1、 第六节第六节 差分与差分方程的概念差分与差分方程的概念 、常系数线性差分方程解的结构常系数线性差分方程解的结构 一、差分的概念一、差分的概念 设变量设变量 y 是时间是时间 t 的函数的函数,如果函数如果函数 y=y(t)不仅连不仅连 续而且还可导续而且还可导,则变量则变量 y 对时间对时间 t 的变化速率用的变化速率用 dy/dt 来刻画来刻画;但在某些场合但在某些场合,时间时间 t 只能离散地取值只能离散地取值,从而变量从而变量 y 也只能按规定的离散时间而相应地离散地变化也只能按规定的离散时间而相应地离散地变化,这时这时 常用规定的时间区间上的差商常用规定的时间区间上的差商 y/t 来
2、刻画来刻画 y 的变化的变化 速率速率.若取若取 t =1,那么那么 y=y(t+1)y(t)就可近似地代表变量就可近似地代表变量 y 的变化速率的变化速率.定义定义1 1 设函数设函数 y=f(x),当自变量当自变量 x 依次取遍非负整依次取遍非负整 数时数时,相应的函数值可以排成一个数列相应的函数值可以排成一个数列 f(0),f(1),f(2),f(x),f(x+1),将之简记为将之简记为,1210 xxyyyyy 当自变量从当自变量从 x 变到变到 x+1 时时,函数的改变量函数的改变量 称为函数称为函数 y 在点在点 x 的的差分差分(或一阶差分或一阶差分),记为记为 即即 xxyy
3、1xy),2,1,0(1 xyyyxxx 例例1 1 已知已知 (C 为常数为常数),求求 Cyx.xy 解解.01 CCyyyxxx 所以常数的差分为零所以常数的差分为零.例例2 2 已知已知 (其中其中 a 0,a 1),求求 xxay .xy 解解.)1(11 aaaayyyxxxxxx 可见可见,指数函数的差分等于指数函数乘上一个常数指数函数的差分等于指数函数乘上一个常数 .例例3 3 已知已知 ,求求 xayxsin.xy 解解 xaxayyyxxxsin)1(sin1 .21sin)21(cos2axa 例例4 4 已知已知 求求,2xyx.xy 解解.12)1(221 xxxyy
4、yxxx 由一阶差分的定义由一阶差分的定义,容易得到差分的四则运算法则容易得到差分的四则运算法则;)()1(xxyCyC ;)()2(xxxxzyzy ;)()3(11xxxxxxxxxxyzzyyzzyzy .)()4(1111 xxxxxxxxxxxxxxzzzyyzzzzyyzzy(证明略证明略)下面给出高阶差分的定义下面给出高阶差分的定义.定义定义2 2 当自变量从当自变量从 x 变到变到 x+1 时时,一阶差分的差分一阶差分的差分 xxxxxyyyyy 11)()()()(112xxxxyyyy 称为函数称为函数 y=f(x)的的二阶差分二阶差分,记为记为 ,即即 xy2.2122x
5、xxxyyyy 同样同样,二阶差分的差分称为二阶差分的差分称为三阶差分三阶差分,记为记为 ,即即 xy3.212xxxyyy .331233xxxxxyyyyy 依次类推依次类推,函数函数 y=f(x)的的 n 阶差分为阶差分为.)(1xnxnyy 解解 例例5 5 设设 求求 ,2xxey .2xy xxxyyy 1xxee2)1(2 )1(22 eex)1()(222 eeyyxxxxee22)1(.)1(222xee 解解)2()(4)(32 xxyx 例例6 6 设设 求求 ,2432 xxyx,2xy.3xy 04)12(3 x,16 x)16()(2 xyyxx;60)(6 x.0
6、)6(3 xy 一般地一般地,对于对于 k 次多项式次多项式,它的它的 k 阶差分为常数阶差分为常数,而而 k 阶以上的差分均为零阶以上的差分均为零.二、差分方程的概念二、差分方程的概念 定义定义3 3 含有未知函数的差分含有未知函数的差分或或含有未知函数几个不含有未知函数几个不 同时期值的符号的方程同时期值的符号的方程称为差分方程称为差分方程,其一般形式为其一般形式为 0),(2 xnxxxyyyyxF 或或 0),(21 nxxxxyyyyxG 或或 0),(21 nxxxxyyyyxH 由差分的定义及性质可知由差分的定义及性质可知,差分方程的不同表达形差分方程的不同表达形 式之间可以互相
