1、24.1 圆的有关性质第二十四章 圆学习目标1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（重点、难点）3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？顶点在圆心的角叫圆心角,BOC.导入新课导入新课问题2 如图，BAC的顶点和边有哪些特点?A BAC的顶点在O上，角的两边分别交O于B、C两点.复习引入CAEDB思考：图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B、D、E有关（张开的角度大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？顶点在圆上，并
2、且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（两个条件必须同时具备，缺一不可）讲授新课讲授新课圆周角的定义一COABCOBCOBAACOABCOBCOBAA判一判：下列各图中的BAC是否为圆周角并简述理由.（2）（1）（3）（5）（6）顶点不在圆上顶点不在圆上边AC没有和圆相交如图，连接BO,CO,得圆心角BOC.试猜想BAC与BOC存在怎样的数量关系.12BACBOC圆周角定理及其推论二测量与猜测圆心O O 在BACBAC的 内部圆心O在BAC的一边上圆心O在BAC的外部推导与论证n圆心O在BAC的一边上（特殊情形）OA=OCA=CBOC=A+C12BACBOCOABDOACDOABCDn圆心O在BAC
3、的内部OACDOABDBADBOD12DACDOC12BACBADDACBODDOCBOC11()22 DACDOC12OABDCOADCOABDCOADOABDCOADOABDn圆心O在BAC的外部u圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半；圆周角定理要点归纳问题1 如图，OB，OC都是 O的半径，点A,D 是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.BAC与BDC相等吗？请说明理由.D互动探究QBACBOC1,21,2BDCBOCBAC=BDC相等DABOCEF问题2 如图，若 A与B相等吗？，CDEF Q，CDEF 相等.CODEOF Q，ACODBEOF1122.AB
4、想一想：(1)反过来，若A=B，那么 成立吗？CDEF(2)若CD是直径，你能求出A的度数吗？圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等.知识要点A1A2A3 试一试：1.如图，点A、B、C、D在O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，BAC=35.(1)BOC=，理由是 ;(2)BDC=，理由是 .7035同弧所对的圆周角相等一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(1)完成下列填空：1=.2=.3=.5=.2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.4867ABCDO1(2345678想一想如图，线段AB是O的直径，点C是 O上的任意一点（除点A、B外）
5、，那么，ABC就是直径AB所对的圆周角，想一想，ACB会是怎样的角？OACB解：OA=OB=OC，AOC、BOC都是等腰三角形.OAC=OCA，OBC=OCB.又 OAC+OBC+ACB=180.ACB=OCA+OCB=1802=90.圆周角和直径的关系u圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90.知识要点典例精析例1 如图，AB是O的直径，A=80.求ABC的大小.OCAB解：AB是O的直径，ACB=90（直径所对的圆周角等于90.）ABC=180-A-ACB =180-90-80=10.例2 如图，分别求出图中x的大小.60 x3020 x解：(1)同弧所对圆周角相等，x
6、=60.ADBEC(2)连接BF，F同弧所对圆周角相等，ABF=D=20，FBC=E=30.x=ABF+FBC=50.例3：如图，O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若ADC的平分线交 O于B,求AB、BC的长B解：(1)AC是直径，ADC=90.在RtADC中，中，22221068;DCACAD在RtABC中，AB2+BC2=AC2，(2)AC是直径,ABC=90.BD平分ADC,ADB=CDB.又ACB=ADB,BAC=BDC.BAC=ACB,AB=BC.22105 2(cm).22ABBCACB 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角
7、三角形来求解.归纳如图，BD是 O的直径，CBD30，则A的度数为()A30 B45 C60 D75解析：BD是 O的直径，BCD90.CBD30，D60，AD60.故选C.方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题练一练C例4 如图,AB是 O的直径,弦CD交AB于点P,ACD=60,ADC=70.求APC的度数.OADCPB解:连接BC,则ACB=90,DCBACBACD9060=30.又BAD=DCB=30,APC=BADADC3070100.如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形三 如
8、图，四边形ABCD为 O的内接四边形，O为四边形ABCD的外接圆.u探究性质猜想：A与C,B与D之间的关系为：A+C=180，B+D=180想一想：如何证明你的猜想呢？弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，AC180，同理BD180，证明猜想归纳总结推论：圆的内接四边形的对角互补.CODBA 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，AC180，同理BD180，E延长BC到点E，有BCDDCE180.ADCE.想一想图中A与DCE的大小有何关系？归纳总结推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.CODBAE1四边形ABCD是 O的内接四边形，且A=110，B=80，则C=，D=.
