1、21合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理21.1合情推理合情推理学习目标学习目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理等进行简单的推理2了解合情推理在数学发现中的作用了解合情推理在数学发现中的作用知能优化训练知能优化训练课前自主学案课前自主学案21.1合情推理合情推理课堂互动讲练课堂互动讲练课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基2n110n11归纳推理归纳推理由某类事物的由某类事物的_具有的某些特征，推出该具有的某些特征，推出该类事物的类事物的_都具有这些特征的推理，或者都具有这些特征的推理，或者由由_事实概括出事实概括出_的推理，称为的
2、推理，称为_(简称归纳简称归纳)简言之，归纳推理是由简言之，归纳推理是由_、由、由_的推理的推理知新益能知新益能部分对象部分对象全部对象全部对象个别个别一般结论一般结论归纳推理归纳推理部分到整体部分到整体个别到一般个别到一般2类比推理类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理的推理称为类比推理(简称简称_)简言之，类比简言之，类比推理是由推理是由_的推理的推理3合情推理合情推理归纳推理和类比推理都是根据归纳推理和类比推理都是根据_事实，经过事实
3、，经过观察、分析、比较、联想，再进行观察、分析、比较、联想，再进行_、_，然后提出然后提出_的推理我们把它们称为合情推理的推理我们把它们称为合情推理通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“_”的推理的推理类比类比特殊到特殊特殊到特殊已有的已有的归纳归纳类比类比猜想猜想合乎情理合乎情理归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？提示：提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确类比推理是从人们或然性的，结论不一定正确类比推
4、理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠不一定可靠问题探究问题探究课堂互动讲练课堂互动讲练数列中的归纳推理数列中的归纳推理根据数列前几项的特征，归纳出其通项公式根据数列前几项的特征，归纳出其通项公式或求和公式或求和公式已知数列已知数列an满足满足a11，an12an1(n1,2,3)(1)求求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式归纳猜想通项公式an.例例1考点突破考点突破【解解】(1)当当n1时，知时，知a11，由由an12an1得得a2
5、3，a37，a415，a531.(2)由由a11211，a23221，a37231，a415241，a531251，可归纳猜想出可归纳猜想出an2n1(nN*)【思维总结思维总结】猜想通项公式时，首先从整体形猜想通项公式时，首先从整体形式上分析：整数型、分数型、根式型等，再利用式上分析：整数型、分数型、根式型等，再利用两相邻项之间相减、相除、加减某常数、平方等两相邻项之间相减、相除、加减某常数、平方等运算寻找规律运算寻找规律根据特殊几何图形的位置关系或者度量关系，归根据特殊几何图形的位置关系或者度量关系，归纳出所有图形的这种关系纳出所有图形的这种关系几何中的归纳推理几何中的归纳推理如图所示，在
6、圆内画一条线段，将圆分成如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段条线段，将圆最多分割成，将圆最多分割成4部分；画三条线段，彼此最部分；画三条线段，彼此最多分割成多分割成9条线段，将圆最多分割成条线段，将圆最多分割成7部分；画四部分；画四条线段，彼此最多分割成条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分条线段，将圆最多分割成割成11部分部分例例2(1)在圆内画在圆内画5条线段，彼此最多分割成多少条线条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？段？将圆最多分割成多少部分？(2)猜想：在圆内画猜想：在圆内画n(n2
7、)条线段，彼此最多分割条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？【思路点拨思路点拨】每增加一条线段，与前面的每条每增加一条线段，与前面的每条线段最多产生线段最多产生1个交点，而新增加的第个交点，而新增加的第n条线段最条线段最多与前面的多与前面的n1条线段产生条线段产生n1个交点，则这个交点，则这n1个点把第个点把第n条线段分为条线段分为n段每段把所在区域段每段把所在区域一分为二，共增加了一分为二，共增加了n块区域且这块区域且这n1个点把这个点把这些点所在的线段一分为二，又增加了些点所在的线段一分为二，又增加了n1条线段条线段，这样就有：区域
8、增加了，这样就有：区域增加了n块，线段增加了块，线段增加了n(n1)2n1条条【解解】设在圆内画设在圆内画n条线段，彼此最多分割成条线段，彼此最多分割成的线段为的线段为f(n)条，将圆最多分割成条，将圆最多分割成g(n)部分部分(1)当当n5时，时，f(5)f(4)45164525，g(5)g(4)511516.(2)猜想：在圆内画猜想：在圆内画n(n2)条线段，彼此最多分割条线段，彼此最多分割成成f(n)n2条线段条线段g(1)2，g(2)g(1)2，g(3)g(2)3，g(4)g(3)4，【思维总结思维总结】此题中，每增加一条直线，比原此题中，每增加一条直线，比原来增加几个交点、增加几部分
9、，这种递推关系是来增加几个交点、增加几部分，这种递推关系是解题的关键解题的关键变式训练变式训练2在平面内观察：在平面内观察：凸四边形有凸四边形有2条对角线，条对角线，凸五边形有凸五边形有5条对角线，条对角线，凸六边形有凸六边形有9条对角线，条对角线，由此猜想凸由此猜想凸n(n4且且nN*)边形有几条对角线？边形有几条对角线？类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手由平面中相关结论可置关系、度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论
10、以类比得到空间中的相关结论类比推理类比推理如图所示，在如图所示，在ABC中，射影定理可表示为中，射影定理可表示为abcosCccosB，其中，其中a，b，c分别为角分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想性质的猜想例例3【解解】如图所示，在四面体如图所示，在四面体PABC中，设中，设S1，S2，S3，S分别表示分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，的面积，依次表示面依次表示面PAB，面，面PBC，面，面PCA与底面与底面ABC所成二面角的大小所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现我们猜想射影定理类比推理
11、到三维空间，其表现形式应为：形式应为：SS1cosS2cosS3cos.【思维总结思维总结】四面体四面体(三棱锥三棱锥)很多性质都可以很多性质都可以由三角形的性质类比得出由三角形的性质类比得出方法技巧方法技巧1归纳推理具有从特殊到一般，由具体到抽象归纳推理具有从特殊到一般，由具体到抽象的认知功能在数列问题中，常用归纳推理猜测的认知功能在数列问题中，常用归纳推理猜测求解数列的通项公式，其具体步骤是：求解数列的通项公式，其具体步骤是：(1)通过条件求得数列中的前几项；通过条件求得数列中的前几项；(2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式并加以证明
12、通项公式并加以证明方法感悟方法感悟2在几何图形中，随着点、线、面等几何元素在几何图形中，随着点、线、面等几何元素的变化，探究相应的线段、区域交点的变化情况的变化，探究相应的线段、区域交点的变化情况常用归纳推理的方法解决，分析时要注意规律的常用归纳推理的方法解决，分析时要注意规律的寻找寻找3类比推理的基本原则是根据当前问题的需要类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手由平面中相关结、位置关系、度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论常用的类比论可以类比得到空间中的相关结论常用的类比有：有：平面图形平面图形点点线线边长边长面积面积线线角线线角三角形三角形空间图形空间图形线线面面面积面积体积体积二面角二面角四面体四面体失误防范失误防范1归纳推理、类比推理的结论不一定可靠，要归纳推理、类比推理的结论不一定可靠，要经证明后方可确知经证明后方可确知2由同样的特殊事物归纳出的一般性的结论不由同样的特殊事物归纳出的一般性的结论不一定是唯一，如同数列的通项公式不唯一一定是唯一，如同数列的通项公式不唯一
