1、逆命题与逆定理逆命题与逆定理回回 顾顾1、命题的概念：、命题的概念：可以判断正确或错误的可以判断正确或错误的句子叫做命题句子叫做命题.2、命题都有两部分：、命题都有两部分：题设题设和和结论结论例如：两直线平行，内错角相等；例如：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；都是命题内错角相等，两直线平行；都是命题.注意：问句和几何作法不是命题！注意：问句和几何作法不是命题！我能行我能行观察上面三组命题，你发现了什么？观察上面三组命题，你发现了什么？1、两直线平行，内错角相等；、两直线平行，内错角相等；3、如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧、如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；4、如果小明发烧
2、，那么他一定患了肺炎；、如果小明发烧，那么他一定患了肺炎；2、内错角相等，两直线平行；、内错角相等，两直线平行；5、平行四边形的对角线互相平分；、平行四边形的对角线互相平分；6、对角线互相平分的四边形是平行四边形、对角线互相平分的四边形是平行四边形.说出下列命题的题设和结论：说出下列命题的题设和结论：一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设题设是第二个命题的是第二个命题的结论结论，而第一个命题的，而第一个命题的结论结论是第二是第二个命题的个命题的题设题设，那么这两个命题叫做，那么这两个命题叫做互逆命题互逆命题.如果把其中一个命题叫做如果把其中一个命题
3、叫做原原命题命题，那么另一个，那么另一个命题叫做它的命题叫做它的逆逆命题命题.上面两个命题的上面两个命题的题设题设和和结论结论恰好恰好互换互换了位置了位置命题命题“两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等”的的题设为题设为两直线平行两直线平行；结论为结论为内错角相等内错角相等因此它的逆命题为因此它的逆命题为 内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行.练习练习1：指出下列命题的题设和结论，并说出它：指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题们的逆命题.1、如果一个三角形是直角三角形，那么它的、如果一个三角形是直角三角形，那么它的 两个锐角互余两个锐角互余.题设：一个三角形是直角三角形题
4、设：一个三角形是直角三角形.结论：它的两个锐角互余结论：它的两个锐角互余.逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.2、等边三角形的每个角都等于、等边三角形的每个角都等于60题设：一个三角形是等边三角形题设：一个三角形是等边三角形.结论：它的每个角都等于结论：它的每个角都等于60逆命题：如果一个三角形的每个角都等于逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60，那么这个三角形是等边三角形那么这个三角形是等边三角形.3、全等三角形的对应角相等、全等三角形的对应角相等.题设：两个三角形是全等三角形题设：两个三角形是全
5、等三角形.结论：它们的对应角相等结论：它们的对应角相等.逆命题：如果两个三角形的对应角相等，逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等那么这两个三角形全等.4、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 平分线上平分线上.题设：一个点到一个角的两边距离相等题设：一个点到一个角的两边距离相等.结论：它在这个角的平分线上结论：它在这个角的平分线上.逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.5、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个 端点的距离相等端点的距离相等.题设：一
6、个点在一条线段的垂直平分线上题设：一个点在一条线段的垂直平分线上.结论：它到这条线段的两个端点的距离相等结论：它到这条线段的两个端点的距离相等.逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上.每一个命题都有逆命题，只要将原每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命成题设，便可得到原命题的逆命题题但是原命题正确，它的逆命题但是原命题正确，它的逆命题未必正确未必正确例如真命题例如真命题“对顶角相对顶角相等等”的逆命题为的逆命题为“相等的角
7、是对顶相等的角是对顶角角”，此命题就是假命题，此命题就是假命题 练习练习2、举例说明下列命题的逆命题是假命题、举例说明下列命题的逆命题是假命题.（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等）如果两个角都是直角，那么这两个角相等.逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.例如例如10能能5整除，但它的个位数是整除，但它的个位数是0.（1）如果一个整数的个位数字是）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整，那么这个整数数 能被能被5整除整除.逆命题：如果一个整数能被逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数整除，那么这个整数的个位数字是的个位数字是5.例如