7、转化式之间可以互相转化 .例如例如,差分方程差分方程 可转化成可转化成,3212xxxxyyy ;32221 xxxxyyy 若将原方程的左边写成若将原方程的左边写成 xxxxxyyyyy2)()(112 xxxyyy21 xxyy22 则原方程又可化为则原方程又可化为.322xxxyy 在定义在定义3 3中中,未知函数的最大下标与最小下标的差称未知函数的最大下标与最小下标的差称 为为差分方程的阶差分方程的阶.如如0234235 xxxyyy 是三阶差分方程是三阶差分方程,又如差分方程又如差分方程.013 xxyy 虽然它含有三阶差分虽然它含有三阶差分 但是由于该方程可化为但是由于该方程可化为
8、,3xy,0133123 xxxyyy 因此因此,它是二阶差分方程它是二阶差分方程.定义定义4 4 如果一个函数代人差分方程如果一个函数代人差分方程,使方程两边恒使方程两边恒 等等,则称此函数为则称此函数为差分方程的解差分方程的解.若在差分方程的解中若在差分方程的解中,含有相互独立的任意常数的含有相互独立的任意常数的 个数与该方程的阶数相同个数与该方程的阶数相同,则称这个解为则称这个解为差分方程的差分方程的 通解通解.为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性,往往 往根据事物在初始时刻所处状态往根据事物在初始时刻所处状态,对差分方程附加一对差分方程附加一
9、 定条件定条件,称之为称之为初始条件初始条件.当通解中所有任意常数被初始条件确定后当通解中所有任意常数被初始条件确定后,这个解这个解 称为称为差分方程的特解差分方程的特解.三、常系数线性差分方程解的结构三、常系数线性差分方程解的结构 为以后几节讨论的需要为以后几节讨论的需要,这里将给出常系数线性差这里将给出常系数线性差 分方程的解的结构定理分方程的解的结构定理.n 阶常系数线性差分方程的一般形式为阶常系数线性差分方程的一般形式为)(1111xfyayayayxnxnnxnx (1)其中其中 为常数为常数,且且 为已知为已知),2,1(niai)(,0 xfan 函数函数.当当 f(x)0 时时
10、,差分方程差分方程(1)称为齐次的称为齐次的;当当 f(x)0 时时,差分方程差分方程(1)称为非齐次的称为非齐次的.若若(1)是是 n 阶常系数非齐次线性差分方程阶常系数非齐次线性差分方程,则其所对则其所对 应的应的 n 阶常系数齐次线性差分方程为阶常系数齐次线性差分方程为)0(01111 nxnxnnxnxayayayay(2)关于关于 n 阶常系数线性差分方程阶常系数线性差分方程(2)的解有如下一些的解有如下一些 结论结论:定理定理 1 1 若函数若函数 都是常系数齐次线性差分方程都是常系数齐次线性差分方程(2)的解的解,则它们的线性则它们的线性 组合组合)(,)(,)(21xyxyxy
11、k)()()()(2211xyCxyCxyCxykk 也是方程也是方程(2)的解的解,其中其中 为常数为常数.kCCC,21 定理定理 2 2 若函数若函数 是是 n 阶常系数齐次线性差分方程阶常系数齐次线性差分方程(2)的的 n 个线性无关个线性无关 的解的解,则则 就是方程就是方程(2)的通解的通解(其中其中 为常数为常数).)(,)(,)(21xyxyxyn)()()(2211xyCxyCxyCYnnx nCCC,21 由此定理可知由此定理可知;要求出要求出 n 阶常系数齐次线性差分方阶常系数齐次线性差分方 程程(2)的通解的通解,只需求出其只需求出其 n 个线性无关的特解个线性无关的特
12、解.该定理称为常系数齐次线性差分方程的通解的结构该定理称为常系数齐次线性差分方程的通解的结构 定理定理.定理定理3 3 若若 是非齐次方程是非齐次方程(1)的一个特解的一个特解,是它是它 对应的齐次方程对应的齐次方程(2)的通解的通解,则非齐次方程则非齐次方程(1)的通解为的通解为*xyxY.*xxxyYy 该定理告诉我们该定理告诉我们,要求非齐次方程要求非齐次方程(1)的通解的通解,可先可先 求对应的齐次方程求对应的齐次方程(2)的通解的通解,再找非齐次方程再找非齐次方程(1)的的 一个特解一个特解,然后相加然后相加.该定理称为该定理称为 n 阶常系数非齐次线性差分方程的通解阶常系数非齐次线性差分方程的通解 的结构定理的结构定理.定理定理4 4 若若 分别是非齐次方程分别是非齐次方程*2*1,yy)(11111xfyayayayxnxnnxnx )(21111xfyayayayxnxnnxnx 的特解的特解,则则 是方程是方程*2*1*yyy )()(211111xfxfyayayayxnxnnxnx 的特解的特解.
