1、2020高中数学竞赛基础微积分(联赛版)25二阶线性常微分方程课件(共33张PPT)2020高中数学竞赛辅导课件（联赛版）基础微积分2022-11-2922022-11-293一、二阶线性常微分方程的一、二阶线性常微分方程的 变动任意常数法变动任意常数法第二十五讲第二十五讲二、常系数齐次线性方程的二、常系数齐次线性方程的 特征根法特征根法2022-11-294)1()()()(21xfyxayxay )2(0)()(21 yxayxay:1情况情况)()()(0 xyxCxy)()()()(00 xyxCxyxCy 一、一、二阶线性常微分方程的二阶线性常微分方程的 变动任意常数法变动任意常数法
2、)2)(1)(,)2()(0的的解解同同理理可可求求方方程程的的解解。求求方方程程解解的的一一个个非非零零是是方方程程若若已已知知xy的的解解设设方方程程)1(2022-11-295)()()()(2)()(000 xyxCxyxCxyxCy 整整理理得得代代入入方方程程将将),1(,yyy )()()()()()(2()(020100100 xfxCyxayxayxCyxayxCy 的的解解是是方方程程已已知知)2()(0 xy)()()(2()(0100 xfxCyxayxCy 的的二二阶阶可可降降阶阶方方程程这这是是关关于于待待定定函函数数)(xC的的解解。即即可可得得到到方方程程解解出
3、出)1(),(xC2022-11-296)()()()()(2211*xyxCxyxCxy 的的通通解解若若已已知知方方程程)2()()()(2211xyCxyCxy 的的解解设设非非齐齐次次方方程程)1(:2情情况况)()()()()(2211*xyxCxyxCxy )()()()(2211xyxCxyxC )1(0)()()()(2211 xyxCxyxC附加条件附加条件2022-11-297于是于是2211*)()(yxCyxCy 22112211*)()()()(yxCyxCyxCyxCy 代入方程代入方程(1)得到得到)()()()()()()()()()()(22112221112
4、2112211xfyxCyxCxayxCyxCxayxCyxCyxCyxC 2022-11-298)()()()()()()()()(2221221211112211xfyxayxayxCyxayxayxCyxCyxC 整理后得到整理后得到故故的的解解均均为为齐齐次次方方程程与与,)2()()(21xyxy0)()(0)()(2221212111 yxayxayyxayxay)2()()()(2211 xfyxCyxC2022-11-299即即得得式式联联立立式式与与将将,)2()1()()()(0)()(22112211xfxCyxCyxCyxCy等等于于零零方方程程组组的的系系数数行行列列
5、式式不不所所以以上上述述线线性性无无关关与与因因为为,)()(21xyxy02121 yyyy即即)()(,)()(,2121xCxCxCxC和和再再积积分分便便可可得得到到后后和和解解出出故故方方程程组组有有解解 2022-11-2910性性常常微微分分方方程程的的解解。法法得得到到二二阶阶线线可可已已通通过过变变动动任任意意常常数数无无关关的的解解，就就一一个个非非零零解解或或两两个个线线性性的的只只要要求求出出齐齐次次方方程程综综上上所所述述)2(,?)()2(1怎怎麽麽得得到到的的一一个个非非零零解解方方程程问问题题：xy2022-11-29110)()(21 yxayxay注注意意系
6、系数数的的特特点点0)(2 xa若若1)(1 xy0)()(121 xaxa若若xexy)(10)()(121 xaxa若若xexy )(10)()(21 xxaxaxxy)(1若若0)()(22221 xaxxxa21)(xxy 若若观观察察法法2022-11-2912的的通通解解求求例例022 12 yxyxy解解0)()(21 xxaxa观观察察得得xxy)(1)()()()(12xxCxyxCxy 设设代代入入方方程程04 CxC整整理理得得可可降降阶阶方方程程)(xpC 设设04 pxp4)(xxp331)(xxC2231)(xxy通通解解221 xCxCy2022-11-29130
7、22 2 yxyyx利利用用方方程程的的特特殊殊性性法法 22x两两边边乘乘的的降降幂幂排排列列，系系数数是是x设设想想解解是是幂幂函函数数 xxy)(设设21)1(,xyxy代代入入方方程程00)2(2 xx 2,121 221)(,)(xxyxxy线线性性无无关关通通解解221 xCxCy022 2 yxyxy2022-11-2914的的一一个个解解求求方方程程例例xsinyy2 2解解xxeCeCxy 21)(程程的的通通解解易易验验证证，相相应应的的齐齐次次方方xxexCexCxy )()()(21*设设非非齐齐次次方方程程的的解解所所满满足足的的方方程程组组代代入入将将21221,s
8、in)(,CCxxfeyeyxx 2022-11-2915 )()()(0)()(22112211xfxCyxCyxCyxCy xxCexCexCexCexxxx22121sin)()(0)()(2022-11-2916解解得得xexCx21sin21)(xexCx22sin21)(积积分分得得到到)22sin(sin101sin21)(222 xxexdxexCxx)22sin(sin101sin21)(221 xxexdxexCxx2022-11-2917)2(sin51)22sin(sin101)22sin(sin101)()()()()(2222211*xeexxeexxxyxCxyx
