Z3 3Z Z2 2为一组邻边时，有为一组邻边时，有 所以所以z z4 4- -z z3 3=(z=(z1 1- -z z3 3)+(z)+(z2 2- -z z3 3).). 所以所以z z4 4=(z=(z1 1+z+z2 2) )-
28、 -z z3 3=2=2- -8i.8i. 综上所述，这个平行四边形的第四个顶点对应的复数为综上所述，这个平行四边形的第四个顶点对应的复数为6 6或或- -2+12i2+12i或或 2 2- -8i.8i. 343132 Z ZZ ZZ Z . 【延伸探究延伸探究】将题将题(2)(2)中条件改为“如图所示，平行四边形中条件改为“如图所示，平行四边形ABCDABCD的顶的顶 点点A A，B B，D D分别对应的复数为分别对应的复数为2i2i，4 4- -4i4i，2+6i”2+6i”，求，求(1)(1)对角线对角线 对应的复数对应的复数.(2).(2)对角线对角线 对应的复数对应的复数. . D
29、B AC 【解析解析】(1)(1)因为因为 ，所以对角线，所以对角线 对应的复数为对应的复数为 (4(4- -4i)4i)- -(2+6i)=2(2+6i)=2- -10i.10i. (2)(2)因为因为 所以对角线所以对角线 对应的复数为对应的复数为(2+6i)(2+6i)- -2i+42i+4- -4i4i- -2i=62i=6- -2i.2i. DBOB ODDB ACADABODOAOB OA， AC 【规律总结规律总结】复数加减法的几何意义在复数运算中的应用复数加减法的几何意义在复数运算中的应用 (1)(1)复数加法、减法的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角复数加法、减法的几何
30、意义与平面向量的平行四边形法则、三角 形法则有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时，形法则有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时， 主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算. . (2)(2)由于复数可用向量表示，因而可将复数问题转化为向量问题，利由于复数可用向量表示，因而可将复数问题转化为向量问题，利 用向量的方法解决用向量的方法解决. . (3)(3)在复平面内，在复平面内，z z1 1，z z2 2对应的点为对应的点为A A，B B，z z1 1+z+z2 2对应的点为对应的点为C C，O O为坐为坐 标原点，则四边
31、形标原点，则四边形OACBOACB： 为平行四边形；若为平行四边形；若|z|z1 1+z+z2 2|=|z|=|z1 1- -z z2 2| |，则四边形，则四边形OACBOACB为矩形；若为矩形；若 |z|z1 1|=|z|=|z2 2| |，则四边形，则四边形OACBOACB为菱形；若为菱形；若|z|z1 1|=|z|=|z2 2| |且且|z|z1 1+z+z2 2|=|z|=|z1 1- -z z2 2| |， 则四边形则四边形OACBOACB为正方形为正方形. . 提醒：复数的加减运算可类比向量的坐标运算，这样更易理解提醒：复数的加减运算可类比向量的坐标运算，这样更易理解. . 【巩
32、固训练巩固训练】在复平面上，复数在复平面上，复数- -1+i1+i，0 0，3+2i3+2i所对应的点分别是所对应的点分别是 A A，B B，C C，则，则ABCDABCD的对角线的对角线BDBD的长为的长为( )( ) 【解析解析】选选B. B. 对应复数对应复数- -1+i1+i， 对应复数对应复数3+2i3+2i，则，则 对应对应 的复数为的复数为( (- -1+i)+(3+2i)=2+3i1+i)+(3+2i)=2+3i，则，则 故选故选B.B. A. 2B. 13C. 17D.13 BABCBD 22 |BD|2313， 【补偿训练补偿训练】已知复平面内三点已知复平面内三点A A，B
33、 B，C C，A A点对应的复数为点对应的复数为3+2i3+2i， 向量向量 对应的复数为对应的复数为2+i2+i，向量，向量 对应的复数为对应的复数为1 1- -i i，求点，求点C C对应对应 的复数的复数. . 【解析解析】因为因为 对应的复数为对应的复数为2+i2+i，向量，向量 对应的复数为对应的复数为1 1- -i i， 所以所以 所对应的复数为所对应的复数为(1(1- -i)i)- -(2+i)=(2+i)=- -1 1- -2i.2i. 又因为又因为 所以点所以点C C对应的复数为对应的复数为(3+2i)+(3+2i)+(- -1 1- -2i)=2.2i)=2. BA BC
