1、 3.1.3导数的几何意义导数的几何意义先来复习导数的概念先来复习导数的概念 定义定义：设函数：设函数y=f(x)在点在点x0处及其附近有定义处及其附近有定义,当当自变量自变量x在点在点x0处有改变量处有改变量x时函数有相应的改变量时函数有相应的改变量y=f(x0+x)-f(x0).如果当如果当x0 时时,y/x的极限的极限存在存在,这个极限就叫做函数这个极限就叫做函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数(或变化或变化率率)记作记作 即即:,|)(00 xxyxf 或或00000()()()limlim.xxf xxf xyfxxx 瞬时速度就是位移函数瞬时速度就是位移函数s(t)对时间对时间
2、t的导数的导数.是函数是函数f(x)在以在以x0与与x0+x 为端点的区间为端点的区间x0,x0+x(或或x0+x,x0)上的上的平均变化平均变化率率,而导数则是函数而导数则是函数f(x)在点在点x0 处的处的变化率变化率,它反映了函它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度数随自变量变化而变化的快慢程度 xxfxxfxy )()(00 如果函数如果函数y=f(x)在点在点x=x0存在导数存在导数,就说函数就说函数y=f(x)在点在点x0处处可导可导,如果极限不存在如果极限不存在,就说函数就说函数 f(x)在点在点x0处处不可导不可导.0000()()()limxxf xf xfxxx思考一下，
3、导数可以用下式表示吗？由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数的基本方法是的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx 取极限，得导数注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负.自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.下面来看导数的几何意义:y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x
4、)QMxyOxy 如图如图,曲线曲线C是函数是函数y=f(x)的图象的图象,P(x0,y0)是曲线是曲线C上的上的任意一点任意一点,Q(x0+x,y0+y)为为P邻近一点邻近一点,PQ为为C的割线的割线,PM/x轴轴,QM/y轴轴,为为PQ的的倾斜角倾斜角.tan,:xyyMQxMP则则yx请问：是割线PQ的什么?斜率!PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T请看当点请看当点Q沿着曲线逐渐向点沿着曲线逐渐向点P接近时接近时,割线割线PQ绕着绕着点点P逐渐转动的情况逐渐转动的情况.我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ有一个极限位置有一个极限
5、位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲称为曲线在点线在点P处的处的切线切线.设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的的斜率斜率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:00000()()()limlimxxf xxf xykf xxx 切线 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法率的一种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx.2)(2l
6、im)11(1)1(lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:先利用切线斜率先利用切线斜率的定义求出切线的斜率的定义求出切线的斜率,然后然后利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.练习练习:如图已知曲线如图已知曲线 ,求求:(1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率;(2)点点P处的切线方程处的切线方程.)38,2(313Pxy上上一一点点 yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim313
7、1)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：.42|22 xy即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4.(2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.00()()()limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数导函数也简称也简称导数导数000()()()()().yfxxfxfxfxx 函 数在 点处 的 导 数等 于 函 数的 导 函 数在 点处 的 函 数 值 什么是导函数?由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的
8、过程可以看到处求导数的过程可以看到,当当时时,f(x0)是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变化时变化时,便是便是x的一个函数的一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导函数的导函数.即即:如何求函数如何求函数y=f(x)的导数的导数?(1)()();yf xxf x 求函数的增量(2):()();yf xxf xxx 求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim.xyyfxx 求极限，得导函数.yxy例4.已知，求xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 看一个例子:下面把前面知识小结下面把前面知识小结:a.导数是从众多实际问题中抽象出来
9、的具有相同的数导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全 过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。b.要切实掌握求导数的三个步骤：要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增）求函数的增 量；量；（2）求平均变化率；）求平均变化率；（3）取极限，得导数。）取极限，得导数。（3）函数）函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函
10、数值，即处的函数值，即 。这也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。)(0 xf)(xf 0|)()(0 xxxfxf 小结:（2）函数的导数，是指某一区间内任意点）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的而言的,就是函数就是函数f(x)的导函数的导函数 。)(xf（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。常数，不是变数。c.弄清弄清“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”、“导函数导函数”、“导数导数”之间的区别与联系。之间的区别与联系。（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy d.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：小结:无限逼近的极限思想是建立导数无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求概念、用导数定义求 函数的导数的函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解基本思想，丢掉极限思想就无法理解导导 数概念。数概念。
