1、 你听说过费马点吗你听说过费马点吗?如图如图,P,P为为ABCABC所在平面上的一点所在平面上的一点.如果如果APB=BPC=CPA=120APB=BPC=CPA=120,则点则点P P就是就是费马点费马点.费马点有许多有趣并且费马点有许多有趣并且有意义的性质有意义的性质,例如例如,平面内一点平面内一点P P到到ABCABC三顶点的距离之和为三顶点的距离之和为PA+PB+PC,PA+PB+PC,当点当点P P为费马点时为费马点时,距离之和最小距离之和最小.假设假设A,B,CA,B,C表示三个村庄表示三个村庄,要选一处建要选一处建车站车站,使车站到三个村庄的公路路程的和最短使车站到三个村庄的公路
2、路程的和最短.若不考虑其他因素若不考虑其他因素,那么那么车站应建在费马点上。车站应建在费马点上。请按下列步骤对费马点进行探究请按下列步骤对费马点进行探究:(1)(1)查找有关资料查找有关资料,了解费马点被发现了解费马点被发现的历史背景的历史背景;(2)(2)在特殊三角形中寻找并验证费马点在特殊三角形中寻找并验证费马点.例如例如,当当ABCABC是等边三角形是等边三角形,等腰三角形等腰三角形或直角三角形时或直角三角形时,费马点有哪些性质费马点有哪些性质?(3)(3)把你的探究结果写成一篇小论文把你的探究结果写成一篇小论文,并通过与同学交流来修改完善你的小论文。并通过与同学交流来修改完善你的小论文
3、。ABCP旋转变换旋转变换 建桥问题建桥问题河流B A 村和B 村在河的两侧，到河两岸的距离分别是6 千米和2 千米，河宽2 千米，两村的水平距离为6 千米。现欲在河上修建一座桥，使自A 村过桥到达B 村的距离最短（假设河的两岸平行，且桥要垂直于河岸修建）。请在图上标明桥址，并求出此最短距离。ACD EF平移变换平移变换“将军饮马将军饮马”问题问题白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向交河旁边的C点饮马，饮马后再到B点宿营，试问怎样走，才能使总的路程最短？对称变换对称变换 河流BAA线段和线段和最小值最小值旋转变换旋转变换平
4、移变换平移变换对称变换对称变换 问题表征越贴近学习者的思维特点，问题表征越贴近学习者的思维特点，则问题越容易解决则问题越容易解决 思维心理学思维心理学科多夫斯基、海斯和西蒙科多夫斯基、海斯和西蒙 1985 在人脑的记忆中，相关信息和在人脑的记忆中，相关信息和技能越多，则迁移越可能发生技能越多，则迁移越可能发生 美国学者罗耶美国学者罗耶 问题问题1 1、如图，如图，ABAB是是OO的直径，的直径，AB=2AB=2，OCOC是是OO的半径，的半径，OCABOCAB，点，点D D在弧在弧ACAC上，弧上，弧AD=2AD=2弧弧CDCD，P P是半径是半径OC OC 上一个动点，求上一个动点，求AP+
5、PDAP+PD的最小值。的最小值。问题问题2 2、如图，已知正方形如图，已知正方形ABCDABCD的边长为的边长为8 8，MM是是DCDC上的一点，且上的一点，且DM=2DM=2，NN是是ACAC上的动点。上的动点。求求DN+MNDN+MN的最小值。的最小值。问题问题3 3、如图，在边长为如图，在边长为2 2的正的正ABCABC中，中，P P是高线是高线ADAD上的一个动点，上的一个动点，E E是是ACAC的中点，求的中点，求PC+PEPC+PE的最小值。的最小值。问题问题4 4、如图，菱形如图，菱形ABCDABCD中，中，AB=2AB=2，BAD=60BAD=60，E E是是ABAB的中点，
6、的中点，P P是对角线是对角线ACAC上的一个动点，求上的一个动点，求PE+PBPE+PB的最小值。的最小值。问题问题5 5、如图，已知正六边形如图，已知正六边形ABCDEFABCDEF的边长为的边长为1 1，MM、NN分别是分别是AFAF和和CDCD的中点，的中点，P P是是MNMN上的动点。上的动点。求求PA+PBPA+PB的最小值。的最小值。问题问题6 6、如图，梯形如图，梯形ABCDABCD中，中，AD/BCAD/BC，且，且BC=2BC=2，AB=AD=CD=1AB=AD=CD=1，MM、NN分别是分别是ADAD、BCBC的中点，的中点，P P是是MNMN上的动点。求上的动点。求PA
7、+PBPA+PB的最小值。的最小值。问题问题7 7、如图，在如图，在ABCABC中，中，AC=BC=2AC=BC=2，ACB=90ACB=90，D D是是BCBC边的中点，边的中点，E E是是ABAB边上一动点，求边上一动点，求EC+EDEC+ED的最小值。的最小值。问题问题8 8、如图，梯形如图，梯形ABCDABCD中，中，AD/BCAD/BC，且，且BC=8BC=8，AD=CD=4AD=CD=4，点，点NN在在BCBC上，上，CN=2CN=2，E E是是ABAB中点，在中点，在ACAC上找一点上找一点MM使使EM+MNEM+MN的值最小，求它的最小值。的值最小，求它的最小值。A AB BC
8、 CD DE ENN XY问题问题9 9、如图，已知二次函数如图，已知二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象交的图象交x x轴于轴于A A（1 1，0 0）和）和B B（3 3，0 0），交），交y y轴于轴于C C（0 0，3 3），），P P是对称轴上的动点，求是对称轴上的动点，求PACPAC周长的最小值。周长的最小值。问题问题1010、在在x x轴上求一点轴上求一点P P，使它到两个定点，使它到两个定点A(0A(0，2)2)，B(8B(8，6)6)的距离之和最短。的距离之和最短。(内江市内江市06年中考题年中考题)阅读并解答下面问题：（1）如图5所示，直线l的两侧有A、B两点，在l上求作一点P，使AP+BP的值最小（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）（2）如图6，A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤的距离AC为1km，B工厂到河堤的距离BD为2km，经测量河堤上C、D两地间的距离为6km.现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C地多远的地方？（3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下面问题：若，当为何值时，的值最小，并求出这个最小值。BAC D
