1、要点梳理要点梳理1.1.离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量若离散型随机变量X X的分布列为的分布列为 12.6 12.6 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差X Xx x1 1x x2 2x xi ix xn nP Pp p1 1p p2 2p pi ip pn n基础知识基础知识 自主学习自主学习(1)(1)均值均值 称称E E(X X)=_)=_为随机变量为随机变量X X的均的均值或值或_,_,它反映了离散型随机变量取值的它反映了离散型随机变量取值的_._.(2)(2)方差方差称称D D(X X)=)=为随机变量为随机变量X X的方差的方
2、差,它刻画它刻画了随机变量了随机变量X X与其均值与其均值E E(X X)的的_,_,其其_ _ _为随机变量为随机变量X X的标准差的标准差.iniipXEx12)(x x1 1p p1 1+x x2 2p p2 2+x xi i p pi i+x xn n p pn n数学期望数学期望平均平均水平水平平均偏离程度平均偏离程度)(XD平方根算术算术2.2.均值与方差的性质均值与方差的性质 (1)(1)E E(aXaX+b b)=_.)=_.(2)(2)D D(aXaX+b b)=_.()=_.(a a,b b为常数为常数)3.3.两点分布与二项分布的均值、方差两点分布与二项分布的均值、方差
3、(1)(1)若若X X服从两点分布服从两点分布,则则E E(X X)=)=p p,D D(X X)=_.)=_.(2)(2)若若XBXB(n n,p p),),则则E E(X X)=_,)=_,D D(X X)=_.)=_.aEaE(X X)+)+b ba a2 2D D(X X)p p(1-(1-p p)npnp(1-(1-p p)npnp基础自测基础自测1.1.已知已知 的分布列的分布列 则在下列式子中：则在下列式子中：正确的个数是正确的个数是 ()()A.0 B.1 C.2 D.3 A.0 B.1 C.2 D.3-1-10 01 1P P213161.31)0(P;2723)(;31)(
4、DE解析解析 答案答案 C C.,9561)311(31)310(21)311()(.,3161121)1()(222正确由分布列知不正确故正确故DE2.2.若随机变量若随机变量X X的分布列如表的分布列如表,则则E(X)E(X)等于等于 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 由分布列的性质由分布列的性质,可得可得2 2x x+3+3x x+7+7x x+2+2x x+3+3x x+x x=1,=1,E E(X X)=0)=02 2x x+1+13 3x x+2+27 7x x+3+32 2x x+4+43 3x x+5+5x x=40=40 x x=X X0 01 12 23 3
5、4 45 5P P2 2x x3 3x x7 7x x2 2x x3 3x xx x18191920209.181x.920C3.3.设随机变量设随机变量 则则 ()()A.A.n n=8,=8,p p=0.2 B.=0.2 B.n n=4,=4,p p=0.4=0.4 C.C.n n=5,=5,p p=0.32 D.=0.32 D.n n=7,=7,p p=0.45=0.45 解析解析,28.1)(,6.1)(),(DEpnB且.2.0,8,28.1)1()(,6.1)(),(pnpnpDnpEpnBA4.4.已知某一随机变量已知某一随机变量 的概率分布列如下的概率分布列如下,且且 =6.3
6、,=6.3,则则a a的值为的值为 ()()A.5 B.6 C.7 D.8 A.5 B.6 C.7 D.8 解析解析 由分布列性质知：由分布列性质知：0.5+0.1+0.5+0.1+b b=1,=1,b b=0.4.=0.4.=4 =40.5+0.5+a a0.1+90.1+90.4=6.3.0.4=6.3.a a=7.=7.)(E)(E4 4a a9 9P P0.50.50.10.1b bC5.5.有一批产品有一批产品,其中有其中有1212件正品和件正品和4 4件次品件次品,从中有放从中有放 回地任取回地任取3 3件件,若若X X表示取到次品的次数表示取到次品的次数,则则D D(X X)=)
