1、4.1.2指数函数的性质与图像指数函数的性质与图像一二一、指数函数的定义1.填空.一般地,函数y=ax(a0,a1)称为指数函数.2.函数y=24x是指数函数吗?函数y=4x+9呢?提示:函数y=24x不是指数函数,函数y=4x+9不是指数函数,判断一个函数是否为指数函数关键是看是否符合y=ax(a0,且a1)的形式.3.在指数函数的定义中,为什么规定a0,且a1?提示:一二4.做一做:下列函数中,哪些是指数函数?(1)y=x;(2)y=x4;(3)y=-2x;(4)y=3x-1;(5)y=(-10)x.解:(1)是指数函数;(2)x位于底数位置,因而不是指数函数;(3)2x的系数为-1,不为
2、1,因而不是指数函数;(4)指数是x-1,不符合要求,不是指数函数;(5)底数为-10,小于0,不是指数函数.故(1)是指数函数,(2)(3)(4)(5)均不是指数函数.一二二、指数函数的图像和性质1.在同一平面直角坐标系中,用描点法画出下列函数的图像:观察四个函数图像,它们有何特点?你能从中总结出一般性结论吗?一二一二2.指数幂ax(a0,且a1)与1的大小关系如何?提示:当x0,0a0,a1时,ax1,即指数x和0比较,底数a和1比较,当不等号的方向相同时,ax大于1,简称为“同大”.当x1或x0,0a1时,ax1)在R上为增函数,在闭区间s,t上存在最大值、最小值,当x=s时,函数有最小
3、值as;当x=t时,函数有最大值at.指数函数y=ax(0a1)在R上为减函数,在闭区间s,t上存在最大值、最小值,当x=s时,函数有最大值as;当x=t时,函数有最小值at.一二4.做一做:(1)函数 在R上是()A.增函数B.奇函数C.偶函数D.减函数(2)如图是指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图像,则a,b,c,d与1的大小关系是()A.ab1cdB.ba1dcC.1abcdD.ab1d0,且m1)是R上的增函数.()(2)指数函数y=ax(a0,且a1)是非奇非偶函数.()(3)所有的指数函数的图像都过定点(0,1).()(4)函数y=a|x|与函数y=|ax|的图像是
4、相同的.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三探究四规范解答指数函数的概念指数函数的概念例1 函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.分析:只需让解析式符合y=ax这一形式即可.解:因为y=(a2-3a+3)ax是指数函数,当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答反思感悟1.判断一个函数是指数函数的方法:(1)看形式:即看是否符合y=ax(a0,a1,xR)这一结构形式.(2)明特征:指数函数的解析式具备的三个特征,只要有一个特征不具备,则不是指数函数.2.已知某个函数是指数函数求参数值的步骤(1)列:依据指数函数解析式所具备的三个特征,列出方程(组)或不等式(组).
5、(2)解:解所列的方程(组)或不等式(组),求出参数的值或范围.当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答求指数型函数的定义域、值域求指数型函数的定义域、值域例2求下列函数的定义域与值域:当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答反思感悟反思感悟求函数的定义域问题,即求表达式有意义时相应的x的取值范围(集合);求函数的值域问题主要是借助函数的性质及定义域来求.当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答答案:(1)A(2)(0,1 当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答利用指数函数的性质比较大小利用指数函数的性质比较大小例3 比较下列各组数的大小:分析:若两个数是同底指数幂,则直接利用指数函数的单调
6、性比较大小;若不同底,一般用中间值法.当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答反思感悟利用指数函数的性质比较大小的方法:(1)先把这两个数看作指数函数的两个函数值,再利用指数函数的单调性比较;(2)若两个数不是同一个函数的两个函数值,则寻求一个中间量,中间量常选1,两个数都与这个中间量进行比较;(3)当底数a的情形不确定时,要分类讨论,有些底数不相同的,需先利用幂的性质化归为同底,再利用单调性得出结果.当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答指数函数指数函数的的图像图像问题问题例4 函数y=ax-1+2(a0,且a
7、1)的图像恒过定点.答案:(1,3)解析:方法一:指数函数y=ax(a0,a1)的图像过定点(0,1),函数y=ax-1+2中令x-1=0,即x=1,则y=1+2=3.函数图像恒过定点(1,3).方法二:由y=ax(a0且a1)过点(0,1),y=ax-1+2的图像是y=ax向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到的.y=ax-1+2的图像恒过点(1,3).当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答例5先作出函数y=2x的图像,再通过图像变换作出下列函数的图像:(1)y=2x-2,y=2x+1;(2)y=2x+1,y=2x-2;(3)y=-2x,y=2-x,y=-2-x.分析:先作出y=2x的图
