1、 设设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，对集合对集合A中的中的任意一个数任意一个数x，在集合，在集合B中都有中都有唯一唯一确定的数确定的数 f(x)和它对应，那么就称和它对应，那么就称f：AB为从集合为从集合A到到B的一个函数。的一个函数。其中其中x叫做自变量，叫做自变量，x的取值范围的取值范围A叫做函数叫做函数定义域定义域。与与x的值相对应的的值相对应的y的值叫函数值，的值叫函数值，函数值的集合函数值的集合f(x)|x A叫做函数的叫做函数的值域值域。记作记作y=f(x),xy=f(x),x A A 一、知识回顾一、知识回顾 在函数的三要素
2、中，对应法则是函数的核心，定义域是函在函数的三要素中，对应法则是函数的核心，定义域是函数的重要组成部分，定义域和对应法则一经确定，值域就随数的重要组成部分，定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定，因此，之确定，因此，求函数的值域，要注意考虑函数的定义求函数的值域，要注意考虑函数的定义 域域。本节将通过具体例子讲授函数值域的求法本节将通过具体例子讲授函数值域的求法二、新课讲解二、新课讲解 1、观察法：、观察法：总结总结：观察法就是利用常见函数的值域来求函数的值域：观察法就是利用常见函数的值域来求函数的值域.例例1.1.求下列函数的值域：求下列函数的值域：（1 1）（2 2）32(11)yxx
3、24yx解：解：(1)11,3331325,15xxxy 1,5所以函数的值域为：所以函数的值域为：(2)40242xx2,所以函数的值域为：所以函数的值域为：2、配方法：、配方法：3 2 1-1-2-3 6 5 4 3 2 1-1-2 x O y（2，3）总结总结：配方法是求：配方法是求“二次函数类二次函数类”值域的基本方法，值域的基本方法，一般是根据函数所给一般是根据函数所给x的取值范围结合函数的取值范围结合函数 的图象求得函数的值域的图象求得函数的值域.例例2.2.已知函数已知函数 ，求它在下列区间的值域，求它在下列区间的值域241yxx(1)xR(2)3,4(3)0,140,5(1)3
4、,(2)2,1(4)3,6223yx解：解：(3)2,1练习：求函数练习：求函数 的值域的值域245yxx已知函数已知函数223yxx分别求它在下列区间上的值域分别求它在下列区间上的值域 4,)3,)4,50,5(1)(1)xR(2)(2)0,)x(3)(3)2,2x(4)(4)1,2x练习练习3、换元法、换元法总结总结：换元法就是用：换元法就是用“换元换元”的方法，将所给函数化成值域的方法，将所给函数化成值域 容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.所以函数的值域为所以函数的值域为例例3.3.求函数求函数 的值域的值域24 1yxx解：设解：设 ，则
5、，则10txt21xt 代入原函数得：代入原函数得：整理得：整理得：22 14ytt222422(1)4yttt 4y,4所以函数的值域为所以函数的值域为代入原函代入原函数得：数得：整理得：整理得：22 14ytt222422(1)4yttt 4y,4练习：练习：1(,2 求函数求函数 的值域的值域12yxx4、分离常数法、分离常数法例例4.4.求函数求函数 的值域的值域2-x45xy2-x1452-x142)-5(xy 02-x14 2x 解：解：5y 52-x145即即5y|y 所以函数的值域为所以函数的值域为cay|ybc)ad0,(cdcxbaxy总结：总结：形如形如 的值域为的值域为
6、函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件练习：练习：求下列函数的值域：求下列函数的值域：37x1-5xy32x5-3xy66522xxxxy函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件5 5、反解法：、反解法：1x1-xy221-yy-1-x y-11)x-(y22 即即1y-101-yy-
7、1-0 x2 总结：总结：利用已知函数的值域求未知函数的值域利用已知函数的值域求未知函数的值域例例5.5.求函数求函数 的值域的值域1-xyyx22解：原函数整理为：解：原函数整理为：），1 1所以函数的值域为所以函数的值域为1x1-xy22例例5.5.求函数求函数 的值域的值域函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件练习：练习：的的值值域域求求函函数数1-x23xy ),21(,-3(-函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版
8、高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件6、判别式法、判别式法 例例6 6、求函数、求函数y=y=1122xxxx的值域的值域解：解：04343)21(122 xxx，函数的定义域为函数的定义域为R R，原式可化为：，原式可化为：1)1(22xxxxy整理得整理得2(1)(1)10yxyxy（1 1）若）若y=1,y=1,即即2x=0,2x=0,则则x=0 x=0；0R x1,y2 ）若）若（1y3,y31 解得：解得：综上：函数是值域是综上：函数是值域是 331，函数的值域函数的值域【新教
9、材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件判别式法一般用于分式函数，其定义域应为判别式法一般用于分式函数，其定义域应为R R，其分子或分母为二次式其分子或分母为二次式.总结总结:的的值值。求求实实数数，的的值值域域是是若若函函数数ba,411xbaxf(x)2 3b 4,a 练习：练习：函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必
10、修第一册课件7 7、图象法、图象法例例7 7、求函数、求函数y=|x+1|+|x-2|y=|x+1|+|x-2|的值域的值域.解：将函数化为分段函数形式：解：将函数化为分段函数形式：)2(12 )21(3 )1(12xxxxxy 2-1 3 x O y由图象可知，函数的值域是由图象可知，函数的值域是3 3 ，）采用采用“数形结合数形结合”，利用，利用直观图形求解的一种方法直观图形求解的一种方法.总结：总结：图象法（几何法）图象法（几何法）函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学
11、必修第一册课件版高中数学必修第一册课件的的值值域域。求求函函数数三三个个函函数数中中的的最最小小值值，是是已已知知函函数数f(x)x-2y,21x41y1,xyf(x)练习：练习：，（54 函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件二次函数二次函数0
12、)c(abxaxy2 1.开口方向开口方向 a0,开口向上开口向上 a0时，时，x=4ab-4ac2ab2，函函数数有有最最小小值值（2）当）当a0时，时，x=4ab-4ac2ab2，函函数数有有最最大大值值二二、讲授新课、讲授新课函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件2、当、当x在某一范围内的最值在某一范围内的最值 (1)配方法配方法（2）注意开口方向）注意开口方向 （3）注意对称轴的位置）注意对称轴的位置解决问题的思路：解决问题的思路
13、：3x(3)1 0 x2-(2)-2x4-1 5,4x2xf(x)12 ）（最最值值求求下下列列条条件件下下的的函函数数的的、已已知知二二次次函函数数函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件的的值值。求求实实数数，的的最最大大值值是是时时，函函数数，当当、已已知知函函数数 a 2y1x0 214a-ax-xy22 的的值值。求求实实数数，时时，有有最最小小值值当当、已已知知二二次次函函数数 a 2-3x0 3,axxy32 函数的值域函数的
14、值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件的的表表达达式式并并作作出出图图像像。求求出出的的最最小小值值为为函函数数时时，当当、已已知知g(t)g(t),f(x)1txt2,2x-xf(x)52 的的值值。，求求最最大大值值，有有最最小小值值时时，函函数数当当、设设ba,1 1bax-xf(x)1x1-0,a42 函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件函数的值域函数的值域【新教材新教材】人教人教A A版高中数学必修第一册课件版高中数学必修第一册课件
