1、（鼎尚图文（鼎尚图文*整理制作）整理制作）1.5 定积分的概念定积分的概念xy0直线直线xy0几条线段连成的几条线段连成的折线折线xyo曲线曲线探究思考问题1：你能求出下面图像的面积吗？问题2：第三幅图的面积应该怎么求呢？曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线在直角坐标系中，由连续曲线y y=f f(x x)，直线直线x x=a a、x x=b b及及x x轴所围成的图形叫做曲边梯形。轴所围成的图形叫做曲边梯形。Ox yab y=f(x)求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积x=ax=b以直代曲以直代曲逼近逼近因此，我们可以用这条直线因此，我们可以用这条直线L来代替点来代替点P附近的附近的曲线
2、，也就是说：在点曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看作直附近，曲线可以看作直线（即在很小范围线（即在很小范围“内以直代曲内以直代曲”）P放大放大再放大再放大PP“以直代曲以直代曲,无限逼近无限逼近”的数学思想的数学思想y=f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形近似代替曲边梯形的面积的面积A A，得，得A A1+A2用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形近似代替曲边梯形的面积的面积A，得，得y=f(x)bax yOA1A2A A1+A2+A3+A4用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形近似代替曲边梯形的面积的面积
3、A，得得y=f(x)bax yOA1A2A3A4y=f(x)bax yOA A1+A2+An将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩形的个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积，面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的于是曲边梯形的面积面积A A近似为近似为A1AiAn以直代曲以直代曲,无限逼近无限逼近 当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi)x来近似表示小曲边梯形的面积表示了曲边梯形面积的近似值探究思考xxfxxfxxfn )()()(
4、21例例1.1.求抛物线求抛物线y y=x x2 2、直线、直线x x=1=1和和x x轴所围成的曲边轴所围成的曲边梯形的面积。梯形的面积。n1n2nknnxOy解析解析:把底边把底边0,10,1分成分成n n等份等份,然后在每个分点作底边的垂然后在每个分点作底边的垂线线,这样曲边三角形被分成这样曲边三角形被分成n n个窄条个窄条,用矩形来近似代替用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来然后把这些小矩形的面积加起来,得到一个近似值，再取得到一个近似值，再取其极限值。其极限值。2xy 探究思考把区间把区间00，11等分成等分成n n个小区间个小区间：,nn,n1n,ni,n1i,n2,n1
5、,n1,0 每个区间的长度为ii-11ii-11 x=-=x=-=nnnnnn过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小个小曲边梯形，他们的面积分别记作曲边梯形，他们的面积分别记作.S,S,S,Sni21 1 1n n2 2n nknnnxOy2yxi-1iffnni-1ninifni-1fn如图，当如图，当n n很大很大时，即时，即x x很小时，很小时，在区间在区间 上可以认为函数上可以认为函数 的值变化很小的值变化很小.i-1i,nn2y=x把曲边梯形分成把曲边梯形分成n个个小曲边梯形面积记小曲边梯形面积记做做 .用小矩形的面用小矩形的面积积 近似地替代近似地
6、替代 即局部小范围内即局部小范围内“以以直代曲直代曲”.2ii2i-1i-1SS=fx=xnni-11=i=1,2,n.nnisi i s sis则阴影部分面积则阴影部分面积ns 2nni=1i=1nnii=12222233S=S=111n-11=0+nnnnn1=1+2+n-1nn-1n2 n-11=n6111=1-i-1i-11f x=1-3n2nnnnn111SS=1-1-3n2n得到得到S S（曲边梯形面积）（曲边梯形面积）的近似值的近似值：当当分分割割的的份份数数无无限限增增多多,即即n n,x x0 0时时当当n趋向于无穷大，即趋向于无穷大，即 趋向于趋向于0时，时，趋向于趋向于S
7、.从而有从而有xxn111S=1-1-3n2n nni=1nnnS=lim S=1111=lim1-11-=3n2i-1limfnnn3 分割分割以曲代直以曲代直作和作和逼近逼近在在“近似代替近似代替”中，如果认为函数中，如果认为函数 在在区间区间 上的值近似地等于右上的值近似地等于右端点端点 处的函数值处的函数值 ，用这种方法能求出，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是的值吗？若能求出，这个值也是 吗？取吗？取任意任意 处的函数值处的函数值 作为近似值，作为近似值，情况又怎样？情况又怎样？i-1i,i=1,2,nnn 2f x=xinifnii-1i,nn if 13探究！探究！p
