1、人教A版高中数学选修2-2课件导数的几何意义1.1.3导数的几何意义导数的几何意义回顾回顾以平均速度代替瞬时速度，然后通过以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。我们把物体在某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度.函数函数 在在 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是:0000()()limlimxxf xxf xyxx 我们称它为函数我们称它为函数 在在 处的导数，记处的导数，记作作 或或 ，即：，即：()yf x0 xx0 xx()yf x()fx0000()()()limlim
2、xxf xxf xyfxxx 0|x xy 由导数的定义可知由导数的定义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的处的导数的步骤是导数的步骤是:00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx 取极限，得导数注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负.自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.回回顾顾观察动画你能得到什么结论？观察动画你能得到
3、什么结论？切线的定义：切线的定义：当点当点 沿着曲线逼近沿着曲线逼近 点点 时，即时，即 ，割线趋近于确，割线趋近于确定的位置，这个确定位置上的直定的位置，这个确定位置上的直线线PT称为称为点点P处的切线。处的切线。nPP0 x 0 xnk已知曲线已知曲线y=f(x)上两点，上两点，0000(,(),(,()nxxP xf xP xf x结合两点坐标，割线结合两点坐标，割线 的斜率的斜率 可表示为什么？可表示为什么？PTnk思考思考根据切线定义可知：根据切线定义可知：，割线割线 切线切线 ，那么割线，那么割线 的斜率的斜率？nPPnPPnPP结合结合 ，割线，割线 切线切线 ，则切线则切线 的
4、斜率的斜率 可以表示怎么表示？可以表示怎么表示？0 x nPPPTPTk导数的几何意义：导数的几何意义：函数函数 在处在处 的导数就是曲的导数就是曲线在该点处的切线斜率线在该点处的切线斜率 ，即：，即：()yf x0 xxk0000()lim()xf xxf xkfxx 平均变化率平均变化率 在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率有何联系？有何联系？0 x 割线的斜率割线的斜率0 x 瞬时变化率瞬时变化率切线的斜率切线的斜率导数的物理意义是在该时刻的瞬时速率导数的物
5、理意义是在该时刻的瞬时速率应用：应用：QPy=x2+1y-111OjMyx例例1：已知曲线，求过点已知曲线，求过点（1，2）的切线方程）的切线方程21yx解：解：0002020()()lim(1)1(1 1)lim2()lim2.xxxf xxf xkxxxxxx 故，切线方程为：故，切线方程为：即即:22(1yx）2yx求曲线在某点处的切线方求曲线在某点处的切线方程的基本步骤程的基本步骤:求出求出P点的坐标点的坐标;利用切线斜率的定义求利用切线斜率的定义求 出切线的斜率出切线的斜率;利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.求曲线在某点处的切线方求曲线在某点处的切线方程的基本步骤程的基本步骤
6、:求出求出P点的坐标点的坐标;利用切线斜率的定义求利用切线斜率的定义求 出切线的斜率出切线的斜率;利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.练习：练习：已知某物体位移随时间已知某物体位移随时间变化的函数关系式为：变化的函数关系式为：求在时刻的瞬时速求在时刻的瞬时速度度2()2s ttt2t 解：解：我们用曲线在，处的切线，我们用曲线在，处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况当时，曲线在处的切线平行于轴当时，曲线在处的切线平行于轴所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降升降当时，曲线在处的切线的斜率当时，曲线在处的切线的
7、斜率所以，在附近曲线下降，即函数所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减在附近单调递减当时，曲线在处的切线的斜率当时，曲线在处的切线的斜率所以，在附近曲线下降，即函数所以，在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减在附近也单调递减()h t0t1t2t()h t0tt()h t1tt()h t2tt()h t0t1t2t2l1l0l1()0h t0ttx1tt1tt2tt2()0h t2tt00()()()limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数导函数也简称也简称导数导数导函数导函数:由求函数在处求导数的过程可以由求函数在处求导数的过程可以看到看到
8、,当时当时,是一个确定的数那么是一个确定的数那么,当变化时当变化时,便是的一个函数便是的一个函数,我们叫它我们叫它为的导函数（有时也记作）为的导函数（有时也记作）.即即:函数在点处的导数等于函数在点处的导数等于函数的导（函）数在点函数的导（函）数在点处的函数值处的函数值()yf x0 x0()fx()yf x0()fxy=0 x()yf x0 xx0 xx()fxx()fxx()f xy.yxy例4.已知，求xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 看一个例子:下面把前面知识小结下面把前面知识小结:a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数导数是从众
9、多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。b.要切实掌握求导数的三个步骤：要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增）求函数的增 量；量；（2）求平均变化率；）求平均变化率；（3）取极限，得导数。）取极限，得导数。（3）函数）函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值，即处的函数值，即 。这
10、也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。)(0 xf)(xf 0|)()(0 xxxfxf 小结:（2）函数的导数，是指某一区间内任意点）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的而言的,就是函数就是函数f(x)的导函数的导函数 。)(xf（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。常数，不是变数。c.弄清弄清“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”、“导函数导函数”、“导数导数”之间的区别与联系。之间的区别与联系。（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲，得到曲 线在点线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy d.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：小结小结:无限逼近的极限思想是建立导数无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求概念、用导数定义求 函数的导数的函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解基本思想，丢掉极限思想就无法理解导导 数概念。数概念。