7、=_._.解析解析.16943413)(),41,3(XDBX169 题型一题型一 离散型随机变量的均值与方差的求法离散型随机变量的均值与方差的求法【例例1 1】(2009(2009湖南理湖南理,17),17)为拉动经济增长为拉动经济增长,某市决某市决 定新建一批重点工程定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程分为基础设施工程、民生工程 和产业建设工程三类和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分这三类工程所含项目的个数分 别占总数的别占总数的 现有现有3 3名工人独立地从中任选一名工人独立地从中任选一 个项目参与建设个项目参与建设.(1)(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率
8、；求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)(2)记记 为为3 3人中选择的项目属于基础设施工程或产人中选择的项目属于基础设施工程或产 业建设工程的人数业建设工程的人数,求求 的分布列及数学期望的分布列及数学期望.,61,31,21题型分类题型分类 深度剖析深度剖析思维启迪思维启迪 (1)(1)由相互独立事件的概率公式和互斥事由相互独立事件的概率公式和互斥事 件的概率公式求解件的概率公式求解.(2)(2)确定随机变量的所有可能值确定随机变量的所有可能值.用用表示选择项目属表示选择项目属民生工程的人数民生工程的人数,则则可取值：可取值：0,1,2,3,0,1,2,3,=3-=3-可取可取值为
9、：值为：3,2,1,0.3,2,1,0.解解 记第记第i i名工人选择的项目属于基础设施工程、民名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件生工程和产业建设工程分别为事件A Ai i、B Bi i、C Ci i,i i=1,2,=1,2,3.3.由题意知由题意知A A1 1,A A2 2,A A3 3相互独立相互独立,B B1 1,B B2 2,B B3 3相互独立相互独立,C C1 1,C C2 2,C C3 3相互独立相互独立,A Ai i,B Bj j,C Ck k(i i、j j、k k=1,2,3=1,2,3且且i i,j j、k k 互不相同互不相同)相互独立
10、相互独立,且且.)(,)(,)(613121321 CPBPAP(1)(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率他们选择的项目所属类别互不相同的概率P P=3=3！P P(A A1 1B B2 2C C3 3)=)=6P6P(A A1 1)P P(B B2 2)P P(C C3 3)(2)(2)设设3 3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为名工人中选择的项目属于民生工程的人数为,由已知由已知,.616131216,),(3313且且B.)(C)()(,)(C)()(,)()(C)()(,)(C)()(278320394323112923231212713130303213223333 PPP
11、PPPPP所以所以故故的分布列是的分布列是 的数学期望的数学期望 (1)(1)求离散型随机变量的均值与方差关键求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布写出随机变量的分布列列,正确运用均值、方差公式进行计算正确运用均值、方差公式进行计算.(2)(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布的分布的,可用二项分布的均值与方差公式计算可用二项分布的均值与方差公式计算,则更为则更为简单简单.0 01 12 23 3P P2719294278.227839429212710)(E探究提高探究提
12、高知能迁移知能迁移1 1 某中学组建了某中学组建了A A、B B、C C、D D、E E五个不同五个不同 的社团组织，为培养学生的兴趣爱好的社团组织，为培养学生的兴趣爱好,要求每个学生要求每个学生 必须参加，且只能参加一个社团必须参加，且只能参加一个社团.假定某班级的甲、假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的.(1)(1)求甲、乙、丙三名学生参加五个社团的所有选法求甲、乙、丙三名学生参加五个社团的所有选法 种数；种数；(2)(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的求甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的 概率；概率；(3)
