1、 1 算法案例算法案例 1 辗转相除法与更相减损术说课稿辗转相除法与更相减损术说课稿 说课教师：胡莉萍说课教师：胡莉萍 各位老师：大家好！ 一花一世界，一叶一菩提，今天我们就来说一说程序这棵菩提树 上的一枚叶子算法。说课的题目： 算法案例 1 辗转相除法与更 相减损术 。 一、教材分析 （一）地位与作用 对于算法这枚叶子的研究， 在我国可谓是历史悠久, 并且还取得 了举世公认的伟大成就。 随着现代信息技术的发展，算法日渐融入 我们社会生活的方方面面， 现代算法的作用之一就是使计算机能代替 人完成枯燥的， 重复的， 繁琐的工作。 所以算法进入了中学数学课程， 既反映了时代的要求，也是中国古代数学
2、思想在新层次上的复兴，更 是中国数学课程的一个新特色。 从教材内容上看，算法是数学的一个基本内容。本章前两节介绍 了算法的初步知识：基本思想，基本结构，基本语句。教材在第三节 安排了三个案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法 在解决问题中的重要作用， 体会算法的基本思想。 提高逻辑思维能力， 发展有条理的思考与数学表达能力。 （二）教学目标 1.课标分析 课程标准 提出的要求是通过阅读中国古代数学中的算法案例， 2 体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。这里有两句话，一个是阅 读案例，另一个是体会贡献。表面上看，这个目标不难实现，实际上 在阅读算法案例时，需要写算法步骤，画程序框图
3、和编制程序，体现 算法逐渐精确的过程， 同时还要体会中国古代数学对世界数学发展的 贡献。这就是说阅读案例不是简单的看书，而是经历设计算法，解决 问题的全过程。案例教学的关键是理解案例当中的算法核心思想，此 外理解算法中新出现的数学知识，是理解案例的必要前提。但教学的 重点在于对算法的学习，不强调对这些知识的记忆及灵活应用。通过 以上的分析，本节课教学目标确定如下： 教学目标 初步了解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，不强调 对这些知识的记忆与灵活应用，但能根据这些原理进行算法分析，能 够画出程序框图表示算法。 模仿、探索、经历设计算法，解决问题的全过程，体会算法的 基本思想。 感受算法在
4、解决实际问题中的重要作用， 培养学生利用算法解 决问题的意识。 在计算机上验证算法，领会数学算法与计算机处理的结合方 式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。 二、教学建议 （一）强调一题多解，用不同的算理解决同一个问题，或用不同 的逻辑结构实现同一个算理， 这样可以让学生通过对比加深对算理算 3 则的认识，为学生设计算法，体会算法思想提供机会。 （二）遵循写算法步骤，画出程序框图，编制程序，在计算机上 验证算法的教学过程，学生经历知识的形成和发展的全过程。 三、教学过程 算法目标：求两个正整数的最大公约数。 知识准备：带余除法。 教学方法：阅读指导。 教学环节：自主学习 交流研讨
5、精讲 自我测评 （一） 自主学习 （用时约为 1015 分钟） 首先引入课题，求 9 与 24 的最大公约数，引出最大公约数的表 示方法和小学的求法。但小学解法不具有一般性。接着是知识准备： 24=92+6， 说明 9 与 24 的最大公约数为什么等于 6 与 9 的最大公约 数，从而体会去求 8251 与 6105 的最大公约数的过程。接着学生进入 自主学习环节，自学环节是依据学习指导书来进行，学习指导书中有 “知识沙盘”部分，沙盘是知识地貌的的呈现，如果把自主学习比作 一次旅行，学习指导书则是指南针，知识沙盘是地图，自主学习就是 体现个性化的自助游。在学生自学完毕后，基本可以理清脉络，发现
6、 问题，找到解决部分问题的途径。作为指导教师要依据教学评价中的 整体性原则、客观性原则做好观察笔记，注重观察整体学生对学习指 导书完成的情况，客观准确记录下来普遍学生存在的问题，并根据观 察笔记诊断学生存在的共性问题和个性问题问题及时调整精讲的内 容。 4 美国教育学家苏娜丹戴克说：“告诉我，我会忘记；做给我看， 我会记住；让我参与，我会完全理解。 ”自主学习环节的设计是为了 给学生最大空间，最长时间的参与。这也是当下课堂改革的精髓。 （二）交流研讨（用时约为 510 分钟） 交流研讨是集思广益，生生互助的过程，在这个环节学生不仅要 相互帮助解决疑难问题，还能从中受到启发，发现新问题，从而拓宽
7、 自己的思路。作为指导教师，我要耐心倾听，给学生更多的机会，让 他们去陈述观点，这个环节不仅提高了学生的沟通能力，更重要的是 培养了学生独立思考和创新精神，可使学生认知结构完善，展示自己 的独立思想。 在交流研讨中学生生成的问题主要有三个方面： 1.辗转相除法的算理问题，即不理解 8251 与 6105 的最大公约数 为什么就转化为 6105 与 2146 的最大公约数。 2.对程序框图的理解问题 主要有三个方面循环体如何确定？ 为什么初始输入的m与n，不用比较大小？如果mn，怎么运行？ 最后输出结果是m，为什么不是除数n？ 3.一题多解和多题一解方面，是否还有其他的算法？预测同学们 会提出用
