1、 数学应用问题，就是指用数学的方法将一个表面数学应用问题，就是指用数学的方法将一个表面上非数学问题或非完全的数学问题转化成完全形式化上非数学问题或非完全的数学问题转化成完全形式化的数学问题。的数学问题。求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：示意图表示为：实际问题实际问题建立数学模型建立数学模型 分析、联想分析、联想抽象、转化抽象、转化数学结果数学结果实际结果实际结果反演反演答答数学数学方法方法 就是采用数学的方法，解决数学模型所表达就是采用数学的方法，解决数学模型所表达的数学问题。的数学问题。这一步可以称之为数学解决。这一步可以称之为数学
2、解决。就是将数学结论转译成实际问题的结论。就是将数学结论转译成实际问题的结论。这一步可以称之为实际化。这一步可以称之为实际化。就是对实际问题的结论作出回答。就是对实际问题的结论作出回答。应以审题应以审题(即明确题意即明确题意)开始，通过分析和抽象开始，通过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，建立合理的数学模型。找出题设与结论的数学关系，建立合理的数学模型。这一步可以称之为数学化。这一步可以称之为数学化。实际问题实际问题建立数学模型建立数学模型 分析、联想分析、联想抽象、转化抽象、转化第第步：步：实际结果实际结果数学结果数学结果第第步：步：反演反演实际结果实际结果实际问题实际问题第第步：步：答答
3、第第步：步：数学模型数学模型数学结果数学结果数学方法数学方法 1.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为成本为1万元万元/辆，出厂价为辆，出厂价为1.2万元万元/辆，年销售量辆，年销售量为为1000辆本年度为适应市场需求，计划提高产辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本若每辆车投入成本品档次，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为增加的比例为x(0 x1)，则出厂价相应提高的，则出厂价相应提高的比例为比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为，同时预计年销售量增加的比例为0.6x已知年利润已知年利润=（出厂价（出厂价
4、投入成本）投入成本）年销售量年销售量（）写出本年度预计的年利润）写出本年度预计的年利润y与投入成本增与投入成本增 加的比例加的比例x 的关系式；的关系式；（）为使本年度的年利润比上年有所增加，）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例问投入成本增加的比例x应在什么范围内？应在什么范围内？解：（解：（）由题意得，）由题意得，)10()6.01(1000)1(1)75.01(2.1 xxxxy整理得整理得：)10(20020602xxxy（）要保证本年度的利润比上年度有所增加，必须）要保证本年度的利润比上年度有所增加，必须.10,01000)12.1(xy即即.10,020602xx
5、x解不等式得解不等式得 310 x答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例应满足投入成本增加的比例应满足 0 x0.33 2.某地区上年度电价为某地区上年度电价为0.8元元/kWh，年用电量，年用电量为为a kWh.本年度计划将电价降到本年度计划将电价降到0.55元元/kWh至至0.75元元/kWh之间，之间，而用户期望电价为而用户期望电价为0.4元元/kWh.经测算，下调电价后新增的用电量经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为数为k）。该地区电力的成本
6、价为）。该地区电力的成本价为0.3元元/kWh。()写出本年度电价下调后，电力部门的收益写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与与实际电价实际电价x的函数关系式；的函数关系式；()设设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增部门的收益比上年至少增 长长20%?（注：收益（注：收益=实际用电量实际用电量(实际电价实际电价 成本价成本价)）解：解：()设下调电价为设下调电价为 x 元元k wh,则新的用电量为则新的用电量为 +a.kX 0.4 y=(a)(x0.3)(0.55 x 0.75)kx0.4()由题意知由题意知(a)(x0.3)