13、(3)设随机变量设随机变量为甲、乙、丙这三名学生参加为甲、乙、丙这三名学生参加A A社社 团的人数团的人数,求求的分布列与数学期望的分布列与数学期望.解解 (1)(1)甲、乙、丙三名学生每人选择五个社团的方甲、乙、丙三名学生每人选择五个社团的方 法数是法数是5 5种种,故共有故共有5 55 55=125(5=125(种种).).(2)(2)三名学生选择三个不同社团的概率是三名学生选择三个不同社团的概率是三名学生中至少有两人选择同一个社团的概率为三名学生中至少有两人选择同一个社团的概率为(3)(3)由题意由题意=0,1,2,3.=0,1,2,3.25125A335.251325121;12548
14、54C)1(;1256454)0(321333PP的分布列为的分布列为的数学期望的数学期望,12515C)3(;1251254C)2(333323PP0 01 12 23 3P P1256412548125121251.5312513125122125481125640)(E题型二题型二 均值与方差性质的应用均值与方差性质的应用【例例2 2】设随机变量设随机变量具有分布具有分布P P(=k k)=)=k k=1,2,3,=1,2,3,4,5,4,5,求求E E(+2)+2)2 2,D D(2(2-1),-1),利用性质利用性质E E(a a+b b)=)=aEaE()+)+b b,D D(a
15、a+b b)=)=a a2 2D D().).解解 ,51.)1(D.3515515514513512511)(E.11515514513512511)(22222E思维启迪思维启迪E E(+2)+2)2 2=E E(2 2+4+4+4)+4)=E E(2 2)+4)+4E E()+4=11+12+4=27.)+4=11+12+4=27.D D(2(2-1)=4-1)=4D D()=8,)=8,是随机变量是随机变量,则则=f f()一般仍是随机一般仍是随机 变量变量,在求在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质的性质,可以避免再求可以避免再求的分布列带来的
16、繁琐运算的分布列带来的繁琐运算.)()()()()()()(241014515135513451335132513122222 D.2)()1(DD探究提高探究提高知能迁移知能迁移2 2 (2008(2008湖北理，湖北理，17)17)袋中有袋中有2020个大小相个大小相 同的球同的球,其中记上其中记上0 0号的有号的有1010个个,记上记上n n号的有号的有n n个个 (n n=1,2,3,4).=1,2,3,4).现从袋中任取一球现从袋中任取一球,表示所取球的标表示所取球的标 号号.(1)(1)求求的分布列、期望和方差；的分布列、期望和方差；(2)(2)若若=a a+b b,E E()=1
17、,)=1,D D()=11,)=11,试求试求a a,b b的值的值.解解 (1)(1)的分布列为的分布列为 0 01 12 23 34 4P P2120110120351(2)(2)由由D D()=)=a a2 2D D(),),得得a a2 22.75=11,2.75=11,即即a a=2.2.又又E E()=)=aEaE()+)+b b,所以当所以当a a=2=2时时,由由1=21=21.5+1.5+b b,得得b b=-2.=-2.当当a a=-2=-2时时,由由1=-21=-21.5+1.5+b b,得得b b=4.=4.75.251)5.14(203)5.13(101)5.12(2
18、01)5.11(21)5.10()(.5.1514203310122011210)(22222DE.4,2,2,2即为所求或baba题型三题型三 均值与方差的实际应用均值与方差的实际应用 【例例3 3】(12分）分）(2008(2008广东理广东理,17),17)随机抽取某厂的随机抽取某厂的某种产某种产 品品200200件，经质检，其中有一等品件，经质检，其中有一等品126126件、二件、二等品等品5050件、三等品件、三等品2020件、次品件、次品4 4件件.已知生产已知生产1 1件一、件一、二、三等品获得的利润分别为二、三等品获得的利润分别为6 6万元、万元、2 2万元、万元、1 1万元万
19、元,而而1 1件次品亏损件次品亏损2 2万元万元.设设1 1件产品的利润件产品的利润(单位单位:万元万元)为为.(1)(1)求求的分布列；的分布列；(2)(2)求求1 1件产品的平均利润件产品的平均利润(即即的数学期望的数学期望)；(3)(3)经技术革新后经技术革新后,仍有四个等级的产品仍有四个等级的产品,但次品率降但次品率降 为为1%,1%,一等品率提高为一等品率提高为70%.70%.如果此时要求如果此时要求1 1件产品的件产品的 平均利润不小于平均利润不小于4.734.73万元万元,则三等品率最多是多少？则三等品率最多是多少？思维启迪思维启迪 确定随机变量确定随机变量写出随机变量的分布列写
