1、二项式定理 研究(a+b)n的展开式 1.在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n的展开式.(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=？2.规律:(1)展开式各项次数有什么特点？(2)展开式各项系数有什么特点？(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4如何求(a+b)n的展开式303aC(ab)2 (a b)(a b)a22abb2(ab)3(ab)(ab)(ab)a33a2b3ab2b3共有四项a3 :a2b:同理，同理，ab2 有有 个；个；b3 有有 个；个；每个括号都不取每个括号都不取b的情况有一种，即的
2、情况有一种，即 种，种，相当于有一个括号中取相当于有一个括号中取b的情况有的情况有 种，种，C31C310C30C3C32C33所以所以a2b的系数是的系数是 所以所以a3的系数是的系数是baC213223abC333bC202aCabC12222bC共有三项)ba)(ba)(ba)(ba()ba(4+=+432234babbabaa（）（）（）（）（）+=44433422243144044bCabCbaCbaCaC)ba(+=+如何求(a+b)n的展开式nnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCba+=+110)(4.一般地，(a+b)n=?n3.(1)每一项的系数每一项的系数(k=0,
3、1,2,n)叫做该项的叫做该项的(2)叫做二项展开式的叫做二项展开式的，表示第表示第k+1项项,记作记作(ab)n的的,共有共有项项knCkn-kknbaC(3)若取若取a=1,b=x则得一个重要公式：则得一个重要公式：nnnkknnnnxCxCxCCx+=+101)(1、二项式系数规律、二项式系数规律nn2n1n0nCCCC、2、指数规律、指数规律（1）各项的次数均为）各项的次数均为n；（2）字母）字母 a 的次数由的次数由n降到降到0，字母字母 b 的次数由的次数由0升到升到n.3、项数规律、项数规律二项展开式共有二项展开式共有n+1项项4、通项公式、通项公式kknknkbaCT+=1二项
4、式定理规律二项式定理简单运用是是否否存存在在常常数数项项？并并问问展展开开式式中中的的系系数数的的展展开开式式中中求求项项的的二二项项式式系系数数与与系系数数项项的的系系数数、倒倒数数第第第第项项的的二二项项式式系系数数、的的展展开开式式的的第第求求求求下下列列式式子子的的展展开开式式：,.)(.)(;)(.39764134442121221111xxxxxxx+1、区别“二项式系数”与“系数”2、第k项不是Cnkan-kbk3、一般解题先研究通项完成课本完成课本31页练习页练习二项式定理引例：从排列组合“定序”问题说起 如图某城市中P，Q两地有整齐的矩形道路网，从Q地到P地共有多少种最近的走
5、法？QPn可以推出可以推出Q到每一个节点到每一个节点的步数，如图所示，你发的步数，如图所示，你发现了什么规律？现了什么规律？杨辉三角形01C11C221202CCC33231303CCCC4434241404CCCCCn=0n=1n=2n=3n=4n=5n=6伟大的数学家 杨辉，字谦光，钱塘(今杭州)人，中国古代数学家和数学教育家。由现存文献可推知，杨辉担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带，他署名的数学书共五种二十一卷。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。与秦九韶、李治、朱世杰并趁称宋元数学四大家。治学品质 杨辉出游，遇童阻道，使人问之，乃知其遇难而不得解，
6、辉奇之，细问。小童乃东村破烂王之子，家境贫寒，无上学之资，虽则聪慧终未能入室听诲，唯偷听于墙角。师每出题，童必求当日解决，不留问题到天明。然此日师出一题，小童深感棘手，于是忘情之处于道中演练，为防异处而忘，故坚不让道。辉愈奇，问其题，乃大戴礼书中所载之九宫图：1-9个数字，放在3*3的表格中，要求横竖斜之和相等。辉趣之，与童共演之，时至正午方毕。辉感其童向学之心，亦惑其师。翌日，资童拜其师，与其师共餐一顿，相谈甚欢。归，虑思良久，终想出一般方法，并推广至16宫，并N宫图，易数图、衍数图等。后杨辉把这些图总称为纵横图，收于数学著作续古摘奇算法中，流传于世。在现代组合学，计算机科学中有着重要应用。
7、由杨辉三角形研究二项式系数的性质 问题：观察杨辉三角形，你能发现二项式系数的哪些性质？nnnnnn,C,C,CCba210次次是是：展展开开式式的的二二项项式式系系数数依依)(+rnCrf=)(令令定义域定义域0,1,2,n 当当n=6时时,其图象是其图象是7个孤立点个孤立点61420O63r f(r)二项式系数的性质 1.对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.mnnmnCC=图象的对称轴图象的对称轴：2nr=n在相邻的两行中，除在相邻的两行中，除1外的每一外的每一个数都等于它个数都等于它“肩上肩上”两个数的两个数的和和.rnrnrnCCC+=+11二项式系数的性
8、质 2.增减性与最大值：kkknnnnCkn+=)!().()(1121kknCkn11+=.决决定定的的增增减减情情况况由由相相对对于于所所以以kknCCknkn11+2111+nkkkn由由 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。时时当当21+nk2nnC当当n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 取得最大值取得最大值 ；21+nnC21 nnC当当n是奇数时，中间的两项是奇数时，中间的两项 ，相等，且相等，且同时取得最大值。同时取得最大值。实质：数列的单调性与
