1、2.1.2空间直线与直线之间的位置关空间直线与直线之间的位置关系系空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系2.1.21.同一平面中的平行直线同一平面中的平行直线 (1)平行公理平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.(2)平行线的传递性性质平行线的传递性性质：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行那么这两条直线也互相平行.acbacb？问题：问题：在同一平面内，平行于同一在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结条直线的两直线平行，
2、在空间中此结论仍成立吗？论仍成立吗？空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系2.1.2公理公理4 4 平行于同一条直线的两直线互相平行平行于同一条直线的两直线互相平行 （1）已知直线）已知直线a、b、c，且，且ab，bc，则，则ac（2）空间平行直线具有传递性）空间平行直线具有传递性（3）互相平行的直线表示空间里的一个确定的方向）互相平行的直线表示空间里的一个确定的方向（空间平行线的传递性）（空间平行线的传递性）理解：理解：空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系2.1.2公理公理4 4 平行于同一条直线的两直线互相平行平行于同一条直线的两直线互相平行 定理定理
3、 如果一个角的两边和另一个角的两边如果一个角的两边和另一个角的两边 分别平行，那么这两个角相等或互补分别平行，那么这两个角相等或互补.ABCDD1C1B1A1空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系2.1.2例例1已知棱长为已知棱长为a的正方体的正方体ABCDABCD中，中，M、N分别为分别为CD、AD的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形MNAC是梯形。是梯形。NMCDBADABC空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系2.1.2例例2如图，已知如图，已知E、E1是正方体是正方体AC1的棱的棱AD、A1D1的中点。的中点。求证：求证：C1E1B1CEB。EE
4、1CDBAD1A1B1C1空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系2.1.22.空间四边形空间四边形 顺次连结不共面的四点顺次连结不共面的四点A、B、C、D,所组成的四边形叫做所组成的四边形叫做空间四边形空间四边形，相对顶点相对顶点A和和C，B和和D的连线的连线AC、BD是这个空间四边形的对角线是这个空间四边形的对角线.空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系2.1.2例例3 已知已知E、F、G、H分别是空间四边形四条分别是空间四边形四条边边AB、BC、CD、DA的中点，的中点，求证：求证：EFGH是平行四边形是平行四边形.空间直线与直线之间的位置关系空间直线与
5、直线之间的位置关系2.1.2 例例4 已知四边形已知四边形ABCD是空间四边形，是空间四边形，E、H分别是边分别是边AB、AD的中点，的中点，,32CDCGCBCFF,G分别是边分别是边CB,CD上的点，且上的点，且求证：四边形求证：四边形EFGH是梯形是梯形空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系2.1.2P53练习练习1，2空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系2.1.2ABCD六角螺母六角螺母空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系2.1.21.异面直线的概念异面直线的概念不同在任何一个平面内的两条直线不同在任何一个平面内的两条直线,叫做
6、叫做异面直线异面直线空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系2.1.22.空间两条直线空间两条直线(不重合不重合)的位置关系的位置关系按有无公共点分按有无公共点分：按是否共面分按是否共面分：有且只有一个公共点有且只有一个公共点相交直线相交直线没有公共点没有公共点平行直线平行直线异面直线异面直线在同一平面内在同一平面内相交直线相交直线平行直线平行直线不同在任一平面内不同在任一平面内异面直线异面直线空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系2.1.23.异面直线所成的角异面直线所成的角 已知两条异面直线已知两条异面直线a、b，在空间任取一点，在空间任取一点O，作作aa
7、，bb，a与与b所成的所成的锐角或直角锐角或直角，叫做异面直线，叫做异面直线a、b所成的角所成的角(或叫做或叫做夹角夹角)babOa2,0(空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系2.1.22,0(互相垂直。互相垂直。，则两异面直线，则两异面直线若若ba,2 ba 记为记为111CBAA 例：例：空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系2.1.24.两条异面直线的三种画法：两条异面直线的三种画法：abab空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系2.1.2a与与b是是相交相交直线直线a与与b是是平行平行直线直线a与与b是是异面异面直线直线abM答：
