1、2020_2021学年新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程3激趣诱思知识点拨今日美国2018年12月9日报道,“天文爱好者们即将看到一个惊喜,名为46P/Wirtanen的彗星,即将成为1950年以来最接近地球的10颗彗星之一.46P/Wirtanen会在美国时间12月16日最接近地球.届时,这颗彗星将“仅”距离地球710万英里(从天文的角度来说,这已经很近了).在此期间,这颗彗星应该肉眼可见.”天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢?原来,这颗彗星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它运行中的一些有关数据,可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出它运行的周期及轨道的周长,预测它接近地球或离去的时间.
2、激趣诱思知识点拨一、椭圆的定义1.定义我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.2.定义的集合语言表述集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,2a|F1F2|.名师点析在椭圆定义中,要求常数必须大于两定点F1,F2之间的距离,这是椭圆定义中非常重要的一个条件,可以验证:如果这个常数等于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将是一条线段;如果这个常数小于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时,务必注意这一隐含的条件.激趣诱思知识
3、点拨微练习下列说法中,正确的是()A.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆B.到点M(0,-3),N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆D.到点M(0,-3),N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆答案:C激趣诱思知识点拨二、椭圆的标准方程 000激趣诱思知识点拨名师点析1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心在坐标原点,椭圆的对称轴为坐标轴.激趣诱思知识点拨(2)已知a=5,c=2,焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为.解析:(1)因为106,所以焦点在x轴
4、上,且a2=10,b2=6,所以c2=10-6=4,c=2,故焦点坐标为(2,0)和(-2,0).激趣诱思知识点拨探究一探究二探究三素养形成当堂检测求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程1.待定系数法例1根据下列条件,求椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);思路分析:(1)设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(2)设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(3)焦点位置不确定,可以分两种情况分别求解,也可直接设所求椭圆方程
5、为mx2+ny2=1(m0,n0,mn).探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟椭圆方程的求法1.利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下:(1)先确定焦点位置;(2)设出方程;(3)寻求a,b,c的等量关系;(4)求a,b的值,代入所设方程.2.当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(mn,m0,n0).因为焦点位置包括焦点在x轴上(mn)两种情况,所以可以避免分类讨论,从而简化运算.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1根据下列条件,求椭圆的标准方程.(2)经过点
6、(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.定义法例2一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.思路分析:两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,由此可以找到动圆圆心满足的条件等式.解:两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题意有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,|MQ1|+|MQ2|=10|Q1Q2|=6.由椭圆的定义可知点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上
7、,且a=5,c=3,b2=a2-c2=25-9=16.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1.若动点轨迹满足椭圆的定义,则根据椭圆的定义来确定a,b,c,从而确定椭圆的标准方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法.2.一般步骤:(1)将条件转化为到两定点的距离之和为定值(该定值大于两定点之间的距离);(2)判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴;(3)确定椭圆的基本量a,b,c,从而确定椭圆的标准方程.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究本题两个已知圆不变,若动圆与两个圆都内切,求动圆圆心的轨迹方程.解:设动圆圆心为P(x,y),半径为r.由圆P与圆Q1内切,得|PQ1|=r-1
8、;由圆P与圆Q2内切,得|PQ2|=9-r.所以|PQ1|+|PQ2|=86=|Q1Q2|.所以P点轨迹是以Q1,Q2为焦点的椭圆,且2a=8,2c=6.即a=4,c=3,所以b2=a2-c2=7.探究一探究二探究三素养形成当堂检测对椭圆标准方程的对椭圆标准方程的理解理解 A.(-9,25)B.(-9,8)(8,25)C.(8,25)D.(8,+)(2)若方程x2-3my2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟根据椭圆方程求参数的取值范围 探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:(-4,0)(0,3)探究一
9、探究二探究三素养形成当堂检测椭圆中的焦点三角形椭圆中的焦点三角形问题问题 思路分析:(1)由|PF1|+|PF2|是定值,求|PF1|PF2|的最大值,可考虑用基本不等式;(2)求焦点三角形的面积,可考虑用定义|PF1|+|PF2|=2a及余弦定理先求|PF1|PF2|,再考虑用三角形面积公式求面积.探究一探究二探究三素养形成当堂检测当且仅当|PF1|=|PF2|=10时,等号成立,即|PF1|PF2|取到最大值100.(2)c2=a2-b2=100-64=36,c=6,则F1(-6,0),F2(6,0).P为椭圆上任一点,|PF1|+|PF2|=2a=20.在PF1F2中,|F1F2|=2c
10、=12,探究一探究二探究三素养形成当堂检测即122=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|.|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|,122=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|PF2|,122=202-3|PF1|PF2|,探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1.焦点三角形的概念如图,设M是椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点,当点M,F1,F2不在同一条直线上时,它们构成一个三角形焦点三角形.2.关于椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出|PF1|+|PF2|=2a,利用这个关系式转化求解.因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的
11、常用方法.在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.焦点三角形的常用公式(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.(2)在MF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|MF2|cos.探究一探究二探究三素养形成当堂检测垂直于x轴,交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.(1)求AF1B的周长.(2)如果AB不垂直于x轴,AF1B的周长有变化吗?为什么?探究一探究二探究三素养形成当堂检测故有|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,|AF2|+|BF2|=|AB|,AF1B的周长=|
12、AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=10+10=20,AF1B的周长为20.(2)如果AB不垂直于x轴,AF1B的周长仍为20不变.理由:|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a,和AB与x轴是否垂直无关.探究一探究二探究三素养形成当堂检测求与椭圆有关的轨迹问题求与椭圆有关的轨迹问题典例已知B,C是两个定点,|BC|=8,且ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.解:以
13、过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.由|BC|=8可知点B(-4,0),C(4,0).由|AB|+|AC|+|BC|=18,得|AB|+|AC|=108=|BC|,因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10,焦距2c=8,但点A不在x轴上.由a=5,c=4,得b2=a2-c2=25-16=9.探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法总结求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法(1)定义法:若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义,则可用定义直接求解.(2)直接法:将动点满足的几何条件或者等量关系直
14、接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程.(3)相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点轨迹的方程.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.已知F1,F2为两定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=16,则动点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段解析:因为|MF1|+|MF2|=16|F1F2|,所以动点M的轨迹是椭圆.答案:A探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.椭圆的两个焦点分别为F1(-8,0),F2(8,0),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为()答案:C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B 探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:6 探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.求以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,)的椭圆的标准方程.