8、计算机查找所有约数的方法， 或提出能否利用辗转相除法求 两个以上甚至多个正整数的最大公约数。 （三）精讲 （用时约为 1520 分钟） 精讲是教师针对学生研讨生成的问题而展开， 从自身专业角度对 学生知识纠错，方法点化，方向指引，漏洞修补。根据同学们生成的 5 问题我分析如下： 1. 关于辗转相除法的算理问题， 首先这个新出现的数学知识是理 解 算法的必要前提，但教学的重点在于对算法的学习，不强调对这 些知识的记忆和灵活应用。为了降低理解上的难度，教学中设计板书 如下： 所以 (8251,6105)(148,37)37 这样我们可以得到 8251 与 6105 的最大公约数就等于 148 与
9、37 的最大公约数，也就是 37，这种大数化小数的转化思想很有借鉴意 义。 再接着我们介绍辗转相除法的关键步骤是带余除法， 在学生阅读 研 讨 的 基 础 上 指 导 学 生 写 出 以 下 关 系 ： （ 下 列 关 系 式 中 ， , ,m n qr NN） ,(0)mn qrrn 若0r ，则 ( , )m nn, 若0r ，则( , )( , )m nn r。 特别注意引导学生思考“为什么0r 时，( , )( , )m nn r” ，然后自 然过渡到把辗转相除法编制成计算机程序。 82516105 12146 6105214621813 21461813 1333 1813333 5
10、 148 333148 237 148374 (8251,6105)(6105,2146) (6105,2146)(2146,1813) (2146,1813)(1813,333) (1813,333)(333,148) (333,148)(148,37) (148,37)37 6 2关于程序框图方面的问题， （1）教学中，应先进行算法步骤分析，根据刚才的分析，我们 知道带余除法是一个反复执行，直到余数为零才停止的步骤，这就是 循环结构。接着写出自然语言描述算法的步骤，关键是第三步， ,mn nr实际上这是数值转移的过程，也是建立循环的基础，然后 我们画出程序框图，指导学生构造循环结构的方法是
11、确定循环体，初 始化变量和设定循环控制条件。 确立循环体:求m除以n的余数 r, ,mn nr； 初始化变量：输入,m n； 设定循环控制条件：0r ？ （2） 关于学生生成的问题最后输出的结果是m或n的问题，根本 原因在于，满足0r 程序结束时，还执行了,mn nr两个赋值语句， 将原来该输出的n值赋给了变量m，故最后应输出m。 （3）关于学生生成的问题输入的mn，只要执行一次循环，程 序就会将,m n的值交换过来， 这样就保证了mn,故不需要比较,m n的 大小关系。 （4） 学习指导书设计有将算法改写为当型循环结构写出辗转 相除法的算法步骤、程序框图和程序。目的是通过对程序的变换，让 学
12、生再次体会用算法思想解决实际问题的全过程， 并加深对直到型和 当型两种循环结构的理解。 （5）在例题讲解中，介绍了更相减损术求最大公约数的方法， 先按步骤求出最大公约数，再引导学生思考算法原理。这是我国早期 7 解决求最大公约数问题的算法，通过中外数学历史的对比，反映中国 古代人民的优秀， 让学生体会中国古代数学对世界历史的发展做出的 贡献。注意：更相减损术的程序比较复杂，课堂上只要求学生能读懂 算理，课后鼓励有能力的学生进行较深入的理解。 3. 总结辗转相除法与更相减损术的联系与区别及算法程序，使 学生们对知识有一个系统的认识，抓住关键，培养概括能力，实现知 识的升华。 4.最后关于学生提供
13、的其他方法，首先是肯定鼓励大家的开放性 思维， 然后需要指出的是解决同一个问题可以有多种算法， 有优有劣， 差异很大。好的算法可以把解决问题的时间由几天缩短到几秒。因而 算法分析也成为计算机科学的一个基本研究方向。 第四环节，自我测评 自我测评是对我们精讲的反馈与检测， 是给学生本节课的学习做 出总结性评价。 自我测评题目： 1.必做题：用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减 损术检验你的结果： （1）228，48； （2）185，98. 2.选做题：求 225，135 最小公倍数。 3.拓展延伸：请查阅相关书籍资料画出更相减损术这种算法的程 序框图，并用语句来描述这个算法。 设计的目
14、的 1.必做题让所有学生再次巩固本节课所学内容； 8 2.选作题体现算法思想，可供学生提高之用； 3.阅读中国古代类似算法更相减损法，体会中国古代数学对 世界数学发展的贡献，增强民族自豪感。 为了便于学生的知识系统的建构，我把板书设计如下： 辗转相除法与更相减损术 算法分析 算法步骤 辗转相除法算法框图 更相减损术 四、本节课的思考与建议 告知不如感知，教练不如历练。所以本课时基本原则是，认识特 殊，推广一般，阅读案例，经历过程。本节课基本流程是：从解决特 殊问题开始到一般问题解决的算法分析，写算法步骤，画程序框图和 编制程序。这是关注算法思想，突出重难点的有效处理方法。其中写 算法步骤是基础
15、，画程序框图是算理算则的清晰化，编制程序是算法 的进一步精确化，教学中应以此为重点，而不是以程序设计为重点。 这是案例教学的基调，后续案例教学也用这种办法。此外从人教版和 北师大版教材的对比中不难看出，其算法与基本结构是一致的，但采 用的程序语句是不同的，从侧面也说明，本章的重点是体会算法的核 心思想和依据算理画出程序框图。 最后我想特别说一说，算法初步是新课程新增内容，但算法思想 9 贯穿整个高中数学学习，正因为如此有些教师想改变教学顺序，把算 法教学放在最后我认为这是不妥的。 此外本章作为数学学科与信息技 术学科的交叉学科， 在教学中可与信息技术教师在适当的时间共同安 排课程,以计算机为工具，以机房为实验室，共同开发算法应用的相 关内容。 我的说课到此结束，谢谢！欢迎大家批评指导！