34、BC ACBC BA OCOAAC， BA 类型三：类型三：复数模的最值问题复数模的最值问题 【典例典例3 3】(1)(1)如果复数如果复数z z满足满足|z+i|+|z|z+i|+|z- -i|=2i|=2，那么，那么|z+i+1|z+i+1|的最小的最小 值是值是( ( ) ) A.1A.1 B.B. C.2C.2 D.D. (2)(2)若复数若复数z z满足满足|z+ +i|1|z+ +i|1，求，求|z|z|的最大值和最小值的最大值和最小值. . 1 2 5 3 【解题指南解题指南】(1)(1)利用复数加减法的几何意义，转化为点到直线的利用复数加减法的几何意义，转化为点到直线的 距离求
35、解距离求解. . (2)(2)明确满足条件明确满足条件|z+ +i|1|z+ +i|1的复数的复数z z的几何意义为：圆心为的几何意义为：圆心为 ( (- - ，- -1)1)，半径为，半径为1 1的圆内区域，包括边界，的圆内区域，包括边界，|z|z|则表示圆面上一则表示圆面上一 点到原点的距离点到原点的距离. . 3 3 【解析解析】(1)(1)选选A.A.设复数设复数- -i i，i i，- -1 1- -i i在复平面在复平面 内对应的点分别为内对应的点分别为Z Z1 1，Z Z2 2，Z Z3 3， 因为因为|z+i|+|z|z+i|+|z- -i|=2i|=2，|Z|Z1 1Z Z2
36、 2|=2|=2， 所以点所以点Z Z的集合为线段的集合为线段Z Z1 1Z Z2 2. . 问题转化为：动点问题转化为：动点Z Z在线段在线段Z Z1 1Z Z2 2上移动，上移动， 求求|ZZ|ZZ3 3| |的最小值，的最小值， 因为因为|Z|Z1 1Z Z3 3|=1.|=1.故选故选A.A. (2)(2)如图所示：如图所示： 所以所以|z|z|max max=2+1=3 =2+1=3，|z|z|min min=2 =2- -1=1.1=1. 2 2 OM312. 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法) )若本例题若本例题(2)(2)条件改为已知条件改
37、为已知|z|=1|z|=1且且zCzC， 求求|z|z- -2 2- -2i|(i2i|(i为虚数单位为虚数单位) )的最小值的最小值. . 【解析解析】因为因为|z|=1|z|=1且且zCzC，作图如图：，作图如图： 所以所以|z|z- -2 2- -2i|2i|的几何意义为单位圆上的点的几何意义为单位圆上的点M M到复平面上的点到复平面上的点P(2P(2，2)2) 的距离，所以的距离，所以|z|z- -2 2- -2i|2i|的最小值为的最小值为|OP|OP|- -1=2 1=2 - -1.1. 2 2.(2.(变换条件变换条件) )若题若题(2)(2)中条件不变，求中条件不变，求|z|z
38、- - | |2 2+|z+|z- -2i|2i|2 2的最大值和的最大值和 最小值最小值. . 3 【解析解析】如图所示，在圆面上任取一点如图所示，在圆面上任取一点P P，与复数，与复数z zA A= = ，z zB B=2i=2i对应对应 点点A A，B B相连，得向量相连，得向量 为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形. . 3 PA PBPA PB， ，再以， P P为圆面上任一点，为圆面上任一点，z zP P=z=z， 则则2| |2| |2 2+2| |+2| |2 2=| |=| |2 2+(2| |)+(2| |)2 2 =7+4| |=7+4| |2 2( (平行四边形四条边的
39、平方和等于对角线的平方和平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和) )， 所以所以|z|z- - | |2 2+|z+|z- -2i|2i|2 2= = 所以所以|z|z- - | |2 2+|z+|z- -2i|2i|2 2的最大值为的最大值为27+ 27+ ，最小值为，最小值为2727- - PAPBABPO PO 3 2 13 (74|zi| ). 22 max min 343 zi|O M1 1 22 343 zi|O M11. 22 而|， | 32 43 2 43. 【规律总结规律总结】复数模的最值问题解法复数模的最值问题解法 (1)|z(1)|z- -z z0 0| |表示复数