8、例如60=60，但这两个角不是直角，但这两个角不是直角.如果一个定理的逆命题也是定理，那么如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做这两个定理叫做互逆定理互逆定理.注意注意1：逆命题、互逆命题：逆命题、互逆命题不一定是不一定是真命题，真命题，但但逆定理、互逆定理，一定是真命题逆定理、互逆定理，一定是真命题注意注意2：不是所有的定理都有逆定理：不是所有的定理都有逆定理其中的一个定理叫做另一个定理的其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理逆定理.我们已经知道命题我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等”和它的逆和它的逆命题命题“内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行”
9、都是定理，因此它们就都是定理，因此它们就是是互逆定理互逆定理一个假命题的逆命题一个假命题的逆命题可以是可以是真命题，甚至可以是定理例真命题，甚至可以是定理例如如“相等的角是对顶角相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题是假命题，但它的逆命题“对顶对顶角相等角相等”是真命题，且是定理是真命题，且是定理练习练习3：在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明真命题？试举出几个例子说明.例如：例如：1、同旁内角互补，两直线平行、同旁内角互补，两直线平行.逆命题：两直线平行，同旁内角互补逆命题：两直线平行，同旁内角互补.真真2、有两个角相等的三
10、角形是等腰三角形、有两个角相等的三角形是等腰三角形.逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等有两个角相等.真真补充练习：说出下列命题的逆命题，并判定逆命补充练习：说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：题的真假：既是中心对称，又是轴对称的图形是圆既是中心对称，又是轴对称的图形是圆.有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具通工具.逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形真命
11、题真命题逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等真命题真命题逆命题：高速行驶时，不接触地面的交通工具是磁悬浮逆命题：高速行驶时，不接触地面的交通工具是磁悬浮列车列车假命题假命题这节课我们学到了什么？这节课我们学到了什么？逆命题、逆定理的概念逆命题、逆定理的概念.能写出一个命题的逆命题能写出一个命题的逆命题.在证明假命题时会用举反例说明在证明假命题时会用举反例说明.1、写出下列命题的逆命题，并判断它是真是假、写出下列命题的逆命题，并判断它是真是假.(1)如果如果x=y，那么，那么x2=y2；(2)如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另如果一个三角形有一个
12、角是钝角，那么它的另外两个角是锐角；外两个角是锐角；(二二)线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的点到这条线段两线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等个端点的距离相等.定理定理:到一条线段的两个端点的距离相到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等的点，在这条线段的垂直平分线上.求证求证:三角形三边的垂直平分线交于一点三角形三边的垂直平分线交于一点.AFEDCBGNM已知已知:ABC中，中，DE、FG、MN分别是三边的垂直分别是三边的垂直平分线平分线.求证求证:DE、FG、MN交于一点交于一点.已知已知:ABC中，中，D为为BC的
13、中点，的中点，DEBC交交BAC的平分线的平分线AE于于E，EFAB于于F，EGAC交交AC的延长线于的延长线于G.求证求证:BF=CG.AFEDCBG已知已知:ABC中，中，AD是它的角平分线，是它的角平分线，D为为BC的的中点，中点，DEAB于于E，DFAC于于F，.求证求证:BE=CF.AFEDCB已知已知:在等边在等边ABC中，中，B、C的平分线交于的平分线交于O点，点，OB的垂直平分线交的垂直平分线交BC于于E，OC的垂直平的垂直平分线交分线交BC于于F.求证求证:BE=EF=CF.AFEOCB如图，有一内地城市如图，有一内地城市A和两个沿海城市和两个沿海城市B和和C，现决定在三个城
14、市间建一个机场，使得机场到现决定在三个城市间建一个机场，使得机场到A和和B两城市的距离相等，而且使两城市的距离相等，而且使C市到机场的距市到机场的距离最近，试确定机场的位置离最近，试确定机场的位置.ABC如图，已知点如图，已知点A、B和直线和直线l，在直线，在直线l上求作上求作一点一点P，使，使PA=PB.lAB解：如图，连接解：如图，连接AB，作，作线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线l1，交直线交直线l于点于点P，连接，连接PA、PB，则，则PA=PB.Pl1角平分线的性质是什么角平分线的性质是什么 用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片