20、出随机变量的分布列计算数学期望计算数学期望列不等式求解列不等式求解.解解 (1)(1)的所有可能取值有的所有可能取值有6,2,1,-2.6,2,1,-2.故故的分布列为的分布列为(2)(2)E E()=6)=60.63+20.63+20.25+10.25+10.1+(-2)0.1+(-2)0.020.02=4.34(=4.34(万元万元).).02.02004)2(,1.020020)1(,25.020050)2(,63.0200126)6(PPPP6 62 21 1-2-2P P0.630.630.250.250.10.10.020.02(3)(3)设技术革新后的三等品率为设技术革新后的三等
21、品率为x x，则此时，则此时1 1件产品的件产品的 平均利润为平均利润为E E()=6)=60.7+20.7+2(1-0.7-0.01-(1-0.7-0.01-x x)+)+x x+(-2)(-2)0.01=4.76-0.01=4.76-x x(0(0 x x0.29),0.29),依题意依题意,知知E E()4.73,)4.73,即即4.76-4.76-x x4.73,4.73,解得解得x x0.03.0.03.所以三等品率最多为所以三等品率最多为3%.3%.解决此类题目的关键是正确理解随机变解决此类题目的关键是正确理解随机变 量取每一个值所表示的具体事件量取每一个值所表示的具体事件,求得该
22、事件发生的求得该事件发生的概率概率,本题第本题第(3)(3)问充分利用了分布列的性质问充分利用了分布列的性质p p1 1+p p2 2+p pi i+=1.+=1.探究提高探究提高知能迁移知能迁移3 3 现有甲、乙两个项目现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资对甲项目每投资 1010万元，一年后利润是万元，一年后利润是1.21.2万元、万元、1.181.18万元、万元、1.171.17 万元的概率分别为万元的概率分别为 已知乙项目的利润与已知乙项目的利润与 产品价格的调整有关产品价格的调整有关,在每次调整中在每次调整中,价格下降的概价格下降的概 率都是率都是p p(0(0p p1).1).设乙项目
23、产品价格在一年内进行设乙项目产品价格在一年内进行 2 2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下 降次数为降次数为,对乙项目投资对乙项目投资1010万元万元,取取0 0、1 1、2 2时时,一年后相应利润是一年后相应利润是1.31.3万元、万元、1.251.25万元、万元、0.20.2万元万元.随机变量随机变量1 1、2 2分别表示对甲、乙两项目各投资分别表示对甲、乙两项目各投资 1010万元一年后的利润万元一年后的利润.;312161、(1)(1)求求1 1、2 2的概率分布和数学期望的概率分布和数学期望E E(1 1)、E E(2 2););(2
24、)(2)当当E E(1 1)E E(2 2)时时,求求p p的取值范围的取值范围.解解 (1)(1)方法一方法一 1 1的概率分布的概率分布列列为为1.21.21.181.181.171.17P P1612131.18.13117.12118.1612.1)(1E由题设得由题设得BB(2,(2,p p),),即即的概率分布列为的概率分布列为故故2 2的概率分布列为的概率分布列为所以所以2 2的数学期望是的数学期望是E E(2 2)=1.3)=1.3(1-(1-p p)2 2+1.25+1.252 2p p(1-(1-p p)+0.2)+0.2p p2 2=1.3=1.3(1-2(1-2p p+
25、p p2 2)+2.5)+2.5(p p-p p2 2)+0.2)+0.2p p2 2=-=-p p2 2-0.1-0.1p p+1.3.+1.3.0 01 12 2P P(1-(1-p p)2 22 2p p(1-(1-p p)p p2 21.31.31.251.250.20.2P P(1-(1-p p)2 22 2p p(1-(1-p p)p p2 22方法二方法二 1 1的概率分布列为的概率分布列为 设设A Ai i表示事件表示事件“第第i i次调整次调整,价格下降价格下降”(i i=1,2),=1,2),则则 1.21.21.181.181.171.17P P1612131.18.13