7、a(0.80.3)(120)kx0.4即即 x 1.1x0.3 0 x0.5 或或 x0.6又又 0.55 x 0.75 0.6x0.75当电价最低定为当电价最低定为 0.6元元kwh 时，仍可保证电力时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长部门的收益比上年至少增长 20 .3.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间天内，西红柿场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。与上市时间的关系用图
8、二的抛物线段表示。（）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式式 ;写出图二表示的种植成本与时间写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式的函数关系式 ；（）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元（注：市场售价各种植成本的单位：元/102，时间，时间单位：天）单位：天）)(tgQ)(tfp y=atb则则b=300100=200aba=1100=200ab a=2300=300ab b=300y=a(x150)2100 a1200解
9、：（解：（）由图一可得市场售价与时间的函数关系为）由图一可得市场售价与时间的函数关系为 300t200 3002 200,t0 ,300)(tttf由图二可得种植成本与时间的函数关系为由图二可得种植成本与时间的函数关系为300t0 ,100)150(2001)(2ttg（）设时刻的纯收益为）设时刻的纯收益为h(t),则由题意得则由题意得h(t)=f(t)g(t)即即 h(t)=300t200 ,21025272001-200,t0 ,217521200122tttt当当 0t200 时，配方整理得时，配方整理得100)50(20012th(t)=当当t=50时，时，h(t)取得区间取得区间0，
10、200上的最大值上的最大值100；当当200t300 时，配方整理得时，配方整理得100)350(20012th(t)=当当 t=300时时,取得区间（取得区间（200，300上的最大值上的最大值87.5 综上，由综上，由10087.5 可知，在区间可知，在区间0，300上可以上可以取得最大值取得最大值100，此时，此时 t=50，即从二月一日开始的第即从二月一日开始的第50天时，天时，上市的西红柿纯收益最大。上市的西红柿纯收益最大。4、我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控、我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控手段来达到节约用水的目的，某市用水收收费的方法是：手段来达到
11、节约用水的目的，某市用水收收费的方法是：水费水费=基本费基本费+损耗费损耗费+超额费超额费若每月用水量不超过最低限量若每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费时，只付基本费8元元和每户每月的定额损耗费和每户每月的定额损耗费c元；若用水量超过元；若用水量超过am3时，除了付时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每同上的基本费和损耗费外，超过部分每m3付付b元的超额费，已元的超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过知每户每月的定额损耗费不超过5元。元。该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：所示：月月 份份用水量（用水量（m3）水费（
12、元）水费（元）（1）根据上表中的数据，求）根据上表中的数据，求a、b、c；（2）若用户四月份用水量为）若用户四月份用水量为30立方米，应交水费多少元？立方米，应交水费多少元？月 份123用水量（m3）91522水费（元）91933解：设每月用水量为解：设每月用水量为xm3，支付费用为，支付费用为y元，则：元，则：0 xa （xa）y=)(88axbcc由题意知由题意知0C5 8+C13答：答：a、b、c的值依次为的值依次为10，2，1；四月份应交水费；四月份应交水费49元。元。（2）四月份应交水费为）四月份应交水费为:8+1+2(30-10)=49(元元)故故a=10，b=2，c=1一月份的付
13、款方式应选一月份的付款方式应选式，由式，由8+c=9得得c=1不妨设不妨设9a，将，将x=9代入代入得得 9=8+c+2（9a）2a=c+17 与与矛盾矛盾 9a再分析一月份的用水量是否超过最低限量再分析一月份的用水量是否超过最低限量2)22(833)15(819babcabc2a=c+19 由表知第二、三月份的费用均大于由表知第二、三月份的费用均大于13元，故用水量元，故用水量15m3，22m3均大于最低限量均大于最低限量am3，将，将x=15，x=22分别代入分别代入，得，得 5.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级平方米的三级污水处理池（
