1、第2课时随机变量及其分布知识网络要点梳理填一填:;.答案:二项分布超几何分布方差 正态分布知识网络要点梳理1.离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量,随机变量常用字母X,Y,等表示.(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.(3)分布列设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,xi,xn,X取每一个值xi(i=1,2,n)的概率为P(X=xi)=pi,则称表为随机变量X的概率分布列,简称X的分布列.知识网络要点梳理(4)分布列的两个性质pi0,i=1,2,n;p1+p2+
2、pn=1.2.两点分布如果随机变量X的分布列为其中0p1,q=1-p,则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布.知识网络要点梳理3.超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,nN,MN,n,M,NN*,则称分布列为超几何分布列.知识网络要点梳理4.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为(1)均值称E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差知识网络要点梳理5.相互独立事件(1)对于事件A,B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A,B是相互独立事件.(2)若A与B相互独
3、立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.知识网络要点梳理6.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的.(2)二项分布在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为k,在每次试验中事件A发生的概率为p,则在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n),此时称随机变量X服从二项分布,记
4、作XB(n,p),并称p为成功概率.知识网络要点梳理7.正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aXb)(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(-X+)0.682 7;P(-2X+2)0.954 5;P(-3E(3X2),他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.专题归纳高考体验专题四正态分布的实际应用例4 在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现已知该班同学中成绩在8085分的有17人.试计算该班同学中成绩在90分以上的有多少人.思路分析:依题意,由在8085分的同学的人数和所占百分比求出该班同学总数,再求
5、90分以上同学的人数.专题归纳高考体验解:成绩服从正态分布N(80,52),=80,=5,-=75,+=85.于是成绩在(75,85内的同学占全班同学的68.27%,成绩在(80,85内的同学占全班同学的34.135%.设该班有x名同学,则x34.135%=17,解得x50.又-2=80-10=70,+2=80+10=90,成绩在(70,90内的同学占全班同学的95.45%.成绩在(80,90内的同学占全班同学的47.725%.成绩在90分以上的同学占全班同学的2.275%.即有502.275%1(人).故成绩在90分以上的仅有1人.专题归纳高考体验反思感悟对于正态分布问题,在新课程标准中的要
6、求不是很高,只要求同学们了解正态分布中的最基础的知识.但由于正态分布中体现了数形结合的重要思想,一些结合图象解决某一区间内的概率问题又成为热点问题,这就需要同学们熟练掌握正态分布的形式,记住正态总体在三个区间内取值的概率,运用对称性结合图象求相应的概率.专题归纳高考体验跟踪训练跟踪训练4某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102),如果规定低于60分为不及格,求:(1)成绩不及格的学生占多少?(2)成绩在8090分内的学生占多少?解:(1)设学生的得分情况为随机变量X,XN(70,102),则=70,=10.在6080分之间的学生所占的比例为P(70-10X70+10)0.6
7、82 7,所以不及格的学生所占的比例为 (1-0.682 7)=0.158 65=15.865%,即成绩不及格的学生占15.865%.专题归纳高考体验(2)成绩在8090分内的学生所占的比例为 故成绩在8090分内的学生占13.59%.专题归纳高考体验专题五方程思想的运用 专题归纳高考体验所以X的分布列为 反思感悟方程思想是通过引入未知量,构造方程或方程组,分析问题、转化问题,使问题得到解决的一种思想.方程思想在本章中的应用是从问题的数量关系入手,根据分布列、均值、方差等公式构造方程,然后通过解方程(组)的方法使问题得以解决.专题归纳高考体验跟踪训练跟踪训练5某射手射击所得环数X的分布列如下:
8、已知X的期望E(X)=8.9,则y的值为.解析:x+0.1+0.3+y=1,即x+y=0.6.又7x+0.8+2.7+10y=8.9,化简得7x+10y=5.4.由联立解得x=0.2,y=0.4.答案:0.4专题归纳高考体验专题归纳高考体验答案:A 专题归纳高考体验2.(2019北京高考)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:专题归纳高考体验(1)从全校学生中随机抽
9、取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数,求X的分布列和数学期望;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000 元的人数有变化?说明理由.专题归纳高考体验解:(1)由题意知,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人,仅使用B的学生有10+14+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方
10、式都使用的学生有100-30-25-5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率估计为(2)X的所有可能值为0,1,2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”,事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”.由题设知,事件C,D相互独立,专题归纳高考体验专题归纳高考体验(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2 000元”.假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于2 000 元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得答案示例1:
11、可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.专题归纳高考体验考点二离散型随机变量的分布列、均值与方差3.(2017全国甲高考)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则D(X)=.解析:由题意可知抽到二等品的件数X服从二项分布,即XB(100,0.02),其中p=0.02,n=1
12、00,则D(X)=np(1-p)=1000.020.98=1.96.答案:1.96专题归纳高考体验4.(2016四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.解析:同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果有(正正),(正反),(反专题归纳高考体验5.(2017山东高考)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4
13、,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.专题归纳高考体验专题归纳高考体验6.(2017课标高考)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于2
14、0,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:专题归纳高考体验以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?解:(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知 因此X的分布列为 专题归纳高考体验(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200n500.当300n500时,若最高气温不低
15、于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n;若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.当200n300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n.所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.专题归纳高考体验7.(2019天津高
16、考)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验8.(2018天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)
17、若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.专题归纳高考体验解:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.所以,随机变量X的分布列为专题归纳高考体验设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3
18、人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=BC,且B与C互斥.由知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),专题归纳高考体验9.(2018北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;专题归纳高考体验(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“k=1”表示第k类电影得到人们喜欢,
19、“k=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D1,D2,D3,D4,D5,D6的大小关系.解:(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A,第四类电影中获得好评的电影为2000.25=50(部).(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事件B,P(B)=0.250.8+0.750.2=0.35.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验考点三正态分布10.(2017课标高考)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其
20、尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.()试说明上述监控生产过程方法的合理性;()下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:专题归纳高考体验专题归纳高考体验附:若随机变量Z服从正态分布N(,2),则P(-3Z+3)=0.997 4.解:(1)抽取的一个零件的尺寸
21、在(-3,+3)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.002 6,故XB(16,0.002 6).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.997 4160.040 8.X的数学期望为EX=160.002 6=0.041 6.(2)()如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.专题归纳高考体验