9、数列的最大项问题二项式系数的性质 3.各二项式系数的和 n4.在奇数项的二项式系数的和等在奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即于偶数项的二项式系数的和，即得得：在在二二项项式式定定理理中中，令令1=bannnnnnCCCC2210=+这就是说，这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：的展开式的各二项式系数的和等于：nba)(+n215314202=+=+nnnnnnnCCCCCC重要方法：赋值法更多探究 从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩”出发，向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和有何特征？)(rnCCCCCrnrnrrrrrr=+1121（第（
10、第r+1条斜线）条斜线）n如图，写出斜线上各行数字的和，如图，写出斜线上各行数字的和，发现有什么规律？发现有什么规律？na)(321+=naaannn 1，1，2，3，5，8，13，21,著名的斐波那契数列著名的斐波那契数列二项式定理二项式定理的逆向使用问题nnnnnCCCxxxxxxxxxx2421311251210121012512215110110151112123452345+)()()()()()()()()()()(.化简化简nnnnkknknknnnnnnnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCbabCbaCbaCaCba)()()()(11110110+=+=+二项展开式指
11、定项的系数问题.)(;)()(,.项的系数及二项式系数项的系数及二项式系数求展开式中求展开式中系数成等差数列，系数成等差数列，的展开式中，前三项的的展开式中，前三项的已知已知项项求第求第项的系数项的系数求展开式中第求展开式中第项的二项式系数；项的二项式系数；求展开式中第求展开式中第已知二项式已知二项式xxxxxn+213434241323210二项展开式的特定项问题.)()(,.)()(.)()(.的有理项的有理项展开式中所有展开式中所有一次幂的项；一次幂的项；展开式中含展开式中含求：求：等差数列等差数列展开式中前三项系数成展开式中前三项系数成若若的项的项求含求含；求求项为常数项项为常数项的展
12、开式中第的展开式中第已知已知的项的项求展开式中含求展开式中含项；项；证明展开式中没有常数证明展开式中没有常数，：项的系数的比是项的系数的比是项的系数与第项的系数与第的展开式中第的展开式中第若若xxxxxnxxxxxnnn21216216352111035244233232+.,项项不是第不是第项项是第是第注意注意解题解题抓住通项抓住通项kkbaCbaCTkn-kknkn-kknk11+=+三项式、多项式问题.,)().(.展开式中的常数项展开式中的常数项求求求求的展开式的常数项为的展开式的常数项为若若展开式中的常数项；展开式中的常数项；求求的一次项的系数的一次项的系数的展开式中的展开式中求求5
13、23521339202122118237+xxxnxxxxxxxn探究 对于一个立体网络图路径最佳个数怎么找？如何进行抽象？n进一步，进一步，(x+y+z)6展开式中展开式中x3y2z的系数是多少？的系数是多少？n(2x+y+3z)6展开式中展开式中x3y2z的系数是多少？的系数是多少？展开式的系数和问题.)(;)(;)(;)(;)(,).(.)(;)(;)(;)(,)(.10010299312100209953110032101001002210100721064207531721016677754321321143211310aaaaaaaaaaaaaaaaaaxaxaxaaxaaaaaa
14、aaaaaaaaaaxaxaxax+=+=求求求求若若 21-1,21-1)();()()(fffffxf+偶偶数数项项系系数数和和为为奇奇数数项项系系数数和和为为的的各各项项系系数数和和为为多多项项式式常常见见的的赋赋值值方方法法：211展开式的系数和问题.)(;)(;)(,)(.8765432108642082188221083211312aaaaaaaaaaaaaaaaaxaxaxaax+=求求设设展开式系数最大项的问题.)()()()(,.,).(.)()()(,)(.求系数最小的项求系数最小的项求系数最大的项；求系数最大的项；求二项式系数最大的项求二项式系数最大的项是第几项？是第几项
15、？系数的绝对值最大的项系数的绝对值最大的项的展开式中的展开式中在在最大的项最大的项式系数最大的项和系数式系数最大的项和系数求展开式中二项求展开式中二项项的系数相等项的系数相等项与第项与第的展开式中第的展开式中第系数最大的项系数最大的项系数绝对值最大的项；系数绝对值最大的项；二项式系数最大的项；二项式系数最大的项；求求的展开式中的展开式中在在432121576211432123138220+xxxyxn近似计算、整除及余数问题.)(.*)(.001099802100109971209191263331182545321710011116652727227127132210的近似值，使误差小于的近似值，使误差小于求求的近似值的近似值精确到精确到求求的余数的余数除以除以求求的偶数的偶数为大于为大于整除整除能被能被求证：求证：整除整除能被能被求证：求证：整除整除能被能被用二项式定理证明用二项式定理证明CCCSnNnnnnn+=+证明与不等式放缩问题).,(.*.)(;)(.NnnnnnanaanNnnnCCCCnCkCnnnnnnnnnnnnknkn+=+=+=21222512243112232322122132111求证：求证：，求证：，求证：的通项的通项数列数列，都有，都有求证：对一切求证：对一切证明：证明：2005年11月7日7时33分2005年11月7日7时33分