9、2 O的内接四边形ABCD中，A B C=1 2 3，则D=.7010090练一练例5：如图，AB为 O的直径，CFAB于E，交 O于D，AF交 O于G.求证：FGDADC.证明：四边形ACDG内接于 O，FGDACD.又AB为 O的直径，CFAB于E，AB垂直平分CD，ACAD，ADCACD，FGDADC.方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据如图，在 O的内接四边形ABCD中，BOD120，那么BCD是()A120 B100C80 D60解析：BOD120，A60，C18060120，故选A.练一练A解：设A，B，C的度数分别对于2x，3x，6x，例6 在圆内接四边形ABC
10、D中，A，B，C的度数之比是236.求这个四边形各角的度数.四边形ABCD内接于圆，A+C=B+D=180，2x+6x=180，x=22.5.A=45，B=67.5，C=135，D=180-67.5=112.5.1.判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （）（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （）（3）同弦所对的圆周角相等（）当堂训练当堂训练2.已知ABC的三个顶点在 O上,BAC=50,ABC=47,则AOB=BACO1663.如图，已知BD是 O的直径，O的弦ACBD于点E，若AOD=60，则DBC的度数为（）A.30 B.40 C.50 D.60A【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和
11、证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.ABCDO4.如图，四边形ABCD内接于 O,如果BOD=130,则BCD的度数是（）A 115 B 130 C 65 D 505.如图，等边三角形ABC内接于 O，P是AB上的一点，则APB=.ABCPC1206.如图，已知圆心角AOB=100,则圆周角ACB=，ADB=.DAOCB130507.如图，ABC的顶点A、B、C都在 O上，C30，AB2，则 O的半径是 .CABO解：连接OA、OBC=30 ，AOB=60 又OA=OB，AOB是等边三角形OA=OB=AB=2，即半径为2.2AOBCACB=2BAC证明：8.
12、如图，OA，OB，OC都是 O的半径，AOB=2BOC.求证：ACB=2BAC.QACBAOB1,21,2BACBOCAOB=2BOC，9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，与“危险角”有怎样的大小关系？解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即 O外），与两个灯塔的夹角小于“危险角”.拓展提升：如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?(2)求证：.BDD
13、EABCDEAB是圆的直径，点D在圆上，ADB=90，ADBC，AB=AC，BD=CD.AD平分顶角BAC，即BAD=CAD，（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.解:BD=CD.理由是:连接AD,BDDE圆心角类比圆周角圆周角定义圆周角定理圆周角定理的推论课堂小结课堂小结在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.1.90的圆周角所对的弦是直径；2.圆内接四边形的对角互补.1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）圆周角与直线的关系半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90（直角）.1、复习提问、复习提问:(2)圆心角，
14、弧，弦，弦心圆心角，弧，弦，弦心 距关系定理是什么？距关系定理是什么？(1)什么是圆心角？什么是圆心角？ACB与与 AOB 有何异同点？有何异同点？你知道你知道ACB这一类的角名字吗？这一类的角名字吗？顶点在圆上，两边顶点在圆上，两边与圆相交的角与圆相交的角,叫圆叫圆周角。周角。圆周角的概念圆周角的概念：BACO判断下列各图形中的是不是圆周角判断下列各图形中的是不是圆周角,并说明理由并说明理由 归纳：归纳：一个角是圆周角的条件：顶点在圆上；一个角是圆周角的条件：顶点在圆上；两边都和圆相交两边都和圆相交.问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有 什么关系？什么
