1、第七章第七章 参数估计参数估计3 区间估计区间估计置信区间与置信度置信区间与置信度一个正态总体未知参数的置信区间一个正态总体未知参数的置信区间两个正态总体中未知参数的置信区间两个正态总体中未知参数的置信区间退 出前一页后一页目 录 nXX，的的点点估估计计数数在在统统计计推推断断中中，未未知知参参1 仅仅仅仅是是未未知知参参数数，但但是是，点点估估计计值值nxx1 第七章 参数估计3 区间估计 区间估计就是根据样本给出未知参数的一个范围，区间估计就是根据样本给出未知参数的一个范围，并希望知道这个范围包含该参数的可信程度并希望知道这个范围包含该参数的可信程度.，旦旦得得到到了了样样本本观观测测值
2、值是是一一种种有有用用的的形形式式，一一nxx1 的值有一个的值有一个能使我们对未知参数能使我们对未知参数，估计值估计值 nxx1明明确确的的数数量量概概念念范范围围，映映出出这这个个近近似似值值的的误误差差的的一一个个近近似似值值，没没有有反反 便便的的这这在在应应用用上上是是非非常常不不方方退 出前一页后一页目 录两两个个统统计计量量所所谓谓区区间间估估计计就就是是构构造造 nnXXXX，与与，1211 由它们组成一个区间由它们组成一个区间 nnXXXX，1211 体体的的区区间间：后后，我我们们便便得得到到一一个个具具，得得到到样样本本观观测测值值对对于于一一个个具具体体问问题题，当当n
3、xx1 nnxxxx，1211 就就落落在在这这个个区区间间内内于于是是可可以以认认为为未未知知参参数数 第七章 参数估计3 区间估计一、一、置信区间与置信度置信区间与置信度退 出前一页后一页目 录第七章 参数估计3 区间估计使使得得：找找出出统统计计量量；对对于于样样本本含含一一待待估估参参数数设设总总体体,),2,1)(,(,2111 iXXXXXniin)10(,121 P.的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为为为，称称区区间间 121是是一一个个随随机机区区间间；，区区间间21 定义：定义：.1的的可可能能性性表表示示该该区区间间不不包包含含真真值值的的可可靠靠程程度度给给出出该该
4、区区间间含含真真值值 退 出前一页后一页目 录第七章 参数估计3 区间估计.595100100%.951%5个个左左右右真真值值的的有有个个左左右右，不不包包含含真真值值的的有有个个区区间间中中包包含含次次，则则在在得得到到的的这这时时重重复复抽抽样样，即即置置信信度度为为例例如如：若若 通常，采用通常，采用95%的置信度，有时也取的置信度，有时也取99%或或90%.退 出前一页后一页目 录第七章 参数估计3 区间估计求置信区间的步骤：求置信区间的步骤：),;,()1(1 nXXZZ 找找一一个个样样本本的的函函数数.赖赖于于未未知知参参数数的的分分布布是是已已知知的的，不不依依且且数数，而而
5、不不包包含含其其它它未未知知参参它它包包含含待待估估参参数数Z.1,1)2(bZaPba使使，确确定定常常数数对对给给定定的的置置信信度度.,);,()3(122111211都都是是统统计计量量）（），（其其中中得得到到等等价价的的不不等等式式从从不不等等式式nnnXXXXbXXZa .1)4(21的的置置信信区区间间是是置置信信度度为为，随随机机区区间间 退 出前一页后一页目 录第七章 参数估计1）均值的区间估计均值的区间估计.1,),(,2121 ，的的置置信信区区间间下下，来来确确定定在在置置信信度度的的一一个个样样本本为为总总体体设设 NXXXn(1)方差已知时，估计均值方差已知时，估
6、计均值,202 设设已已知知方方差差第七章 参数估计3 区间估计二、二、一个正态总体未知参数的置信区间一个正态总体未知参数的置信区间nXU/0 构构造造样样本本的的函函数数).1,0(N退 出前一页后一页目 录第七章 参数估计:121，使使得得，查查正正态态分分布布表表，找找出出对对于于给给定定的的置置信信度度 使使：间间；通通常常我我们们取取对对称称区区，由由此此可可找找出出无无穷穷多多组组,21 即：即：-1-0 nXP3 区间估计.1 21 UP -1|UP退 出前一页后一页目 录第七章 参数估计得得：查查正正态态分分布布表表,2/1)(2 z 202)-(-znXz ，可可知知：由由由
7、由正正态态分分布布表表的的构构造造，1|UP,-0202nzXnzX 推得，随机区间：推得，随机区间：.1的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为是是 3 区间估计退 出前一页后一页目 录第七章 参数估计3 区间估计说明：说明：（1）置信区间不唯一，在置信度固定的条件下，）置信区间不唯一，在置信度固定的条件下，置信区间越短，估计精度越高置信区间越短，估计精度越高.（2）在置信度固定的条件下，）在置信度固定的条件下，n 越大，置信区间越大，置信区间越短，估计精度越高越短，估计精度越高.（3）在样本量）在样本量 n 固定时，置信度越大，置信区间固定时，置信度越大，置信区间越长，估计精度越低越长，估