8、42练习：练习：求直线求直线x=0 x=0,x=2,y=0,x=2,y=0与曲线与曲线y=xy=x2 2所围成的曲所围成的曲边梯形的面积边梯形的面积小结小结求由连续曲线求由连续曲线y f(x)围成的围成的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法（1 1）分割分割（2 2）近似代替近似代替（4 4）取极限取极限n（3 3）求和求和1.当当n很大时，函数很大时，函数 在区间在区间 上的值，可以用上的值，可以用()近似代替近似代替 A.B.C.D.2)(xxfnini,1C)1(nf)2(nf)(nif 0f练 习2、在、在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(x)在区间在区间 上的近似值等于（上的近
9、似值等于（）A.只能是左端点的函数值只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确以上答案均不正确)(ixf)(1ixf),)(1iiiixxfC1,iixx练 习1、分割；、分割；2、近似代替；、近似代替；3、求和；、求和；4、取极限、取极限 用用黄色部分的面积黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积，当曲来代替曲边梯形的面积，当曲边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近曲边梯形的面积曲边梯形的面积.复习：如何求曲边梯形的面积？复习：如何求曲边梯形
10、的面积？以直代曲以直代曲1,iinn在区间上的左端点和右端点的函数值来计算有和区别从小于曲边梯形的面积从小于曲边梯形的面积来无限逼近来无限逼近从大于曲边梯形的面积从大于曲边梯形的面积来无限逼近来无限逼近1、分割 将区间等分成 n 个小区间2、以直代曲 对于区间i-1n,1n 作和 S=s1+s2+n=i 复习复习利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题反之，如果间的关系，求物体运动速度”的问题反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？间内经过的路程呢
11、？引入引入探究思考nnSS lim结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程行驶的路程s和由直线和由直线t=0，t=1,v=0和曲线和曲线 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？所围成的曲边梯形的面积有什么关系？2v(t)=-t+2如果汽车做变速直线运动，在时刻如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速的速度为度为 (t的单位：的单位：h，v的单位：的单位：km/h)，那么它在，那么它在 这段时间内行这段时间内行驶的路程驶的路程s（单位：（单位：km）是多少？）是多少？2v(t)=-t+20t1 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程在时间区间在时间区间0,1上
12、等间隔地插入上等间隔地插入n-1个分点，将它等分成个分点，将它等分成n个小区间：个小区间：112n-10,1nnnn 记第记第i i个区间为个区间为 ，其，其长度为：长度为：i-1 i,i=1,2,nnnii-11t=-=nnn2 2v v=-t t+2 2xoya.把汽车在时间段把汽车在时间段 上行驶的路程分别记作：上行驶的路程分别记作：112n-10,1nnnn12nS,S,S 显然有显然有nii=1S=S当当n很大，即很大，即 很小时，在区间很小时，在区间 上，函数上，函数 的变化值很小，的变化值很小，近似地等于一个常数近似地等于一个常数.从物理意义上看，就是汽车在时间从物理意义上看，就
13、是汽车在时间段段 上的速度变化上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻很小，不妨认为它近似地以时刻 处的速度作处的速度作匀速行驶匀速行驶.i-1i,nnt2v(t)=-t+2i-1ni-1i,i=1,2,nnn2ii2i-1i-11s=s=vt=-+2nnni-112=-+i=1,2,nnnn在区间在区间 上，近似地认为速度为上，近似地认为速度为即在局部小范围内即在局部小范围内“以匀速代变速以匀速代变速”.i-1i,nn2i-1i-1v=-+2nn 由近似代替求得：由近似代替求得：2nnnii=1i=122233ni=122i-112-+nnn111n-11-0-i-1ss=s=v tn=1=
14、-1+2+n-1+2n1(n-1)n(2 n-1)=-+2nn+2n6111=-1-1n-+232 nnnnnnnni=1n1i-1s=lims=limvnn1115=lim-1-1-+2=3n2n3当当n趋向于无穷大，即趋向于无穷大，即 趋向于趋向于0时，时，趋向于趋向于s，从而有，从而有n111s=-1-1-+23n2nt一般地，如果物体做变速直线运动，速度函一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为数为 vv t，那么我们也可以采用分割、近似代，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它