9、Cxyxxxx非非齐齐次次方方程程的的一一个个解解2022-11-2918.12,02)(30的的通通解解求求非非齐齐次次方方程程的的解解是是齐齐次次方方程程已已知知例例ttetxxxxxxetx 解解，则则令令tetux)(tteuuuxeuux)2()(，代代入入非非齐齐次次方方程程ttttetueeuueuuu1)(2)2(,1tu 即即tttcculn)1(12 解解得得ttetececetutxttttln)1()()(12 通通解解2022-11-2919二、常系数齐次线性方程的特征根法二、常系数齐次线性方程的特征根法问题问题:如何求常系数线性齐次如何求常系数线性齐次 方程的通解方
10、程的通解?关键关键:找到一组线性无关解找到一组线性无关解!一阶线性常系数齐次方程一阶线性常系数齐次方程0 pydxdy用分离变量法可求得通解用分离变量法可求得通解pxCey 此法对高阶不适用！此法对高阶不适用！一个解一个解:pxey 2022-11-2920求求出出的的一一个个解解代代入入方方程程设设,xey 0 xxpee 0)(xep 0 xe 因因为为此法对高阶也适用！此法对高阶也适用！结果结果相同相同p 2法法0 pydxdypxey 2022-11-2921二阶线性常系数齐次方程二阶线性常系数齐次方程0 cyybya代入方程代入方程设设,xey 0)(2 xecba 所所以以有有因因
11、为为,0 xe 02 cba ,1 特征方程特征方程2 特征根特征根2022-11-2922根据特征根，讨论通解根据特征根，讨论通解两两个个不不等等实实根根,04)1(2 acb线线性性无无关关与与xxeyey2121 21 两两个个相相等等实实根根,04)2(2 acbab221 xey 1一一个个解解问题问题:如何求出另一个解如何求出另一个解?xexuy)(2 设设通解通解根据线性无关性根据线性无关性xxeCeCy2121 2022-11-29230)()2(2 ucbaubaua 故故且且是是重重根根是是特特征征根根因因为为,02 cba 02 ba 因而得到因而得到0 u,0 a又又1
12、Cu 21CxCu xxu)(取取xxey 2xexCCy)(21 代入方程，经整理得代入方程，经整理得0)()2(2 xeucbaubaua 通解通解2022-11-2924共共轭轭复复根根,04)3(2 acb i 2,1,)(1xiey 利用欧拉公式利用欧拉公式)sin(cos1xixeyx xiey)(2 )sin(cos2xixeyx 根据解的性质，组合成两个实值解根据解的性质，组合成两个实值解,cos221xeyyx xeiyyx sin221 )sincos(21xCxCeyx 通解通解线性无关线性无关xixeixsincos 2022-11-2925的的通通解解求求方方程程例例
13、01031 yyy解解01032 0)5)(2(5,221 xxeCeCy5221 写出特征方程写出特征方程通解通解2022-11-2926的的通通解解求求方方程程例例01682 yyy01682 0)4(2 )(4重重根根 xexCCy421)(解解写出特征方程写出特征方程通解通解2022-11-2927的的通通解解求求方方程程例例0223 yyy0222 i 128422,1)sincos(21xCxCeyx 解解写出特征方程写出特征方程通解通解2022-11-2928高阶线性常系数齐次方程高阶线性常系数齐次方程01)1(1)(0 yayayayannnn特征方程特征方程01110 nnn
14、naaaa :,)1(形形式式的的项项则则通通解解中中含含有有如如下下重重实实根根若若有有一一个个 kxkkexCC)(11 2022-11-2929:,)2(含含有有如如下下形形式式的的项项则则通通解解中中重重复复根根若若有有一一对对 im xxCCemmx cos)(11 sin)(11xxDDmm sin)(cos)(4321xxCCxxCCex 2 m2022-11-2930的的通通解解求求方方程程例例04 yy03 0)1)(1(1,1,0321 xxeCeCCy 321解解 写出特征方程写出特征方程通解通解2022-11-2931的的通通解解求求方方程程例例0335 yyyy013
15、323 xexCxCCy)(2321 0)1(3 )(1三三重重根根 解解写出特征方程写出特征方程通解通解2022-11-2932的的通通解解求求方方程程例例026)4(yyy01224 xxCCycos)(21 0)1(22 )(2,1二二重重根根i xxCCsin)(43 解解 写出特征方程写出特征方程通解通解2022-11-2933求求方方程程例例 70512104234 的的通通解解0512104)4(yyyyy观察有观察有11 0)573)(1(23 解解 写出特征方程写出特征方程057323 2022-11-29340)52)(1(2 i214,3 xexCxCxCCy)2sin2cos(4321 057323 0)55()23(23 即即,12,1