15、关系？(1)当圆心在圆周角的一边上时当圆心在圆周角的一边上时,证明证明:(圆心在圆周角上圆心在圆周角上)结论：一条弧所对的圆周角等于它所对结论：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半圆心角的一半.COBABACCOCOA BOCBAC 21CBACBOC 2.当圆心在圆周角外部时当圆心在圆周角外部时结论结论:一条弧所对的圆一条弧所对的圆周角等于它所对周角等于它所对圆心角的一半圆心角的一半.提示提示:能否转化为能否转化为1的情况的情况?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:ABC=AOC.ABC=AOC.21nABD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD
16、,2121ODABC3.当圆心在圆周角内部时当圆心在圆周角内部时提示提示:能否转化为能否转化为1的情况的情况?n过点过点B作直径作直径BD.由由1可得可得:ABC=AOC.ABC=AOC.21nABD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,2121OABCD结论结论:一条弧所对的圆一条弧所对的圆周角等于它所对周角等于它所对圆心角的一半圆心角的一半.圆周角定理圆周角定理n一条弧所对的圆周角等于它所对一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半圆心角的一半.n同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角相等OECDBA半圆或直径所对的圆周角等于多少度？半圆或直径所对的圆周角等于多少度？OAB
17、C2.90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是否是直径？否是直径？画板324.1.4 圆周角（二）圆周角（二）在同圆或等圆中在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相同弧或等弧所对的圆周角相等等,都等于这条弧所对的圆心角的一半都等于这条弧所对的圆心角的一半.顶点在圆上，两边与圆相交的角顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角叫圆周角.圆周角的概念圆周角的概念:圆周角定理圆周角定理:87654321EHFG如果如果A=44,则则BOC=_.如果如果BOC=44,则则A=_.如果如果A=35,则则BDC=_.OABCD如图，点如图，点E、F、G、H在圆上，在圆上，你会找出几对相等的圆周角？你会找出几对
18、相等的圆周角？例例.如图如图 O的直径的直径AB为为10cm,弦弦AC为为6cm,ACB的平分县交的平分县交 O与与D,求求BC,AD,BD的长的长.ACBDO 在在 O中中,圆心角圆心角AOB=56,则弦则弦AB所对所对的圆周角等于多少的圆周角等于多少?即即:在同圆或等圆中在同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆周角同弦或等弦所对的圆周角相等或互补相等或互补 在在 O中中,圆心角圆心角AOB=56,则弧则弧AB所对所对的圆周角等于多少的圆周角等于多少?n例例.如图如图OA、OB、OC都是都是 O的半径，的半径，AOB=2BOCn求证：求证：ABC=BACCBOA例例.已知：已知：ABC的三个顶点在
19、的三个顶点在 O上上,BAC=50,ABC=47,求求AOB解：由题意知：解：由题意知：A A、B B、C C是圆周角，是圆周角，AOBAOB是圆心角是圆心角又又BAC=50BAC=50，ABC=47ABC=47ACB=180ACB=180-(A(AB)B)=180 =180-(50(504747)=83 =83 AOB2ACB283166.BACOAOBACB21又思考与巩固思考与巩固n1.如图如图,在在 O中中,BOC=50,求求A的大小的大小.OBAC2.试找出下图中所有相等的圆角试找出下图中所有相等的圆角.567812433、在圆中，一条弧所对的圆心角和、在圆中，一条弧所对的圆心角和 圆周角分别为（圆周角分别为（2x+100）和和 (5x30)，求这条弧所对，求这条弧所对的的圆圆心角和圆周角的度数。心角和圆周角的度数。4 4、如图，、如图，A A是圆是圆O O的圆周角的圆周角,A=40A=40，求，求OBCOBC的度数。的度数。OCBA（1）如图，已知圆心角）如图，已知圆心角AOB=100,求圆周角求圆周角ACB、ADB的度数？的度数？（2）一条弦分圆为）一条弦分圆为1：4两部分，两部分，求这弦所对的圆周角的度数？求这弦所对的圆周角的度数？DAOCB巩固练习巩固练习:
