1、会计学1二重积分的概念及计算二重积分的概念及计算Page 2解法:类似定积分解决问题的思想:1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:0),(yxfz底：xoy 面上的闭区域 D顶:连续曲面侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求 极限”D),(yxfz 第1页/共56页Page 3D),(yxfz 1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个k,),(kk3)“近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2,1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk第2页/共5
2、6页Page 44)“取极限”k 定定义义的的直直径径为为 1212()maxkkP PP,P令 1max()kk n 01lim(,)nkkkkVf ),(yxfz),(kkfk),(kk第3页/共56页Page 5有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D,),(Cyx计算该薄片的质量 M.度为),(),(常数若yx设D 的面积为,则M若),(yx非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求 极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域,21n相应把薄片也分为小区域.Dyx第4页/共56页Page 62)“常代变”中任取一点k在每个),(kk3)“近似和”nkkMM
3、1nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2,1(),(nkMkkkk则第 k 小块的质量yx第5页/共56页Page 7两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积:平面薄片的质量:第6页/共56页Page 8定义:),(yxf设将区域 D 任意分成 n 个小区域),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 I,使nkkkkfI10),(lim可积,),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在D上
4、的二重积分.称为积分变量yx,积分和Dyxfd),(积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数,第7页/共56页Page 9DyxfVd),(引例1中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,),(yxf也常d,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(第8页/共56页Page 10若函数),(yxf),(yxf定理2.),(yxf上可在则Dyxf),(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区
5、域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如,yxyxyxf22),(在D:10 x10 y上二重积分存在;yxyxf1),(但在D 上 y1xo1D二重积分不存在.第9页/共56页Page 11Dyxfkd),(.1(k 为常数)Dyxgyxfd),(),(.221d),(d),(d),(.3DDDyxfyxfyxf,1),(.4yxfD上若在DDdd1 为D 的面积,则),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(第10页/共56页Page 12特别,由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(
6、5.若在D上),(yxf,),(yxDyxfd),(6.设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为,MyxfmDd),(则有第11页/共56页Page 137.(二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD证:由性质6 可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理,至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在闭区域D上 为D 的面积,则至少存在一点使使连续,因此第12页/共56页Page 14d)(,d)(32DDyxyx其中2)1()2(:22yxD解:积分域 D 的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2)1()2(2
7、2yx它与 x 轴交于点(1,0),.1相切与直线 yx而域 D 位,1 yx从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方,故在 D 上 1y2xo1D第13页/共56页Page 152222341ddxyxyxy 的正负号.解:分积分域为,321DDD则原式=12231ddDxyxy 22231ddDxyxy 32231ddDxyxy 1ddDxy 3331ddDxy 32(43)23D32D11Dyxo3(12)0 猜想结果为负但不好估计.舍去此项第14页/共56页Page 16220yx 0)ln(22 yx的正负.)0(dd)ln(122yxyxyx解：1yx当时，故0)ln(22 y
8、x又当时，1 yx于是2)(yx 10dd)ln(122yxyxyx1111xyoD第15页/共56页Page 1722ddI:10100coscosDxyDxyxy 解:D 的面积为50()4200 三三角角形形面面积积由于221100coscosxy积分性质5200200I102100即:1.96 I 210101010D11001102xyo第16页/共56页Page 185.04.0I 估计 的值,其中 D 为DxyyxI162d22.20,10yx解:被积函数16)(1),(2yxyxf2D 的面积41)0,0(fM的最大值),(yxfD上在51431)2,1(22 fm),(yxf
9、的最小值,4252 I故yox2D1第17页/共56页Page 19xyoD),(yxfD 位于 x 轴上方的部分为D1,),(),()1(yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍1D在 D 上d),(21Dyxf在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有1:,221 yxDD 为圆域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0第18页/共56页Page 20 xbad 设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取,0bax 平面0 x
10、x 故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd)(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD第19页/共56页Page 21ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd第20页/共56页Page 22xyzRRo解:设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd8222
11、20dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD第21页/共56页Page 231.二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法第22页/共56页Page 24被积函数相同,且非负,yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解:321,III由它们的积分域范围可知312III11xyo1.比较下列积分值的大小关系:第23页/共56页Page 25,d31DxyI,d322D
12、xyIDxyId3213的大小顺序为().)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示:因 0 y 1,故;212yyyD故在D上有,03x又因323321xyxyxyyox1D第24页/共56页Page 26.dd)(sin2200yxyxI解:)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind220002第25页/共56页Page 27221(sincos)d2,Dxy 其中D 为01,01.xy解:利用题中 x,y 位置的对称性,有22(sincos)dDxy 222212(sincos)d(sincos)
13、dDDxyyx 212222(sin)d(sin)dcoscosDDxxyy22(sincos)dDxx 242sin()dDx 2214201,sin()1,xx 又 D 的面积为 1,故结论成立.yox1D1第26页/共56页Page 28且在D上连续时,(,)0f x y 当当被被积积函函数数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域 则)(1xy)(2xyxboyDax若D为Y 型区域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxf
14、dd),(则第27页/共56页Page 29),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于Dyxyxfdd),(2第28页/共56页Page 30oxyDyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2)若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域,3
