1、人教版八年级数学上册课题学习最短路径问题我们以前学过哪些线段最短的问题？我们以前学过哪些线段最短的问题？1.1.两点间线段最短；两点间线段最短；2.2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。垂线段最短。通常把以上两个问题称为通常把以上两个问题称为“最短路径问题最短路径问题”，今天，我们来学习新的最短路径问题！今天，我们来学习新的最短路径问题！一、饮马问题一、饮马问题 如图，牧马人从如图，牧马人从马棚马棚A牵马到牵马到河边河边 l 饮水，然饮水，然后再到帐蓬后再到帐蓬B问：在河问：在河边的什么地方饮水，可边的什么地方饮水，可使 所 走 的 路
2、 径 最 短？使 所 走 的 路 径 最 短？分析：分析：将将A A，B B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l l 抽象为抽象为一条直线设一条直线设 C C 为直线上的一个动点，上面的问为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点题就转化为：当点C C 在直线在直线 l l 的什么位置时，的什么位置时，AC AC+CB CB 的和最小？的和最小？lABCC转化为数学问题转化为数学问题 联想联想 如图所示，点如图所示，点A A、B B分别是直线分别是直线l l异侧的两个点，异侧的两个点，如何在如何在l l上找到一个点，使得这个点到点上找到一个点，使得这个点到点A A，点，点B B的
3、的距离的和最短？距离的和最短？两点之间，线段最短两点之间，线段最短.连接连接ABAB，与直，与直线线l l相交于一点，这相交于一点，这个交点即为所求个交点即为所求.B Bl lA A思考：思考：能把能把A A、B B两点从直线两点从直线 l l 的同侧转化为异侧吗？的同侧转化为异侧吗？分析：分析：lABClABC作法及思路分析作法及思路分析1.1.作点作点 B B 关于直线关于直线 l l 的对称点的对称点 B B ，连接，连接CBCB。3.3.连接连接ABAB两点，线段两点，线段ABAB与直线与直线 l l 的交点的交点C C 的位的位置即为所求。置即为所求。2.2.由上步可知由上步可知 A
4、C AC+CB CB=AC AC+CBCB，即即把把A A、B B 两两点从直线点从直线 l l 的同侧转化为异侧。的同侧转化为异侧。BlABC证明：证明：如图，在直线如图，在直线l l 上任取上任取一点一点C C（与点（与点C C 不重合），连不重合），连接接ACAC，BCBC，B BC C由轴对称的性质知，由轴对称的性质知，BC BC=B BC C，BCBC=B BC CAC AC+BCBC=AC AC+BC BC=AB AB，ACAC+BC BC=AC AC+BCBC在在ABCABC中，中，ABAB ACAC+BCBC，AC AC+BC BC ACAC+BCBC即即AC AC+BC BC
5、 最短最短你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC AC+BC BC 最短吗？最短吗？归纳归纳lABClABCBlABC转化为数学问题转化为数学问题用旧知解决新知用旧知解决新知联想旧知联想旧知解决实解决实际问题际问题提示：提示：本题也可作本题也可作A A点关于直线点关于直线l l的对称点的对称点变式练习变式练习1如图，如图，牧马人牧马人要把马要把马从马棚从马棚A牵牵到草地边吃草，然后到草地边吃草，然后到河边饮水，最后再回到马棚到河边饮水，最后再回到马棚A.问题：请你确定这一过程的最短路径问题：请你确定这一过程的最短路径.草 地小 河A如图，在如图，在l1、l2之间有一点之间有一点A,要使要
6、使AM+MN+NA最小最小,点点M、N应该应该在在 l1、l2的什么位置的什么位置?l1l2AMNAA转化为数学问题转化为数学问题分别做点分别做点A关于关于l1、l2的的对称点对称点A、A，连接，连接A、A与与l1、l2的交点的交点M、N即为所求。即为所求。变式练习变式练习2 2如图：某一天牧马人要从马棚如图：某一天牧马人要从马棚A A牵出马到草地边吃牵出马到草地边吃草，再到河边饮水，最后回到帐篷草，再到河边饮水，最后回到帐篷B B，请你帮他确，请你帮他确定这一天的最短路线。定这一天的最短路线。如图，在如图，在l1、l2之间有点之间有点A、B,要使要使AP+PQ+QB最小最小,点点P、Q应该应
7、该在在 l1、l2的什么位置的什么位置?转化为数学问题转化为数学问题分别做点分别做点A、B关于关于l1、l2的对称点的对称点A、B，连，连接接A、B与与l1、l2的交的交点点P、Q即为所求。即为所求。PQABBl1l2A(3)两点在两相交两点在两相交直线内部直线内部2.关键：关键：作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，从而利用作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，从而利用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”来解决。来解决。(2)一点在两相一点在两相交直线内部交直线内部(1)两点在一条两点在一条直线同侧直线同侧l1l2l1l21.学了三种情况下的最短路径问题学了三种情况下的最短路径问题 如图
8、所示，如图所示，A A 和和B B 两两地在一条河的两岸，现要地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥在河上造一座桥MNMN，桥造，桥造在何处可使从在何处可使从A A 到到B B 的路的路径径AMNBAMNB最短？（假定河的最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要两岸是平行的直线，桥要与河垂直与河垂直.）二、造桥选址问题二、造桥选址问题当点当点N N在直线在直线b b的什么位置时，的什么位置时，AM AM+MN MN+NBNB最小？最小？由于河岸宽度是固定的，因此当由于河岸宽度是固定的，因此当 AM AM+NB NB 最小最小时，时，AM AM+MN MN+NBNB最小最小.将将AM AM 沿与河岸
9、垂直的方向平移，点沿与河岸垂直的方向平移，点M M移到点移到点N N，点点A A移到点移到点AA，则，则AA AA=MNMN，AM+NB=AN AM+NB=AN+NB+NB.这样问题就转化为：当点这样问题就转化为：当点N N在直线在直线b b的什的什么位置时，么位置时，ANAN+NBNB最小？最小？连接连接ABAB与与b b相交于相交于N N，N N点即为所求点即为所求.1.1.作图在直线作图在直线l l上找一点上找一点C C，使，使AC+BCAC+BC最小最小.AB(1).2.2.如图，已知牧马营地在如图，已知牧马营地在P P处，每天牧马人要赶着处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草
10、地吃草，然后回到马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.解：解：如图如图AP+ABAP+AB即为即为最短的放牧路线最短的放牧路线.3.3.如图，如图，M M、N N分别是分别是ABCABC的边的边ABAB、ACAC上的点，上的点，在边在边BCBC上求作一点上求作一点P P，使，使PMNPMN的周长最小的周长最小.解：解：如图如图，作点作点M M关于关于BCBC的对称点的对称点M M，连接，连接M MN N，交，交BCBC于点于点P P，则，则PMNPMN的周长最小的周长最小.4.4.如图，已知直线如图，已知直线MNMN与与MNMN异侧两点异侧两点A A、B B，在，在MNMN上上求作一点求作一点P P，使，使PA-PBPA-PB最大，请说明理由最大，请说明理由.解：解：如图，作如图，作B B点关于点关于MNMN的对称点的对称点B B，连接，连接ABAB并并延长，交延长，交MNMN于点于点P P，点，点P P即为所求即为所求.理由：点理由：点A A，B B，P P在同一条直线上时，在同一条直线上时，PA-PBPA-PB最大，即最大，即PA-PBPA-PB最大最大.
