1、8.6.2直线与平面垂直直线与平面垂直一二三四五一、直线与平面垂直的定义1.思考(1)如图,阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么?随着太阳的移动,旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗?提示垂直关系,所成的角度不变,都为90.一二三四五(2)如图,旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线BC的位置关系又是什么?依据是什么?由此得到什么结论?提示垂直关系,依据是异面直线所成角的定义.得到的结论是:如果一条直线与平面垂直,则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线.一二三四五2.填空直线与平面垂直的定义一二三四五3.做一做直线l与平面内的无数条直线垂直,则()A.l和
2、相互平行B.l和相互垂直C.l在平面内D.不能确定答案:D解析:直线l和相互平行或直线l和相互垂直或直线l在平面内都有可能,如图所示.一二三四五二、直线与平面垂直的判定定理1.思考(1)如图,直线l与平面内的无数条直线a,b,c都垂直,直线l与平面一定垂直吗?为什么?提示不一定.当平面内的无数条直线a,b,c都互相平行时,直线l在保证与直线a,b,c都垂直的条件下,与平面可能垂直也可能斜交.一二三四五(2)请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试验:过ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触),问:折痕AD与桌面垂直吗?如何翻折才
3、能保证折痕AD与桌面所在平面垂直?提示从实验可知:当AD与BC不垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD与桌面不垂直;当AD与BC垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD与桌面垂直.一二三四五(3)如果我们把折痕抽象为直线l,把桌面抽象为平面,如图.你认为保证直线l与平面垂直的条件是什么?提示需直线l与平面内的两条相交直线都垂直.即lm,ln,mn=O.(4)如果将问题(3)中的两条相交直线m,n的位置改变一下,仍保证lm,ln,mn=O,此时直线l与平面还垂直吗?提示仍然垂直.一二三四五2.填空直线和平面垂直的判定定理一二三四五3.做一做(1)若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直
4、线OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBC D.平面ABC答案:C一二三四五(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直.()若直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线与平面垂直.()若直线垂直于梯形的两腰所在的直线,则这条直线垂直于两底边所在的直线.()若直线垂直于梯形的两底边所在的直线,则这条直线垂直于两腰所在的直线.()答案:一二三四五三、直线与平面所成的角1.思考(1)平面的斜线、斜足是怎样定义的?斜线在平面上的射影是如何定义的?什么是斜线与平面所成的角?提示如图,一条直线PA和一个
5、平面相交,但不和平面垂直,这条直线PA叫做这个平面的斜线,它们的交点A叫做斜足.过斜线PA上斜足A以外的一点P向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线PA在平面上的射影.斜线PA和它在平面上的射影AO所成的锐角PAO,叫做斜线PA和平面所成的角.一二三四五(2)直线与平面所成的角的取值范围是什么?提示一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0.因此,直线与平面所成的角的范围是090.一二三四五2.做一做如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于;AB1与平面ADD1A1所成的角等于;
6、AB1与平面DCC1D1所成的角等于.答案:45450解析:B1AB为AB1与平面ABCD所成的角即45;B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0.一二三四五四、空间距离1.思考(1)过一点可作几条直线与已知平面垂直?提示有且只有一条.(2)如果一条直线与一个平面平行,在直线上任意取几个点,这些点到这个平面的距离相等吗?提示相等.(3)如果两个平面平行,在其中一个平面内任取几个点,这些点到另一个平面的距离相等吗?提示相等.(4)在棱柱、棱锥和棱台中,它们的高如何确定?提示棱柱和棱台的高就是上、下底面这两个平行平面之间的距离;棱锥的高就是
7、顶点到底面的距离.一二三四五2.填空(1)过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.(2)一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.(3)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.一二三四五3.做一做已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点C到平面BDD1B1的距离为()答案:B解析:如图,连接AC,与DB交于点O,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,DBAC,BB1AC,BB1DB=B,
8、AC平面BDD1B1.点C到平面BDD1B1的距离为CO.一二三四五五、直线与平面垂直的性质定理1.思考(1)平面内,垂直于同一条直线的两条直线的位置关系如何?提示平行.(2)空间中,垂直于同一条直线的两条直线的位置关系如何?提示可能相交、平行或异面,如图所示.一二三四五(3)在长方体ABCD-ABCD中,棱AA,BB所在直线与平面ABCD位置关系如何?这两条直线又有什么样的位置关系?提示棱AA,BB所在直线都与平面ABCD垂直;这两条直线互相平行.一二三四五2.填空直线与平面垂直的性质定理一二三四五3.做一做在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若直线l(与直线BB1不重合)平面A1C1,则