14、平面图如下图），由于地形限制，长、宽都不污水处理池（平面图如下图），由于地形限制，长、宽都不能超过能超过16米。如果池四周围壁建造单价为每米长米。如果池四周围壁建造单价为每米长400元，中间元，中间两道隔墙建造单价为每米长两道隔墙建造单价为每米长248元，池底建造单价为每平方米元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计。试设计污水池的长和宽，使总元，池壁的厚度忽略不计。试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。造价最低，并求出最低造价。解：设污水池长为解：设污水池长为 x，则宽为则宽为x200依题意：依题意：0 x16x2000 16解之得：解之得：12.5x16y400(
15、x )22248 80200 x200 x200总造价总造价y为为800(x )16000 x324令令ux x324设设165.1221xx)11(324)(212121xxxxuu则212121324)(xxxxxx165.1221xx021xx032432416021221xxxx21210uuuu即45000160008290800miny答：当污水长为答：当污水长为16米，宽为米，宽为12.5米时；米时；总造价最低为总造价最低为45000元元.u16 时时82901632416minuux x324在区间在区间12.5,16上是减函数上是减函数 6.一辆新汽车使用一段时间后，就值不到
16、原来的价钱了。一辆新汽车使用一段时间后，就值不到原来的价钱了。假若一辆新车价值假若一辆新车价值18万元，按下列方式贬值：每年的车价万元，按下列方式贬值：每年的车价是原来的是原来的 。问：购买。问：购买18个月后，此车贬值多少？从购买日个月后，此车贬值多少？从购买日起起t个月后呢？（贬值量个月后呢？（贬值量Q原价原价P汽车现在价值汽车现在价值W）解：先建立汽车的现价解：先建立汽车的现价W与使用时间与使用时间t（t以月为单位）以月为单位）的函数关系的函数关系Wf（t）。）。当当t0时，即刚买来，显然时，即刚买来，显然f（0）180000；当当t12时，即买了一年，时，即买了一年，f（12）1800
17、00 120000；32当买了两年后，当买了两年后，f（24）180000 80000；232一般地，一般地，f（12n）180000 。n32设设t12n，则，则f（t）180000 。1232t3218个月后，个月后，W180000 98000，2332Q1800009800082000，即贬值了，即贬值了82000元。元。从购买日起从购买日起t个月后，个月后，Q180000 。12321t 7.某工厂生产一种机器的固定成本为某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产元，且每生产100部部需要增加投入需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此元，对销售市场进行调查后
18、得知，市场对此产品的需求量为每年产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为部，已知销售收入的函数为 H（x）=500 x x2 其中其中x是产品售出的数量，且是产品售出的数量，且0 x500 （1）若）若x为年产量，为年产量，y表示利润，求表示利润，求y=f(x)的解析式；的解析式；（2）当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多）当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？少？（3）当年产量为何值时，工厂有盈利（已知：）当年产量为何值时，工厂有盈利（已知：=4.65）215625.21解：（解：（1）当）当0 x500时，产品全部售出；当时，产品全部售出；当x500时，时
19、，产品只能销售产品只能销售500部，故利润函数为：部，故利润函数为：125000(5000+25x)(x 500)f(x)=500 x x2(5000+25x)(0 x500)21（2）当）当0 x500时，时，f(x)=0.5(x475)2+107812.5;当当x500时，时，f(x)=12000025x12000012500，即即 f(x)0或或x50012000025x0解得解得10 x500 或或500 x4800，10 x4800.故当年产量在故当年产量在10部到部到4800部时部时,工厂盈利工厂盈利.解：（解：（1）若按原来投资环境不变，则由）若按原来投资环境不变，则由10)40
