1、24.2 直线和圆的位置关系第3课时 切线长定理POO.PBAABO1问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线（如左图所示），如果点C是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？问题2 过圆外一点作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法！（见右图所示）直径所对的圆周角是直角.导入新课导入新课P1.切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长AO切线是直线，不能度量.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量2.切线长与切线的区别在哪里？讲授新课讲授新课切线长的定义一思考：PA为 O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B OB
2、是 O的一条半径吗？PB是 O的切线吗？（利用图形轴对称性解释）PA、PB有何关系？APO和BPO有何关系？O.PAB切线长定理二PO切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.PA、PB分别切 O于A、BPA=PBOPA=OPB几何语言:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.注意拓展结论PA、PB是 O的两条切线，A、B为切点，直线OP交 O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；OAPA，OB PB，AB OP.（3）写出图中所有的全等三角形；AOP BOP，AOC BOC，ACP BCP.（4）写出图中所有的等腰三
3、角形.ABP AOB（2）写出图中与OAC相等的角；OAC=OBC=APC=BPC.PP练一练 PA、PB是 O的两条切线，A,B是切点，OA=3.（1）若AP=4,则OP=;（2）若BPA=60,则OP=.56要点归纳切线长问题辅助线添加方法（3）连接圆心和圆外一点.（2）连接两切点；（1）分别连接圆心和切点；问题1 一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切呢？ABCABC三角形的内切圆及内心三问题2 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？已知：ABC.求作：和ABC的各边都相切的圆.ABCOMND作法：1.作B和和C的平分线BM和CN，交点为O.2.
4、过点O作ODBC.垂足为垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.O就是所求的圆.1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.B2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.3.这个三角形叫做圆的外切三角形.4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.ACIDEF三角形的内心到三角形的三边的距离相等.O是ABC的内切圆，点O是ABC的内心，ABC是 O的外切三角形.概念学习名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分BAC
5、、ABC、ACB3.内心在三角形内部填一填：ABOABCO典例精析例1 如图，PA、PB是 O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作 O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，P=40.则 DOE=.PDE的周长是 ；14OPABCED70例2 ABC的内切圆 O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.解解:设设AF=xcm，则，则AE=xcm.CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由 BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14，解得 x
6、=4.AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.ACBEDFOABCEDFO如图，RtABC中，C90,BCa,ACb,ABc,O为RtABC的内切圆.求：RtABC的内切圆的半径 r.设AD=x,BE=y,CE r O与RtABC的三边都相切ADAF,BEBF,CECD则有xrbyraxyc解：设解：设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。解得rabc2变式题 设RtABC的直角边为a、b，斜边为c
7、，则RtABC的内切圆的半径 r 或rabc2ababc总结归纳20 4110 1.如图，PA、PB是 O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,APB=40 ,则APO=,PB=.P第1题2.如图，已知点O是ABC 的内心，且ABC=60,ACB=80,则BOC=.第2题当堂练习当堂练习3.如图，PA、PB是 O的两条切线，切点为A、B,P=50，点C是 O上异于A、B的点，则ACB=.65 或115 P第3题4.ABC的内切圆 O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则ABC的周长是 .第4题30直角三角形的两直角边分别是3cm,4cm,试问：（1）它的外
8、接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm？ABCEDFO2.51解：如图，ABC的外接圆直径为AB,而由勾股定理可得AB=5cm,故外接圆半径为2.5cm.连接AO,BO,CO.设ABC的内接圆半径为r，由面积公式可得：SABC=SAoB+SAoC+SBoC,即 ，所以 ，代入数据得r=1cm.11112222AC BCAC rBC rAB r 12rACBCAB方法小结：直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，内接圆半径 .2abcr拓展提升（2）若移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、BC都相切，求O的半径r的取值范围.ABODC解：如图所示，设与BCBC、ACAC相切的最大圆与BCBC、
9、ACAC的切点分别为B B、D,D,连接OBOB、OD,OD,则四边形BODCBODC为正方形.OBOBBCBC3 3，半径r r的取值范围为0 0r r3.3.切线长切 线 长定理作 用图形的轴对称性原 理提供了证线段和角相等的新方法辅助线 分别连接圆心和切点；连接两切点；连接圆心和圆外一点.三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.有关概念内心概念及性质应 用重 要 结 论2Srabc；课堂小结课堂小结只适合于直角三角形2abcr课堂作业课堂作业1 1.请同学们做课后做一做并相互交流；请同学们做课后做一做并相互交流；2 2、利用自习时间在课后练习中选择、利用自习时间在课后练习中选择与本节课有关的内容，写在作业本上；与本节课有关的内容，写在作业本上；3.3.利用晚上时间完成练习册一个课时内容利用晚上时间完成练习册一个课时内容。学习体学习体会会1、从本节课中你学到了哪些基本知识？、从本节课中你学到了哪些基本知识？2、从本节课中你学到了哪些基本技巧？、从本节课中你学到了哪些基本技巧？3、在这节课中你还有哪些疑虑与困惑？、在这节课中你还有哪些疑虑与困惑？感谢同学们积极配合感谢同学们积极配合!同学们下次见！同学们下次见！