8、像,再向左(右)、上(下)平移分别得到第(1)(2)题中函数的图像;由y=2x的图像作关于x轴、y轴、原点的对称变换便得第(3)题中函数的图像.当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答解:列表:根据上表中x,y的对应值在平面直角坐标系中描点作图如图所示.当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答(1)函数y=2x-2的图像可以由y=2x的图像向右平移2个单位长度得到,函数y=2x+1的图像可以由y=2x的图像向左平移1个单位长度得到.图像如图所示.(2)函数y=2x+1的图像可以由y=2x的图像向上平移1个单位长度得到,函数y=2x-2的图像可以由y=2x的图像向下平移2个单位长度得到.图像如图
9、所示.当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答(3)函数y=2-x的图像由y=2x的图像关于y轴对称后得到;函数y=-2x的图像由y=2x的图像关于x轴对称后得到;函数y=-2-x的图像由y=2x的图像关于原点对称后得到.图像如图所示.当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答反思感悟指数函数图像及其变换1.牢记指数函数y=ax(a0,a1)的图像恒过定点(0,1),分布在第一和第二象限.2.明确影响指数函数图像特征的关键是底数.当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答3.平移变换(0),如图(1)所示.4.对称变换,如图(2)所示.当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答变变式训练式训练2方程
10、2-x2=2x的根的个数为.答案:2解析:根据方程的两端分别设函数f(x)=2x,g(x)=2-x2,在同一直角坐标系中画出函数f(x)=2x与g(x)=2-x2的图像,如图所示(0).由图可以发现,二者仅有两个交点,所以方程2-x2=2x的根的个数为2.当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测含指数式的方程或不等式的解法1.对于含有指数式的方程,一般有两种解法:(1)同底法,将方程的两边化成同底的指数式,再求解;(2)换元法,通过换元将复杂的方程化为我们熟悉的方程,再求解.2.含指数式的不等式的一般解法:先将不等式的两边化成同底的指数式,再利用指数函数的单调性“去掉”底数,转化为我们
11、熟悉的不等式(如一元一次不等式等)求解.探究一探究二探究三探究四规范解答典例1解下列关于x的方程:思路点拨对于(1),等号两边化成同底数的指数式,利用指数相等解出x;对于(2),化成关于2x的一元二次方程,解出2x后再求x.当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答方法点睛方法点睛1.解指数方程时常用换元法,用换元法时要特别注意“元”的范围.2.若解指数方程可转化为解二次方程,用二次方程求解时,要注意二次方程根的取舍.当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答思路点拨(1)将不等式的两边化为以 为底的指数式再求解;(2)指数式的底数含有参数的问题应分类讨论求解.3x-1-1.x0.故原不等式的解集
12、是x|x0.当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答(2)对a分情况讨论:当0a0,且a1)在R上是减函数,x2-3x+1x+6.x2-4x-50,解得x5.当a1时,函数f(x)=ax(a0,且a1)在R上是增函数,x2-3x+1x+6.x2-4x-50,解得-1x5.综上所述,当0a1时,x的取值范围为(-1,5).当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答方法点睛方法点睛解不等式af(x)ag(x)(a0,且a1)的依据是指数函数的单调性,要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确定,就需进行分类讨论,即af(x)ag(x)当堂检测探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测1.(多选)函数y=a-x(a0且a1)的图像可以是()答案:ABA.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数答案:A探究一探究二探究三探究四规范解答当堂检测3.如果a1,bf(n),则m,n的大小关系为.答案:mn即0af(n),所以mn.