15、在的方法及无限逼近的思想，求出它在a atb b内内所作的位移所作的位移S 结论结论普通高中课程标准实验教材选修普通高中课程标准实验教材选修2-2从求曲边梯形面积以及变速直线运动路程的过从求曲边梯形面积以及变速直线运动路程的过程可知，它们都可以通过程可知，它们都可以通过“四步曲四步曲”：分割、分割、近似代替、求和、取极限近似代替、求和、取极限得到解决，且都可以得到解决，且都可以归结为求一个特定形式和的极限归结为求一个特定形式和的极限.曲边梯形面积变速直线运动路程niinniixfnxfS110)(1lim)(limniinniitvntvS110)(1lim)(lim复习复习一、定积分的概念一
16、、定积分的概念bxxxxxabaxfnii110上连续，用分点，）在区间（一般地，如果函数，）（）（），作和式，（上任取一点，间个小区间，在每个小区等分成，将区间niniiiiiifnabxfnixxnba11121.上的定积分，）在区间（叫做函数某个常数，这个常数时，上述和式无限接近当baxfn.lim1niinbabafnabdxxfdxxf）（）（，即）（记作概念概念定积分的定义：定积分的相关名称：定积分的相关名称：叫做积分号，叫做积分号，f(x)叫做被积函数，叫做被积函数，f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式，x 叫做积分变量，叫做积分变量，a 叫做积分下限，叫做积分下限，b
17、叫做积分上限，叫做积分上限，a,b 叫做积分区间。叫做积分区间。1()lim()ninibaf x dxfnba即Oabxy)(xfy Sbaf(x)dx；按定积分的定义，有 (1)由连续曲线yf(x)(f(x)0)，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间a,b内运动的距离s为 sbav(t)dt。Oab()vv ttv定积分的定义：1()lim()ninibaf x dxfnba即112001()3Sf x dxx dx根据定积分的定义右边图形的面积为1xyOf(x)=x213S 1SD2SD2()2v tt=-+O Ovt t12g
18、ggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD112005()(2)3Sv t dttdt 根据定积分的定义左边图形的面积为正确理解定积分的概念正确理解定积分的概念(),dt();()()()bbbaaaf x dxf u duf t (1)定积分是一个数值 极限值 它的值仅仅取决于被积函数与积分的上下限 而与积分变量用什么字母表示无关 即称为积分形式的不变性 120320a,b,.()()(1)(1)baf x d xxdxxdx (2)定积分与积分区间息息相关 不同的积分区间定积分的积分限不同 所得的值也就不同 例如与的值就不同1lim.nbianibaf xdxfn（）（）（
19、3 3）.规定：规定：abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxf二、定积分的几何意义：二、定积分的几何意义：Oxyabyf(x)baf(x)dx f(x)dxf(x)dx。xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f(x)、特别地，当 ab 时，有baf(x)dx0。当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形位于 x轴的下方，xyOdxxfSba)(，dxxfba)(abyf(x)yf(x)dxxfSba)(baf(x)dx f(x)dxf(x)dx。S上述曲边梯形面积的负值。积分baf(x)dx 在几何
20、上表示 baf(x)dx f(x)dxf(x)dx。Soabxyy=f(x)y=f(x)探究根据定积分的几何根据定积分的几何意义，你能用定积意义，你能用定积分表示图中阴影部分表示图中阴影部分的面积吗？分的面积吗？12()()bbaaSf x dxfx dx探究探究课本课本P46三三:定积分的基本性质定积分的基本性质性质性质1.1.dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性质性质2.2.badx)x(kf badx)x(fk 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质性质3.3.2121 ccbccabadx
21、)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOxyabyf(x)性质性质 3不论不论a，b，c的相对位置如何都有的相对位置如何都有aby=f(x)baf(x)dx f(x)dxf(x)dx。f(x)dx f(x)dxf(x)dx。f(x)dx f(x)dxbcf(x)dx。cOxybaf(x)dx f(x)dxf(x)dx。130.x dx利用定积分的定义，计算的值例1:3f xx解：令 在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个分点，把区间个分点，把区间0,1等分成等分成n个小区间个小区间 每个小区每个小区间的长度为间的长度为i-1 i,i=1,2,nin（）ii-11x=-=n
22、nn(1)分割分割例题例题（2）近似代替，作和）近似代替，作和1n3nnn133n40i=1i=1i=12224ii1x dxS=fx=innn1111 =nn+1=1+n44n213n0nn111x dx=lim S=lim1+=4n4（3）取极限）取极限ii=(i=1,2,n)n取，例例1:用定积分表示下列阴影部分的面积用定积分表示下列阴影部分的面积.(1)S=_.4sinxdx题型一题型一 利用定积分表示曲边梯形的面积利用定积分表示曲边梯形的面积(2)S=_.2242xdx(3)S=_.94()x dx例例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义，可得阴