8、答：不一定不一定：它们可能异面，可能相交，它们可能异面，可能相交，也可能平行。也可能平行。分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？abab合作探究合作探究例例5 在正方体在正方体ABCD-ABCD中中哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？是异面直线？求直线求直线BA与与CC的夹角的度数；的夹角的度数；哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线AA垂直？垂直？BC、AD、CC、DD、DC、DC.45AB、BC、CD、DA、AB、BC、CD、DA正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为 BB1的中点，如图，画出下面各题中指定的异面直线所成的角
9、CABDD1B11C1A1CABDB11C1APD1CABCDB11AD1 在正方体在正方体ABCD-ABCD中，棱长为中，棱长为a，E、F分别是分别是棱棱AB，BC的中点，求：的中点，求：异面直线异面直线 AD与与 EF所成角的大小；所成角的大小；异面直线异面直线 BC与与 EF所成角的大小；所成角的大小；异面直线异面直线 BD与与 EF所成角的大小所成角的大小.456090OGAC AC EF,OG BDBD 与与EF所成的角所成的角即为即为AC与与OG所成的角所成的角,即为即为AOG或其补角或其补角.平移法平移法异面直线所成的角的求法异面直线所成的角的求法:例例6 6：如图正方体：如图正
10、方体ACAC1 1，求异面直线求异面直线ABAB1 1和和CCCC1 1所成角的大小所成角的大小 求异面直线求异面直线ABAB1 1和和A A1 1D D所成角的大小所成角的大小 D1D1CCB1A1ADD1B1 如图如图,已知长方体已知长方体ABCD-EFGH中中,AB=,AD=,AE=2 (1)求求BC 和和EG 所成的角是多少度所成的角是多少度?(2)求求AE 和和BG 所成的角是多少度所成的角是多少度?3232解答：解答：(1)GFBC EGF（或其补角）为所求（或其补角）为所求.RtEFG中，求得中，求得EGF=45o(2)BFAE FBG（或其补角）为所求（或其补角）为所求,RtB
11、FG中，求得中，求得FBG=60o例例7ABGFHEDC323226.异面直线的判定方法异面直线的判定方法根据异面直线的定义判定根据异面直线的定义判定思考题：思考题：如图，直线如图，直线a、b、c相交与同一相交与同一O，并且，并且a、b、c不共面，点不共面，点A、D a,点点B b,点点C c,求证：求证：AC与与BD是异面直线是异面直线1空间两直线平行是指它们（空间两直线平行是指它们（）A无交点无交点 B共面且无交点共面且无交点 C和同一条直线垂直和同一条直线垂直 D以上都不对以上都不对练习练习 2在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边 分别平行，则
12、这两个角（分别平行，则这两个角（）A相等相等 B互补互补 C相等或互补相等或互补 D既不相等也不互补既不相等也不互补 3一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是（那么它与另一条的位置关系是（）A相交相交 B异面异面 C相交或异面或平行相交或异面或平行 D相交或异面相交或异面BCD 4如图，如图，是长方体的一条棱，这个长方体中与是长方体的一条棱，这个长方体中与 异面的棱共有（异面的棱共有（）A3条条 B4条条 C5条条 D6条条1AA1AAB5两条异面直线是指（两条异面直线是指（）A空间两条没有公共点的直线空间两条没有公共点的直线
13、B平面内一直线与这个平面外的一直线平面内一直线与这个平面外的一直线C分别在两个平面内的两条直线分别在两个平面内的两条直线D不同在任何一个平面内的两条直线不同在任何一个平面内的两条直线D6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OD1与A1C1所成的角的度数为A1D1C1B1ABCDO9007.在空间四边形S-ABC中，SABC且 SA=BC,E,F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（）CSABEFD(A)300 (B)450 (C)600 (D)900B SABEFG2.在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E、F分别是 AB、CD的中点.且E
14、F=3求:异面直线AD和BC所成的角.60.21,21ADPFBCPE且PE/BC,PF/AD 解:设P为AC中点,连结EP、FP.则 3212322cos222PFPEEFPFPEEPF120EPF PE与PF所成的锐角（其补角）就是异面直线BC与AD所成的角.在PEF中,PE=PF=1,EF=即异面直线AD和BC成600角ABCDEFG不同在不同在 任何任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义异面直线的定义:相交直线相交直线 平行直线平行直线异面直线异面直线空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系6.课堂小结课堂小结异面直线的求法异面直线的求
15、法:一作一作(找找)二证三求二证三求异面直线的画法异面直线的画法用平面来衬托用平面来衬托异面直线所成的角异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角提高：提高：在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，E、F分别分别是边是边AD、BC上的点，且上的点，且AE:ED=BF:FC=1:2，AB=CD=3，EF=，求异面直线求异面直线AB与与CD所成的角所成的角 7EGF或其补角或其补角因因EGF=1200，故故AB与与CD的夹角为的夹角为600.说明说明：异面直线所成角的范围是（：异面直线所成角的范围是（0，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦余弦值为负值值为负值时，其对应角为钝角，这时，其对应角为钝角，这不符合不符合两两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。的角，这一点要注意。2