9、()A.B1BlB.B1BlC.B1B与l异面但不垂直D.B1B与l相交但不垂直答案:B解析:因为B1B平面A1C1,又因为l平面A1C1,所以lB1B.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练证明直线与平面垂直证明直线与平面垂直例例1如图所示,ABBC,ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,AC中点为D.求证:SD平面ABC.分析先由等腰三角形SAC及D为边AC的中点,得SDAC.再由SDA SDB,得SDDB.证明:SA=SC,D为AC中点,SDAC.在RtABC中,AD=DC=BD,又SA=SB,SDA SDB.SDA=SDB,即SDDB.又ACBD=D,SD平面ABC.探
10、究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟 判定直线与平面垂直,可以用定义,就是证明这条直线与平面内的任一直线垂直,但这种方法一般不用.最常用也最好用的是直线与平面垂直的判定定理,根据定理,只需证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可.另外,判定直线与平面垂直还有如下两个结论可用:(1)两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线与两平行平面中的一个面垂直,则它与另一个平面也垂直.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练延伸探究延伸探究在本例条件下,若AB=BC,求证:BD平面SAC.证明:BA=BC,D为AC中点,BDAC.SD平面
11、ABC,BD平面ABC,BDSD,AC与SD都在平面SAC内且相交,BD平面SAC.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练证明两直线垂直证明两直线垂直例例2如图,已知PA垂直于O所在的平面,AB是O的直径,C是O上任意一点,求证:BCPC.分析首先利用PA平面ABC得到PABC,然后根据圆的性质得到ACBC,进而利用线面垂直判定定理证得BC平面PAC,从而得到BCPC.证明:PA平面ABC,BC平面ABC,PABC.AB是O的直径,BCAC.而PAAC=A,BC平面PAC.PC平面PAC,BCPC.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟 直线和平面垂直的定义具有
12、双重作用:判定和性质.判定是指,如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直,那么直线就与平面垂直;性质是指,如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线,即a,bab.由直线与平面垂直的定义及判定定理,就可以由线线垂直得到线面垂直,再由线面垂直得到线线垂直,即得到线线垂直与线面垂直的相互转化.因此,要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面),通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练延伸探究延伸探究若本例中其他条件不变,作AEPC交PC于点E,求证:AEPB.证明:由【例2】知BC平面PAC,AE平面PAC,B
13、CAE.PCAE,且PCBC=C,AE平面PBC.PB平面PBC,AEPB.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角例例3已知四面体ABCD的棱长都相等,Q是AD的中点,则CQ与平面BCD所成的角的正弦值为.分析作AO平面BCD,垂足为O,连接OD取OD中点P,连接QP,CPQCP就是斜线CQ与平面BCD所成的角求出sinQCP探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练解析:过点A作AO平面BCD,垂足为O,连接OB,OC,OD.取OD中点P,连接QP,CP.由AO平面BCD,四面体的棱长都相等知点O是三角形三边垂直平分线的交点,也是三角形角平
14、分线的交点.Q是AD中点,P是OD中点,QPAO.AO平面BCD,QP平面BCD.QCP就是CQ与平面BCD所成的角.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟 1.求斜线与平面所成的角的步骤:(1)作图.作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角).(2)证明.证明找出的平面角是斜线与平面所成的角.(3)计算.通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.2.在上述步骤中,作角是关键,而确定斜线在平面内的射影是作角的关键,几何图形的特征是找射影的依据,图形中的特殊点是突破口.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析
15、随堂演练变式训练变式训练1如图,在RtBMC中,斜边BM=5,它在平面ABC上的射影AB长为4,MBC=60,则MC与平面CAB所成角的正弦值为.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练解析:由题意知,A是M在平面ABC内的射影,MA平面ABC,MC在平面CAB内的射影为AC.MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.在RtMBC中,BM=5,MBC=60,探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练空间距离的求法空间距离的求法例例4如图,已知正方形ABCD的边长为4,CG平面ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点,求点B到平面GEF的距离.分析因为与平面平行的直线上所有点到平
16、面的距离相等,可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离,为此要寻找过点B与平面GEF平行的直线.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练解:连接BD,AC,EF和BD分别交AC于H,O,连接GH,作OKGH于点K.四边形ABCD为正方形,E,F分别为AB,AD的中点,EFBD,H为AO的中点.BDEF,BD平面GFE,BD平面GFE.BD与平面GEF的距离就是点O到平面GEF的距离.BDAC,EFAC.GC平面ABCD,GCEF.GCAC=C,EF平面GCH.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练OK平面GCH,EFOK.又OKGH,GHEF=H,OK平面GEF,
