1、实数实数本章内容第第3章章3.1.1平方根（1）3.1.2平方根（2）3.2立方根3.3.1实数（1）3.3.2实数（2）平方根本课内容本节内容3.1第第1课时课时返回返回动脑筋动脑筋某家庭在装修儿童房时需铺地垫某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8平方米，刚好用去正平方米，刚好用去正方形的地垫方形的地垫30块你能算出每块地垫的边长是多少吗？块你能算出每块地垫的边长是多少吗？每块正方形地垫的面积是每块正方形地垫的面积是10.830=0.36（平方米）（平方米）即边长即边长边长边长=0.36.由于由于 ，因此面积为因此面积为0.36平方米的正方形平方米的正方形地垫的边长是地垫的边长是0.6米米36
2、.06.02在实际问题中，有时要找一个数，使它的平方等于在实际问题中，有时要找一个数，使它的平方等于给定的数给定的数.由此我们抽象出下述概念：由此我们抽象出下述概念：如果有一个数如果有一个数r，使得，使得r2=a，那么我们把，那么我们把r叫作叫作a的一个平方根，也叫作二次方根的一个平方根，也叫作二次方根.结论结论例如，例如，22=4，则，则2是是4的一个平方根的一个平方根 若若 r2=a，则，则 r 是是 a 的一个平方根的一个平方根.说一说说一说 分别说出分别说出9，16，25，49 的一个平方根是多少？的一个平方根是多少？由于由于32=9，因此，因此9的的一个平方根是一个平方根是3.由于由
3、于42=16，因此，因此16的一个平方根是的一个平方根是4.由于由于52=25，因此，因此25的一个平方根是的一个平方根是5.由于由于72=49，因此，因此49的一个平方根是的一个平方根是7.探究探究 4的平方根除了的平方根除了2之外，还有别的数吗？之外，还有别的数吗？为什么为什么-2是是4的平方根？的平方根？(-2)2=4.因此因此-2 也是也是4的的一个平方根一个平方根.除了除了2 和和-2之外，之外，4的平方根还有别的数吗？的平方根还有别的数吗？比比2大的数有可能是大的数有可能是4的平方根吗？的平方根吗？容易说明：边长大于容易说明：边长大于2的正方形，它的面积一定的正方形，它的面积一定大
4、于大于4，因此，比，因此，比2大的数都不是大的数都不是4的平方根的平方根.边长为边长为2边长为边长为4 容易说明：边长小于容易说明：边长小于2的正方形，它的面积一定的正方形，它的面积一定小于小于4，因此，比，因此，比2小的数都不是小的数都不是4的平方根的平方根.边长为边长为2 由于由于(-b)2=b2，因此由上述可知，因此由上述可知，-2以外的负数以外的负数都不是都不是4的平方根的平方根.显然显然0不是不是4的平方根的平方根.因此，因此，4的平方根有且只有两个：的平方根有且只有两个：2与与-2.如果如果r是正数是正数a的一个平方根，那么的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：的平方根有且只有
5、两个：r与与-r.结论结论 我们把我们把a的正平方根叫作的正平方根叫作a的的算术平方根算术平方根，记，记作作 ，读作，读作“根号根号a”；a 这样正数这样正数a的平方根可以用符号的平方根可以用符号“”来来表示表示.读作读作“正、负根号正、负根号a”.a 把把a的负平方根记作的负平方根记作 ，读作，读作“负根号负根号a”.”.a-零的平方根是多少零的平方根是多少？负数有平方根吗负数有平方根吗？说一说说一说 由于同号两数相乘得正数，且由于同号两数相乘得正数，且02=0，因此，因此负负数没有平方根数没有平方根.由于由于02=0，而非零数的平方不等于，而非零数的平方不等于0，因此，因此零零的平方根就是
6、的平方根就是0本身本身.我们把我们把0的平方根也叫作的平方根也叫作0的的算术平方根，记作算术平方根，记作 ，即即 .0 0=0 求一个非负数的平方根，叫作求一个非负数的平方根，叫作开平方开平方.开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根可以求一个数的平方根.+1-1+2-2+3-3149开平方开平方平方平方举举例例例例1 分别求下列各数的平方根：分别求下列各数的平方根：36，1.21.259 由于由于62=36，因此因此36的平方根是的平方根是6与与-6.（1）36 即即36=6.36是正数是正数有两个平方根有两个平方根解解（2）259 由
7、于由于 2=，25953有两个平方根有两个平方根 因此因此 的平方根是的平方根是 与与 .5325953-解解 由于由于1.12=1.21，有两个平方根有两个平方根（3）1.21 因此因此1.21的平方根是的平方根是1.1与与-1.1.255=.93即即即即1.21=1.1.举举例例例例2 分别求下列各数的算术平方根：分别求下列各数的算术平方根：100，0.49.1625解解 由于由于102=100，（1）100 算术平方根就是正平方根算术平方根就是正平方根 因此因此 ；10010 解解（2）1625 由于由于 2=，162545算术平方根就是正平方根算术平方根就是正平方根.解解 由于由于0.