23、影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（,0)(0)(12xfaxxf解：解：20aAx dx0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（,0)(21)(22xfxxf解：解：221Ax dx0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（,0)(1)(3xfbaxf解：解：baAdx0000ayxy
24、xyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义，上，在上，上连续，且在，在）在图中，被积函数（0)(20,0)(01211)1()(42xfxfxxf解：解：022210(1)1(1)1Axdxxdx0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1题型二题型二 利用定积分的几何意义求定积分利用定积分的几何意义求定积分例例3:利用定积分的几何意义利用定积分的几何意义,求下列各式的值求下列各式的值.222(1)4;x dx分析分析:定积分定积分 的几何意
25、义是的几何意义是:介于直线介于直线x=a,x=b,x轴及轴及y=f(x)所围成图形面积的代数和所围成图形面积的代数和,其中其中x轴上方部分为正轴上方部分为正,x轴下方部分为负轴下方部分为负.()baf x dx 222:1y,xy4 y,40.x解由知其图象如下图被积函数的曲线是圆心在原点被积函数的曲线是圆心在原点,半径为半径为2的半圆的半圆,由定积分的几何意义知由定积分的几何意义知,此定积分为半圆的面积此定积分为半圆的面积,所以所以2222242.2x dx22(2);sinxdx解：解：所以并有上，在上，上连续，且在，在在右图中，被积函数,0sin20,0sin0222sin)(21AAx
26、xxxf2212()0f x dxAA222A1Axyf(x)=sinx1-1例例3:利用定积分的几何意义利用定积分的几何意义,求下列各式的值求下列各式的值.22(2);sinxdx1.利用定积分的几何意义，判断下列定积分利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。值的正、负号。20sin xdx221x dx2.利用定积分的几何意义，说明下列各式成立：利用定积分的几何意义，说明下列各式成立：20sin0 xdx200sin2sinxdxxdx1）2）.1）2）.练习练习：3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0yxy=x2120 xy=f(
27、x)y=g(x)aby练习练习4（2）:1201x dx计算积分义义知知，该该积积分分值值等等于于解解：由由定定积积分分的的几几何何意意的的面面积积（见见下下图图）所所围围及及轴轴，曲曲线线10,12 xxxxyx1y面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的4141102 dxx所以所以 ,f x(2)a,b,x,x,x,x,f xxa,xb(ab);f x,a,bf x(),|()|()|()|()|abbbaababaf x dxf xdxf x dxf x dxf xdx与在几何意义上有不同的含义绝不能等同看待由于被积函数在闭区间上可正可负也就是它的图象可以在 轴上方 也可以在 轴下方 还可
28、以在轴的上下两侧 所以表示由 轴 函数的曲线及直线之间各部分面积的代数和 而是非负的所以表示在区间上所有以|()|(;.),bbaaf x dxf x dx为曲边的正曲边梯形的面积 而则是的绝对值三者的值在一般情况下是不相同的正确理解定积分的概念几何意义正确理解定积分的概念几何意义 衔接高考：衔接高考：（2009广东（理）广东（理）8已知甲、乙两车由同一起点同时出已知甲、乙两车由同一起点同时出发发,并沿同一路线（假定为直线）行并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为驶甲车、乙车的速度曲线分别为 和和 （如图（如图2所示）那么对于图中所示）那么对于图中给定的给定的 和和 ，下列判
29、断中一定，下列判断中一定正确的是正确的是v甲v乙0t1txy0t1tv甲v乙lA.在在 时刻，甲车在乙车前面时刻，甲车在乙车前面 lB.时刻后，甲车在乙车后面时刻后，甲车在乙车后面lC.在在 时刻，两车的位置相同时刻，两车的位置相同lD.时刻后，乙车在甲车前面时刻后，乙车在甲车前面1t1t0t0tA.求曲线下方求曲线下方“曲边梯形曲边梯形”的面积和变的面积和变速直线运动的位移问题的一般步骤速直线运动的位移问题的一般步骤：小结：小结：.讨论问题常用一般到特殊再到一般的方法讨论问题常用一般到特殊再到一般的方法.以直代曲在近似计算中的应用以直代曲在近似计算中的应用.极限思想的初步运用极限思想的初步运
30、用分割分割以直代曲以直代曲作和作和逼近逼近5.5.定积分是一个特定形式和的极限，其定积分是一个特定形式和的极限，其几何意义是曲边梯形的面积，定积分的几何意义是曲边梯形的面积，定积分的值由被积函数，积分上限和下限所确定值由被积函数，积分上限和下限所确定.6.6.在实际问题中，定积分可以表示面积、在实际问题中，定积分可以表示面积、体积、路程、功等等，求定积分的值目体积、路程、功等等，求定积分的值目前有定义法和几何法两种，有时利用定前有定义法和几何法两种，有时利用定积分的性质进行计算，能简化解题过程积分的性质进行计算，能简化解题过程.作业：作业：P50P50习题习题1.5A1.5A组：组：3 3，5.5.