17、即OK的长就是点B到平面GEF的距离.正方形ABCD的边长为4,CG=2,探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟 距离的定义具有最短性和确定性,充分体现了化归思想.两个平行平面间的距离、直线到平面的距离,都是转化为求点到平面的距离来解决,最终实质是求两点间距离.求点到平面的距离一般有两种方法:(1)构造法:根据定义构造垂直于面的直线,确定垂足位置,将所求线段化归到三角形中求解.(2)等积变换法:将所求距离看作某个几何体(多为棱锥)的高,利用体积相等建立方程求解.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练延伸探究延伸探究本题条件不变,如果求直线BD到平面GEF的距离呢
18、?解:先证明BD平面GEF,将直线到平面的距离转化为求点O到平面的距离,过程和答案与例题一致.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练变式训练变式训练2已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 ,平面AB1D1到平面BC1D的距离为()答案:C解析:因为两平面平行,所以原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h,探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练直线与平面垂直的性质的应用直线与平面垂直的性质的应用例例5如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EFBD1.分析连接AB1与CB1,证明EF与BD1都与平面AB1C垂直.探究一
19、探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练证明:连接AB1,B1C,BD,如图.DD1平面ABCD,AC平面ABCD,DD1AC.又ACBD,BDDD1=D,AC平面BDD1B1.ACBD1.同理BD1B1C,ACB1C=C,BD1平面AB1C.EFA1D,且A1DB1C,EFB1C.又EFAC,ACB1C=C,EF平面AB1C.EFBD1.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟 1.本例应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目的,即线面垂直的性质提供了线线平行的依据.2.在空间证明线线平行的方法有:定义法、公理4、线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理
20、.3.直线与平面垂直的其他性质:(1)若一条直线垂直于一个平面,则它就垂直于这个平面内的任意一条直线;(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面;(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面;(4)垂直于同一条直线的两个平面平行.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练变式训练变式训练3在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,且四边形ABCD是矩形,AEPD于点E,l平面PCD,求证:lAE.证明:PA平面ABCD,CD平面ABCD,PACD.又CDAD,PAAD=A,CD平面PAD.AE平面PAD,AEDC.又AEPD,PDCD=D,AE
21、平面PCD.l平面PCD,lAE.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练转化与化归思想的应用典例典例设四边形ABCD是空间四边形,AB=AD,CB=CD,求证:ACBD.证明:取BD的中点E,连接AE,CE.由已知,在等腰ABD、CBD中,有AEBD,CEBD.又AECE=E,BD平面AEC.BDAC.点评要证明直线与直线垂直,往往转化为证明线面垂直,再利用线面垂直的重要性质得出线线垂直.分析要证空间直线ACBD,从题目条件上看似无从入手,可将空间问题转化为平面问题考虑,若取BD的中点E,则证BDAC转化为证BDEC,BDEA.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练1.如果一条
22、直线垂直于一个平面内的:三角形的两边;梯形的两边;圆的两条直径;正六边形的两条边.则能保证该直线与平面垂直的是()A.B.C.D.答案:A解析:三角形的两边、圆的两条直径一定是相交直线,而梯形的两边、正六边形的两条边不一定相交,所以保证直线与平面垂直的是.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练2.已知直线a平面,直线b平面,则a与b的关系为()A.abB.abC.a,b相交不垂直D.a,b异面不垂直答案:B解析:由b,过b作平面,使=c,则bc,且c.a,ac.ab.3.点A,B到平面的距离分别为4 cm和6 cm,则线段AB的中点M到平面的距离为.答案:1 cm或5 cm解析:当A,
23、B在平面同侧时,由梯形中位线定理可得点M到平面的距离为5 cm;当A,B在平面异侧时,由相似三角形列比例式可得距离为1 cm.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练4.已知m,n,l是直线,是平面,=l,n,nl,m,则直线m与n的位置关系是.答案:平行解析:,=l,n,nl,n.又m,mn.5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=,BC=AA1=1,则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为.答案:30解析:如图所示,连接B1D1,则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影,则BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角.则BD1B1=30.探究一探究二探究三探究四探究五思维辨析随堂演练6.如图,四边形ABCD为矩形,AD平面ABE,F为CE上的点,且BF平面ACE.求证:AEBE.证明:AD平面ABE,ADBC,BC平面ABE.又AE平面ABE,AEBC.BF平面ACE,AE平面ACE,AEBF.BF平面BCE,BC平面BCE,BFBC=B,AE平面BCE.又BE平面BCE,AEBE.