8、72=0.49，算术平方根就是正平方根算术平方根就是正平方根.（3）0.49 因此因此 ；164255 因此因此 .0.490.7 1.分别求分别求 64，6.25 的的平方根平方根.4981练习练习解：解：由于由于82=64 所以所以64的平方根是的平方根是8与与-8.由于由于 所以所以 的平方根是的平方根是 与与 .2 749=98149817979-由于由于2.52=6.25 所以所以6.25的平方根是的平方根是2.5与与-2.5.2.分别求分别求 81，0.16 算术平方根算术平方根.6425解：解：由于由于92=81 因此因此 .819 由于由于0.42=0.16 因此因此 .0.1
9、60.4 6425)85(2 由于由于 因此因此 .8564253.判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确.（1）是是 的一个平方根；的一个平方根；（2）是是6的算术平方根；的算术平方根；（3）的值是的值是4；（4）的平方根是的平方根是-4.7549256162)4(正确正确.正确正确.不正确不正确,是是4.不正确，是不正确，是4.例例1 9的算术平方根是的算术平方根是（）.A.-3 B.3 C.3 D.81B解解 因为因为32=9，所以，所以9的算术平方根是的算术平方根是3.即即 .故，应选择故，应选择B.9=3中考中考 试题试题例例2 4的平方根是的平方根是 .2解解 因为因为(2)2=
10、4，所以，所以4的平方根是的平方根是2.即即 .故，答案是故，答案是2.4=2例例3 若若2m-4与与3m-1是同一个数的平方根，则是同一个数的平方根，则m为为().().A.-3 B.1 C.-3或或1 D.-1C解解 依题意，得依题意，得(2m-4)+(3m-1)=0,解之，得解之，得m=1.或或2m-4=3m-1.解之，得解之，得m=-3.故应选择故应选择C.根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，且它们互为根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，即相反数，即(2m-4)+(3m-1)=0；而本题隐含一个条件，也就是；而本题隐含一个条件，也就是说，说，2m-4与与3m-
11、1也可能是其中的一个平方根，即也可能是其中的一个平方根，即2m-4=3m-1.分析分析小结与复习小结与复习平方根和算术平方根的区别与联系是什么？平方根和算术平方根的区别与联系是什么？如何求一个正数的平方根和算术平方根？如何求一个正数的平方根和算术平方根？练习题练习题组组A（2）=49=49 的算术平方根是的算术平方根是7，即，即 的平方根是的平方根是7，即，即 D组组B作业P110 习题3.1 A组 1、2、3 B组 7、8结束平方根本课内容本节内容3.1第第2课时课时返回返回 面积为面积为8cm2的正方形，它的边长是多少呢？是的正方形，它的边长是多少呢？是整数吗？整数吗？由于由于22=4，3
12、2=9，而，而48 0时时，0，当当 a=0时时，-a，当当 a 0,则则ab；反之，如果；反之，如果a-b0，则则ab作差法：作差法：对于两个负数，绝对值大的反而小对于两个负数，绝对值大的反而小作商法：作商法：对于两个正数对于两个正数a,b，不用计算器，估计不用计算器，估计 与与2的大小的大小5 ，2可以看作分别是面积可以看作分别是面积为为5，4的正方形的边长，容易的正方形的边长，容易说明：面积较大的正方形，它说明：面积较大的正方形，它的边长也较大的边长也较大 因此因此552.与与3比较呢？比较呢？可以利用平方法把无理数转化为有理数可以利用平方法把无理数转化为有理数5不用计算器，估计不用计算器，估计 与与2的大小的大小5同样，因为同样，因为59，所以，所以5 6.37小结与复习小结与复习1.类比有理数，叙述实数的运算法则类比有理数，叙述实数的运算法则.2.总结比较数的大小的方法总结比较数的大小的方法.例：例：对于实数对于实数a,b,给出以下判断：给出以下判断：中考中考 试题试题是其中正确的判断的个数则若则若则若.,)3(,)2(,)1(22babababababaA.3 B.2 C.1 D.0(C )作业P114 习题3.3 A组 4、5、6、7结束