26、117.12118.1612.1)(1E.)()()2(),1(2)()()()()1(,)1()()()0(2212121221pAPAPPppAPAPAPAPPpAPAPP故故2 2的概率分布列为的概率分布列为 所以所以2 2的数学期望为的数学期望为E E(2 2)=1.3)=1.3(1-(1-p p)2 2+1.25+1.252 2p p(1-(1-p p)+0.2)+0.2p p2 2=1.3=1.3(1-2(1-2p p+p p2 2)+2.5)+2.5(p p-p p2 2)+0.2)+0.2p p2 2=-=-p p2 2-0.1-0.1p p+1.3.+1.3.(2)(2)由由
27、E E(1 1)1.18,+1.31.18,整理得整理得(p p+0.4)(+0.4)(p p-0.3)0,-0.3)0,解得解得-0.4-0.4p p0.3.0.3.因为因为00p p1,1,所以当所以当E E(1 1)E E(2 2)时时,p p的取值范围是的取值范围是00p p0.3.0.3.1.31.31.251.250.20.2P P(1-(1-p p)2 22 2p p(1-(1-p p)p p2 22 1.1.期望与方差的常用性质期望与方差的常用性质.掌握下述有关性质，会给掌握下述有关性质，会给 解题带来方便解题带来方便:(1)(1)E E(a a+b b)=)=aEaE()+)
28、+b b;E E(+)=)=E E()+)+E E(););D D(a a+b b)=)=a a2 2D D(););(2)(2)若若BB(n n,p p),),则则E E()=)=npnp,D D()=)=npnp(1-(1-p p).).方法与技巧方法与技巧思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2.2.基本方法基本方法 (1)(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准 差差,可直接按定义可直接按定义(公式公式)求解；求解；(2)(2)已知随机变量已知随机变量的期望的期望 、方差、方差,求求的线性函数的线性函数=a a+b b的期望、方差和标准差，
29、可直接用的期望、方差和标准差，可直接用的期的期 望、方差的性质求解；望、方差的性质求解；(3)(3)如能分析所给随机变量，是服从常用的分布如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如如 两点分布、二项分布等两点分布、二项分布等),),可直接利用它们的期望、可直接利用它们的期望、方差公式求解方差公式求解.1.1.在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式.2.2.对于应用问题对于应用问题,必须对实际问题进行具体分析必须对实际问题进行具体分析,一般一般 要将问题中的随机变量设出来要将问题中的随机变量设出来,再进行分析再进行分析,求出随求出随 机变量的概率分布
30、机变量的概率分布,然后按定义计算出随机变量的期然后按定义计算出随机变量的期 望、方差或标准差望、方差或标准差.失误与防范失误与防范 一、选择题一、选择题1.1.设一随机试验的结果只有设一随机试验的结果只有A A和和 ,且且P P(A A)=)=p p,令随机令随机 变量变量 则则X X的方差的方差D D(X X)等于等于()()A.A.p p B.2B.2p p(1-(1-p p)C.-C.-p p(1-(1-p p)D.)D.p p(1-(1-p p)解析解析 X X服从两点分布服从两点分布,故故D D(X X)=)=p p(1-(1-p p).).,)(0)(1不出现不出现出现出现AAXD
31、定时检测定时检测A2.2.若若XBXB(n n,p p),),且且E E(X X)=6,)=6,D D(X X)=3,)=3,则则P P(X X=1)=1)的值为的值为 ()()A.32 A.32-2-2 B.2 B.2-4-4 C.32 C.32-10 -10 D.2D.2-8-8 解析解析 E E(X X)=)=npnp=6,=6,D D(X X)=)=npnp(1-(1-p p)=3,)=3,.23)21(21C)1(,12,211011112XPnp则C3.3.设随机变量的分布列如表所示且设随机变量的分布列如表所示且E E()=1.6,=1.6,则则a a-b b 等于等于 ()()A
32、.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4 A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4 解析解析 由由0.1+0.1+a a+b b+0.1=1,+0.1=1,得得a a+b b=0.8 =0.8 又由又由E E()=0)=00.1+10.1+1a a+2+2b b+3+30.1=1.6,0.1=1.6,得得a a+2+2b b=1.3 =1.3 由由,解得解得a a=0.3,=0.3,b b=0.5,=0.5,a a-b b=-0.2.=-0.2.0 01 12 23 3P P0.10.1a ab b0.10.1C4.4.已知随机变量已知随机变量+=8,=8,若若BB(10,0