40、表示复数z z，z z0 0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对 值号内变为两复数差的形式值号内变为两复数差的形式. . (2)|z(2)|z- -z z0 0|=r|=r表示以表示以z z0 0对应的点为圆心，对应的点为圆心，r r为半径的圆为半径的圆. . (3)(3)涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式的复数表达形式入涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式的复数表达形式入 手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解. . 【补偿训练补偿训练】1.(20151.(2015天津高二检测天津高二检测) )已知已
41、知|z|=2|z|=2，则，则|z+3|z+3- -4i|4i|的最的最 大值为大值为( ( ) ) A.2A.2 B.3B.3 C.5C.5 D.7D.7 【解析解析】选选D.D.由由|z|=2|z|=2知复数知复数z z对应的点在圆对应的点在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上，圆心为上，圆心为 O(0O(0，0)0)，半径，半径r=2.r=2.而而|z+3|z+3- -4i|=|z4i|=|z- -( (- -3+4i)|3+4i)|表示复数表示复数z z对应的对应的 点与点与M(M(- -3 3，4)4)之间的距离，由于之间的距离，由于|OM|=5|OM|=5，所以，所以|z+3|z
42、+3- -4i|4i|的最大的最大 值为值为|OM|+r=5+2=7.|OM|+r=5+2=7. 2.2.已知复数已知复数z=x+yi(xz=x+yi(x，yR)yR)，且，且|z|z- -2|= 2|= ，则，则 的最大值的最大值 为为 ，最小值为，最小值为 . . 3 y x 【解析解析】|z|z- -2|= 2|= 所以所以(x(x- -2)2)2 2+y+y2 2=3.=3. 即复数即复数z z的对应点在以的对应点在以(2(2，0)0)为圆心，以为圆心，以 为半径的圆上，而为半径的圆上，而 表示圆上的点与原点连线的斜率，表示圆上的点与原点连线的斜率， 由图可知由图可知 答案：答案： 2
43、 2 x2y3， 3 y x maxmin yy ( )3 ( )3. xx ， 33 3.3.已知已知z z1 1=cos=cos +isin+isin ，z z2 2=cos=cos +isin+isin ( ( ， R)R)， 求求|z|z1 1+z+z2 2| |的取值范围的取值范围. . 【解析解析】因为因为z z1 1+z+z2 2=cos+isin+cos+isin=cos+isin+cos+isin =(cos+cos)+i(sin+sin)=(cos+cos)+i(sin+sin)， 所以所以|z|z1 1+z+z2 2| |2 2=(cos+cos)=(cos+cos)2
44、2+(sin+sin)+(sin+sin)2 2 =2+2(coscos+sinsin)=2+2cos(=2+2(coscos+sinsin)=2+2cos(- -)0)0，44， 所以所以|z|z1 1+z+z2 2|0|0，2.2. 拓展类型：拓展类型：复数中的轨迹问题及简单应用复数中的轨迹问题及简单应用 【典例典例】1.1.设设z=bi(bR)z=bi(bR)，若使，若使|z|z- -2+i|+|z2+i|+|z- -2+3i|2+3i|的值最小，则的值最小，则 b=b= 2.2.已知复数已知复数z z满足方程满足方程|2z|2z- -1+i|=|z+1|1+i|=|z+1|，求复数，求
45、复数z z对应点的轨迹对应点的轨迹. . 【解题指南解题指南】1.1.利用复数的模及复数的几何意义判断利用复数的模及复数的几何意义判断. . 2.2.设出复数的代数形式，利用模的计算方法转化为轨迹方程设出复数的代数形式，利用模的计算方法转化为轨迹方程. . 【解析解析】1.1.由复数的几何意义可知，由复数的几何意义可知，|z|z- -2+i|2+i|表示表示 z z对应的点与点对应的点与点(2(2，- -1)1)之间的距离，之间的距离，|z|z- -2+3i|2+3i|表表 示示z z对应的点与点对应的点与点(2(2，- -3)3)之间的距离，结合图形之间的距离，结合图形 知，要使距离的和最小，则知，要使距离的和最小，则z z为虚轴上的点为虚轴上的点(0(0，- -2)2)，所以，所以b=b=- -2.2. 答案：答案：- -2 2 2.2.设设z=x+yi(xz=x+yi(x，yR)yR)， 则则(2x(2x- -1)1)2 2+(2y+1)+(2y+1)2 2=(x+1)