15、展开，你看到边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？了什么？角平分线上的点到这个角的两边角平分线上的点到这个角的两边的距离相等的距离相等回顾回顾 思考思考？角平分线的这条性角平分线的这条性质是怎样得到的呢？质是怎样得到的呢？开启智慧开启智慧w定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等.w如图，已知如图，已知:OC:OC是是AOBAOB的的平分线，平分线，P P是是OCOC上任意一点上任意一点，PDOAPDOA，PEOBPEOB，垂足，垂足分别是分别是D D，E.E.w求证求证:PD=PE(:PD=PE(平分线上的平分线上的点到这个角的两角边距离点到这个
16、角的两角边距离相等相等).).COB1A2PDE 证明证明:因为因为PDPDOAOA，PEPEOBOB（已知），（已知），所以所以PDOPDOPEOPEO9090（垂直的定义）（垂直的定义）OCB1A2PDE在在PDO和和PEO中，因为中，因为DOPEOP（已知），（已知），PDOPEO（已证），（已证），POPO（公共边），（公共边），PDO PEO(A.A.S)PD=PE于是就有定理：于是就有定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相角平分线上的点到这个角的两边的距离相等等问问答答 ：1 1、如如图图，在，在RtABC 中，中，ABCDEAB，垂足，垂足为为E，EDE与与DC 相等相等吗吗
17、？D答：答：DE=DC.BD BD是是ABCABC的平分线（的平分线（D D在在ABCABC的平分线上）的平分线上）又又 DEBA，垂足，垂足为为E，DE=DC.为为什么？什么？DCBC，垂足为，垂足为C，反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？一定在这个角的平分线上呢？已知：如图，已知：如图，PDPDOAOA，PEPEOBOB，点点D D、E E为垂足，为垂足，PDPDPEPE求证：点求证：点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上OCB1A2PDE证明：证明：PDOA，PEOB，点，点D、E为垂足，为垂足，在在Rt PDO
18、 与与Rt PEO中中PDO=PEO=Rt PD=PE（已知）（已知）OP=OP（公共边）（公共边）RtPDO PDO1=2 即点即点P在在AOB的平分线上的平分线上于是就有定理：于是就有定理：角的内部到角两边距角的内部到角两边距离相等的点在角的平离相等的点在角的平分线上分线上.命题命题:三角形三个角的平分线相交于一点三角形三个角的平分线相交于一点.如图，设如图，设ABC的角平分线的角平分线BM，CN相交于点相交于点P，过点，过点P分别作分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是的垂线，垂足分别是E，F，D.BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上，ABC的三条角平分线相交于一点
19、的三条角平分线相交于一点P.w基本想法基本想法:我们知道，两条直线相交我们知道，两条直线相交只有一个交点只有一个交点.要想证明三条直线相交要想证明三条直线相交于一点，只要能证明两条直线的交点于一点，只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可在第三条直线上即可.这时可以考虑前这时可以考虑前面刚刚学习的内容面刚刚学习的内容.ABCPMNDEFPD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理，同理，PE=PF.PD=PF.点点P在在BAC的平分线上的平分线上(在一个角的内部，且到角在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上的两边距离相等的
20、点，在这个角的平分线上).1、1=2，DCAC，DEAB _(_)ACDEB12DC=DE角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等2、判断题、判断题（）如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知）BD =DC ，()ADCB角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的距离相等两边的距离相等练习练习1 如图，在直线如图，在直线l上找出一点上找出一点P，使得点，使得点P到到AOB的两边的两边OA、OB的距离相等的距离相等 提示：作提示：作AOB的平分线，交直的平分线，交直线线l于于P就是所求的点就是所求的点练习练习2.2.如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的的平分线相交于点平分线相交于点F F，求证：点求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上 GHP证明：作证明：作FGAE于于G.FHAD于于HFPCB于于P，作射线，作射线OF CF平分平分ECB FG=FP(角平分线上的点到角平分线上的点到角角两边距离相等两边距离相等)同理可证同理可证:FH=FP FG=FH点点F在在EOD的平分线上的平分线上(到角两到角两边距离相等的点在这个角的平分线边距离相等的点在这个角的平分线上上)