33、.6),(10,0.6),则则E E(),),D D()分别是分别是 ()()A.6 A.6和和2.4 B.22.4 B.2和和2.42.4 C.2 C.2和和5.6 D.65.6 D.6和和5.65.6 解析解析 若两个随机变量若两个随机变量,满足一次关系式满足一次关系式 =a a+b b(a a,b b为常数为常数),),当已知当已知E E()、D D()时时,则有则有E E()=)=aEaE()+)+b b,D D()=)=a a2 2D D().).由已知随机变量由已知随机变量+=8,=8,所以有所以有=8-=8-.因此因此,求得求得E E()=8-)=8-E E()=8-10)=8-
34、100.6=2,0.6=2,D D()=(-1)=(-1)2 2D D()=10)=100.60.60.4=2.4.0.4=2.4.B5.5.某街头小摊某街头小摊,在不下雨的日子一天可赚到在不下雨的日子一天可赚到100100元元,在在 下雨的日子每天要损失下雨的日子每天要损失1010元元,若该地区每年下雨的若该地区每年下雨的 日子约为日子约为130130天，则此小摊每天获利的期望值是天，则此小摊每天获利的期望值是 (一年按一年按365365天计算天计算)()()A.60.82A.60.82元元 B.68.02B.68.02元元C.58.82C.58.82元元 D.60.28D.60.28元元
35、解析解析 选选A.A.826036513010365235100.)()(EA6.6.一个篮球运动员投篮一次得一个篮球运动员投篮一次得3 3分的概率为分的概率为a a，得，得2 2分分 的概率为的概率为b b,不得分的概率为不得分的概率为c c(a a、b b、c c(0,1),(0,1),已已 知他投篮一次得分的数学期望为知他投篮一次得分的数学期望为2(2(不计其他得分情不计其他得分情 况况),),则则abab的最大值为的最大值为 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 设投篮得分为随机变量设投篮得分为随机变量X X,则则X X的分布列为的分布列为 当且仅当当且仅当3 3a a=2
36、=2b b时时,等号成立等号成立.48124112161X X3 32 20 0P Pa ab bc c,61,232223)(abbabaXE所以D二、填空题二、填空题7.7.有一批产品有一批产品,其中有其中有1212件正品和件正品和4 4件次品件次品,从中任取从中任取 3 3件件,若若表示取到次品的个数表示取到次品的个数,则则E E()=_.)=_.解析解析 的取值为的取值为0,1,2,3,0,1,2,3,则则.)(.CC)(;CCC)(;CCC)(;CC)(431401370927033128110140137092703312811031634316241123161421231631
37、2 EPPPP438.8.(2009(2009上海理，上海理，7)7)某学校要从某学校要从5 5名男生和名男生和2 2名女生名女生 中选出中选出2 2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望则数学期望 E E()=_()=_(结果用最简分数表示结果用最简分数表示).).解析解析 的可能取值为的可能取值为0,1,2,0,1,2,.7422111211002110)(,211CC)2(,2110CCC)1(,2110CC)0(27222712152725EPPP749.9.(2009(2009广东
38、理广东理,12),12)已知离散型已知离散型 随机变量随机变量X X的分布列如右表的分布列如右表,若若 E E(X X)=0,)=0,D D(X X)=1,)=1,则则a a=_,=_,b b=_.=_.解析解析 由题意知由题意知 .41,41,125,131,061,1211cbacacacba解得12541三、解答题三、解答题 10.10.袋中有相同的袋中有相同的5 5个球个球,其中其中3 3个红球个红球,2,2个黄球个黄球,现从现从 中随机且不放回地摸球中随机且不放回地摸球,每次摸每次摸1 1个，当两种颜色的个，当两种颜色的 球都被摸到时球都被摸到时,即停止摸球即停止摸球,记随机变量记随