15、21DDDD则 第29页/共56页Page 31xy211xy o221d y,dDyxI其中D 是直线 y1,x2,及yx 所围的闭区域.x解法1.将D看作X型区域,则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法2.将D看作Y型区域,则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y第30页/共56页Page 32,dDyx其中D 是抛物线xy2所围成的闭区域.解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy1261234
16、4216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 第31页/共56页Page 33,ddsinDyxxx其中D 是直线,0,yxy所围成的闭区域.oxyDxxy 解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.第32页/共56页Page 3422802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解:积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221x
17、y 222280:22xxyD21DDD将:D视为Y型区域,则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy第33页/共56页Page 35,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224第34页/共56页Page 36axy2解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax 给定改变积分的次序.)0(d),(
18、d20222ayyxfxIaaxxaxay0d2222d),(yaaayxyxfayaaxyxf222d),(aayxyxf222d),(ayx22a2a2aoxy第35页/共56页Page 37xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有在极坐标系下,用同心圆 r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积kkkkkkrrrr)(21),2,1(nkk在k),(kkrkkkkrr kkkr221内取点kkkrr221)(及射线 =常数,分划区域D 为krkrkkkr第36页/共56页Page 38kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dy
19、xfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrd第37页/共56页Page 39Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(d特别,对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD第38页/共56页Page 40若 f 1 则可求得D 的面积d)(21202Dd思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试答:;0)1()(rDoyx)(rDoyx问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2(第39页/共56页Page 41,
20、dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解:在极坐标系下,200:arD原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数,故本题无法用直角2reddrr20d由于故坐标计算.第40页/共56页Page 42利用例13可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2d02xex事实上,当D 为 R2 时,Dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例7的结果,得)1(limd42220aaxexe故式成立.第41页/共56页Page 4322224azyx被圆柱面xayx222)0(a所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知
21、20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1(3322033a)322(3323aoxyza2第42页/共56页Page 443261sin4 ryxyxDdd)(22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203 yx其中D 为由圆所围成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx42203 xy及直线30,xy解：平面闭区域.03 xysin2 roxy2436d第43页/共56页Page 45baxxfd)()(txtttfd)()(定积分换元法(,):(,)xx u vTyy u v DDvu),(满足(1)(,
22、),(,)x u vy u vD 在在上上一阶偏导数连续;雅可比行列式(2)D 在在上上(,)(,)0;(,)x yJ u vu v (3)变换:TDD 则(,)ddDf x yxy(,),(,)Df x u vy u v 定理:(,),f x yD设设在在闭闭域域上上连连续续变换:是一一对应的,(,)d dJ u vu vovuDoyxDT第44页/共56页Page 46oyxDovuD用平行于坐标轴的,uo v 在在坐坐标标面面上上直线分割区域,D任取其中一个小矩T形,其顶点为),(,),(21vhuMvuM1Mu4M3M2Mhu vkv通过变换T,在 xoy 面上得到一个四边形,其对应顶
23、点为)4,3,2,1(),(iyxMiii1M4M3M2M22,hk 令令则12xx),(),(vuxvhux).,(,),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuux第45页/共56页Page 4714xx),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy)(),(ohvuuy同理得14yy)(),(okvuvy当h,k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形,故其面积近似为4121MMMM2121414100ijkxxyyxxyykhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(第46页/共56页Page 48vuvuJdd),(d从而得二重积分的换元
24、公式:Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(vuvuJdd),(例如,直角坐标转化为极坐标时,sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(第47页/共56页Page 49其中D 是 x 轴 y 轴和直线2 yx所围成的闭域.解:令,xyvxyu则2,2uvyuvx),(),(vuyxJyxeDxyxyddvuevuDdd2120d21vvveed)(211201ee2 yxDxoy2121212121vvvuue dxyxye,ddyx)(DD DD2vvu vuuov第48页/共56页Page 5
25、0ybx 2yax 2Doyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu,22xqyxpyybxyax22,)0,0(baqp所围成的闭区域 D 的面积 S.解:令Duvopqab则bvaqupD:D),(),(vuyxJ31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd)(31abpq第49页/共56页Page 511222222czbyax解:yxzVDdd2yxcDbyaxdd122222由对称性,1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax则D 的原象为20,1:rD),(),(ryxJcossinsincosrbbraaDcV2rrrcbad1d210220cba34rba21r
26、ddrrba的体积V.第50页/共56页Page 52(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy)(2xyy xybaD第51页/共56页Page 53)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrf(2)一般换元公式),(),(vuyyvuxx
27、Dyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且则DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(JddrrDo)(1r)(2r在变换下第52页/共56页Page 54 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积分好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式第53页/共56页Page 551.设,1,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示:交换积分顺序后,x,y互换oyx1xy 1yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A第54页/共56页Page 56ararccoscosar oxa)0(d),(dcos022arrfIa提示:积分域如图rrar0dararccosararccosId),(rf第55页/共56页