8、计精度越低.退 出前一页后一页目 录第七章 参数估计例例1 已知幼儿身高服从正态分布，现从已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的岁的幼儿中随机地抽查了幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：人，其高度分别为：115,120,131,115,109,115,115,105,110（cm）;；，置置信信度度为为假假设设标标准准差差%9570 .的置信区间的置信区间试求总体均值试求总体均值 解解：115)110120115(91 x，由由此此得得置置信信区区间间：查查正正态态分分布布表表得得临临界界值值96.1025.0 z 57.119,43.1109/796.1115,9/796.1115 3 区
9、间估计x,-x 0202nznz 由由样样本本值值算算得得：已已知知.05.0,9,70 n退 出前一页后一页目 录第七章 参数估计(2)方差未知时，估计均值方差未知时，估计均值未未知知，由由于于方方差差2 nSXT/而而选选取取样样本本函函数数：，使使得得：与与分分布布表表，找找，查查对对于于给给定定的的211 t，121TP使使得得：我我们们仍仍然然取取成成对对称称区区间间,3 区间估计).1(nt，1|TP退 出前一页后一页目 录第七章 参数估计),1(2 nt )1(/-X)1(-22 ntnSnt 由此得：由此得：，可可知知：分分布布表表的的构构造造及及由由 1|TPt，即即 1/n
10、SXP3 区间估计退 出前一页后一页目 录第七章 参数估计)1(,)1(-22nSntXnSntX 推得，置信区间为：推得，置信区间为：3 区间估计例例2 用仪器测量温度，重复测量用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度次，测得温度分别为：分别为：120,113.4,111.2,114.5,112.0,112.9,113.6度度;设温度设温度。),(2 NX的的所所在在范范围围。时时，试试求求温温度度的的均均值值在在置置信信度度为为%95解解：由由样样本本值值算算得得：已已知知.05.0,7 n.29.1,8.1122 sx退 出前一页后一页目 录第七章 参数估计2）方差的区间估计）方差的区间估
11、计.),(,21的的一一个个样样本本为为总总体体设设 NXXXn222)1(Sn 样样本本函函数数：3 区间估计由由此此得得置置信信区区间间：查查表表得得.447.2)6(025.0 t 85.113,75.111729.1447.28.112,729.1447.28.112 )1(,)1(-22nSntXnSntX ).1(2 n 退 出前一页后一页目 录第七章 参数估计使使得得：，与与分分布布表表，得得，查查对对于于给给定定的的2121 ，1221P对对称称的的区区间间：，我我们们仍仍采采用用使使概概率率分分布布密密度度函函数数无无对对称称性性虽虽然然2 3 区间估计，2/2212 PP得
12、得分布表分布表查查,)1(2 n),1(222 n ).n(12211 退 出前一页后一页目 录第七章 参数估计由此得：由此得：)1()1()1(2222221 nSnn 3 区间估计)1()1()1()1(22122222 nSnnSn 推得：推得：这就是说，置信区间为：这就是说，置信区间为：)1()1(,)1()1(2212222nSnnSn 退 出前一页后一页目 录第七章 参数估计例例3 设某机床加工的零件长度设某机床加工的零件长度，),(2 NX今抽查今抽查16个零件，测得长度（单位：个零件，测得长度（单位：mm）如下：）如下：12.15,12.12,12.01,12.08,12.09
13、,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06,在置信度为在置信度为95%时，试求总体方差时，试求总体方差 的置信区间的置信区间.2 解解：.00244.02 s由由此此得得置置信信区区间间：0058.0,0013.026.600244.015,5.2700244.015 得得分布表分布表查查,)1(2 n,5.27)15(2025.0 .26.6)15(2975.0 )1()1(,)1()1(2212222nSnnSn 由由样样本本值值算算得得：已已知知.05.0,16 n退 出前一页后一页目 录一个正态总