39、机变量为此时已为此时已 摸球的次数摸球的次数,求求:(1)(1)随机变量随机变量的概率分布列；的概率分布列；(2)(2)随机变量随机变量的数学期望与方差的数学期望与方差.解解 (1)(1)随机变量随机变量可取的值为可取的值为2,3,4,2,3,4,所以随机变量所以随机变量的概率分布列为：的概率分布列为：;101CCCCCA)4(;103CCCCACA)3(;53CCCCC)2(121314151233131415122313221415121312PPP2 23 34 4P P53103101(2)(2)随机变量随机变量的数学期望的数学期望随机变量随机变量的方差的方差;251014103353
40、2)(E.)()()()(20910125410325353252222 D11.11.某地区试行高考考试改革某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行在高三学年中举行5 5次次 统一测试统一测试,学生如果通过其中学生如果通过其中2 2次测试即可获得足够次测试即可获得足够 学分升上大学继续学习学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试不用参加其余的测试,而每而每 个学生最多也只能参加个学生最多也只能参加5 5次测试次测试.假设某学生每次通假设某学生每次通 过测试的概率都是过测试的概率都是 每次测试时间间隔恰当每次测试时间间隔恰当,每次每次 测试通过与否互相独立测试通过与否互相独立.(1)(1)求该
41、学生考上大学的概率；求该学生考上大学的概率；(2)(2)如果考上大学或参加完如果考上大学或参加完5 5次测试就结束次测试就结束,记该生参记该生参 加测试的次数为加测试的次数为X X,求求X X的分布列及的分布列及X X的数学期望的数学期望.,31解解 (1)(1)记记“该学生考上大学该学生考上大学”为事件为事件A A，其对立事，其对立事 件为件为 (2)(2)参加测试次数参加测试次数X X的可能取值为的可能取值为2,3,4,5.2,3,4,5.)()(C)(,)()(C)(,243131323231132323154155415 APAPA 则则.)()(C)(;)(C)(;C)(;)()(2
42、716323231527431323142743132313913124314213122 XPXPXPXP故故X X的分布列为：的分布列为：答答 该生考上大学的概率为该生考上大学的概率为 所求数学期望是所求数学期望是X X2 23 34 45 5P P912742742716.9382716527442743912)(XE.938,24313112.12.(2009(2009陕西理，陕西理，19)19)某食品企业一个月内被消费某食品企业一个月内被消费 者投诉的次数用者投诉的次数用表示表示,据统计据统计,随机变量随机变量的概率的概率 分布列如下表：分布列如下表：(1)(1)求求a a的值和的值
43、和的数学期望；的数学期望；(2)(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影 响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2 2次的概次的概 率率.0 01 12 23 3P P0.10.10.30.32 2a aa a解解 (1)(1)由概率分布列的性质有由概率分布列的性质有0.1+0.3+20.1+0.3+2a a+a a=1,=1,解得解得a a=0.2.=0.2.的概率分布列为的概率分布列为E E()=0)=00.1+10.1+10.3+20.3+20.4+30.4+30.2=1.7.0.2=1.7.0 01
44、 12 23 3P P0.10.10.30.30.40.40.20.2(2)(2)设事件设事件A A表示表示“两个月内共被投诉两个月内共被投诉2 2次次”；事件事件A A1 1表示表示“两个月内有一个月被投诉两个月内有一个月被投诉2 2次次,另一个月另一个月被投诉被投诉0 0次次”；事件事件A A2 2表示表示“两个月均被投诉两个月均被投诉1 1次次”.则由事件的独立性得则由事件的独立性得P P(A A1 1)=)=P P(=2)=2)P P(=0)=2=0)=20.40.40.1=0.08,0.1=0.08,P P(A A2 2)=)=P P(=1)=1)2 2=0.3=0.32 2=0.09.=0.09.P P(A A)=)=P P(A A1 1)+)+P P(A A2 2)=0.08+0.09=0.17.)=0.08+0.09=0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉故该企业在这两个月内共被消费者投诉2 2次的概率为次的概率为0.17.0.17.12C 返回返回