20、(16012xP知当知当x=40时，时，=10.最大P即每年只需从即每年只需从60万元专款中拿出万元专款中拿出40万元投资，可获最万元投资，可获最大利润大利润10万元，这万元，这10年的总利润的最大值为年的总利润的最大值为 8.某地区地理位置偏僻，严重制约经济发展，某种土某地区地理位置偏僻，严重制约经济发展，某种土特产品只能在本地销售，该地区政府每投资特产品只能在本地销售，该地区政府每投资x万元，所万元，所获利润为获利润为 万元。为顺应开发大西万元。为顺应开发大西北的宏伟决策，拟开发此种土特产品，而开发前后用于北的宏伟决策，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是该项
21、目投资的专项财政拨款每年都是60万元。若开发该万元。若开发该产品，必须在前产品，必须在前5年中，每年从年中，每年从60万元专款中拿出万元专款中拿出30万万元投资修通一条公路，且元投资修通一条公路，且5年可以修通。公路修通后该年可以修通。公路修通后该土特产品在异地销售，每投资土特产品在异地销售，每投资x万元，可获利润万元，可获利润问从十年的总利润来看，该项目有无开发价值？问从十年的总利润来看，该项目有无开发价值？10)40(16012xP)60(2119)60(1601592xxQ万元。万元。（2）若对该产品开发）若对该产品开发前前5年每年可用于对该产品的投资只有年每年可用于对该产品的投资只有3
22、0万元，万元，而函数而函数 在在(0,30 上递增，上递增，10)40(16012xP所以当所以当x=30时，时，=。最大P875前前5年的总利润为年的总利润为 （万元）。（万元）。837558751W设在后设在后5年中，年中，x万元用于本地销售投资，万元用于本地销售投资，60-x万元用于异地销售投资，则总利润为万元用于异地销售投资，则总利润为900)30(552119160159510)40(16012222xxxxW当当x=30时，时，W2有最大值有最大值4500。十年的总利润有最大值：十年的总利润有最大值：+4500（万元）。（万元）。8375而而 +4500100，8375故该项目具有
23、极大的开发价值。故该项目具有极大的开发价值。W=1010=100（万元）。（万元）。9.某商品在近某商品在近30天内每件的销售价格天内每件的销售价格P(元元)与与时间时间t(天天)的函数关系是的函数关系是:t+20 (0t25,tN)P=t+100 (25t30,tN)该商品的日销售量该商品的日销售量Q(件件)与时间与时间t(天天)的函数关系是的函数关系是:Q=t+40 (0t30,tN),求这种商品的日销售金额的最大值求这种商品的日销售金额的最大值.解解:设日销售金额为设日销售金额为y元元,则则y=PQ，y=(t+20)(t+40)(0t0)，销售数量就减少销售数量就减少kx%（其中（其中k
24、为正常数）。目前，该商品定价为正常数）。目前，该商品定价为为a元，统计其销售数量为元，统计其销售数量为b个。个。（1）当）当 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售时，该商品的价格上涨多少，就能使销售总金额达到最大？总金额达到最大？（2）在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围。的取值范围。21k解：依题意，价格上涨解：依题意，价格上涨x%后，销售总金额为：后，销售总金额为：%)1(%)1(kxbxay10000)1(100100002xkkxab（1）取）取21k100005021100002xxabyx=50 即商品价格上涨即商品价
25、格上涨50%时，时，y最大为最大为 ab89（2）因为）因为 10000)1(100100002xkkxaby此二次函数开口向下，对称轴为：此二次函数开口向下，对称轴为：kkx)1(50在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量自变量x在在x|x0的一个子集内增大时，的一个子集内增大时，y也增大。也增大。所在所在 ，0)1(50kk解之解之 0 k 0 得定义域为：得定义域为：0P12 0320p（II）由）由 128%)32080(60ppy化简得化简得 032122pp故当税率在故当税率在4%，8%内时，内时，政府收取税金将不少于政府收取税金将不少于128万元。万元。解得解得 4P8 g（p）=60（80 ）（）（4P8）P320 g(p)为减函数，为减函数，)(3200)4()(max万元gpg故当税率为故当税率为4%时，厂家销售金额最大，时，厂家销售金额最大，且国家所收税金又不少于且国家所收税金又不少于128万元。万元。（III）当政府收取的税金不少于）当政府收取的税金不少于128万元时，万元时，厂家的销售收入为厂家的销售收入为：