14、体未知参数的置信区间一个正态总体未知参数的置信区间待估参数待估参数随机变量随机变量随机变量随机变量的分布的分布双侧置信区间的上、下限双侧置信区间的上、下限 2 已已知知2 未知未知2 已已知知 未未知知 nX/nSX/niiX1221 niiXX1221 10，N 1 nt n2 12 n nzX 2 nSntX 12 nXnXniinii211221222 11211221222 nXXnXXniinii 退 出前一页后一页目 录三、两个正态总体中未知参数的置信区间三、两个正态总体中未知参数的置信区间 中中抽抽取取的的样样本本，是是从从正正态态总总体体，设设2111 NXXXm 中中抽抽取取
15、的的样样本本，是是从从正正态态总总体体，2221 NYYYn的各种置信区间：的各种置信区间：下表给出了置信水平为下表给出了置信水平为 1第七章 参数估计3 区间估计退 出前一页后一页目 录两个正态总体未知参数的置信区间（一）两个正态总体未知参数的置信区间（一）待估参数待估参数随机变量随机变量随机变量随机变量的分布的分布双侧置信区间的上、下限双侧置信区间的上、下限21 均已知均已知、222 但未知但未知2221 nmYX222121 nmSYXw1121 10，N 2 nmt nmzYX22212 nmSnmtYXw1122 21122212 nmSnSmSw其中其中退 出前一页后一页目 录两个
16、正态总体未知参数的置信区间（二）两个正态总体未知参数的置信区间（二）待估待估参数参数随机变量随机变量随机变量随机变量的分布的分布 双侧置信区间的上、下限双侧置信区间的上、下限2221 njjmiiYmXn1222212121/nmF，njjmiiYmXnnmF12212121 均已知均已知、21 均未知均未知、21 njjmiiYmXnnmF122121121 ，22222121 SS），11(nmF ，22211112SSnmF 222111112SSnmF ，退 出前一页后一页目 录例例4 4）：收收获获量量如如下下（单单位位：块块，分分别别测测得得其其块块，乙乙类类试试验验田田甲甲类类试
17、试验验田田的的收收获获量量，随随机机抽抽取取为为比比较较甲甲乙乙两两类类试试验验田田kg108的的置置信信区区间间期期望望差差下下，求求两两个个总总体体差差相相同同试试在在置置信信度度方方量量都都服服从从正正态态分分布布，且且假假设设两两类类试试验验田田的的收收获获2195.01 解解：由由上上表表，取取随随机机变变量量，乙乙类类：，甲甲类类：5.81.105.98.94.112.117.103.99.76.82.126.105.101.113.127.112.106.12 )2(11211222121 nmtnmnmSnSmYXT 第七章 参数估计3 区间估计退 出前一页后一页目 录其其中中
18、 21122212 nmSnSmSw由样本观测值由样本观测值，387.17.910851.04.1182221 synsxm，得得又又由由95.01 12.2162025.02 tnmt 查查表表，得得 6.010181508.012.27.94.111122 nmsnmtyxw 间间端端点点得得计计算算公公式式，得得将将上上面面各各数数代代入入置置信信区区 8.210181508.012.27.94.111122 nmsnmtyxw ，所所求求置置信信区区间间为为8.26.0第七章 参数估计3 区间估计025.02 退 出前一页后一页目 录例例5 5）假假设设两两个个机机器器生生（测测得得其
19、其样样本本方方差差为为只只，生生产产的的产产品品）；随随机机抽抽取取机机器器（只只，测测得得其其样样本本方方差差为为生生产产的的产产品品抽抽取取机机器器机机生生产产的的钢钢管管的的内内径径，随随与与机机器器研研究究由由机机器器222221mm29.013mm34.018 sBsABA解解：由由上上表表，取取随随机机变变量量),1,1(22222121 nmFSSF 第七章 参数估计3 区间估计的的置置信信区区间间下下求求两两总总体体方方差差比比信信度度样样本本相相互互独独立立试试在在置置方方差差均均未未知知又又设设两两个个与与总总体体正正态态分分布布，其其总总体体期期望望产产的的钢钢管管的的内
20、内径径均均服服从从2221/90.01 退 出前一页后一页目 录由由 1/22222121bSSaP得得置置信信区区间间为为的的双双侧侧因因此此，得得 12221 ，1121 nmFa ，112 nmFb ，22211222111111122SSnmFSSnmF 第七章 参数估计3 区间估计退 出前一页后一页目 录，29.01334.0182221 snsm，得，得又由又由90.01 59.212171105.02 ，查查表表，得得FnmF 间间端端点点得得计计算算公公式式，得得将将上上面面各各数数代代入入置置信信区区 ，所求置信区间为所求置信区间为79.245.0由由样样本本观观测测值值 38.211712112171105.095.012 ，FFnmF ，45.011122212 SSnmF ，79.2111222112 SSnmF 第七章 参数估计3 区间估计05.0295.021 ，退 出前一页后一页目 录
