1、2.3函数的应用()1.会利用一次函数和二次函数及分段函数模型解决简单的实际问题.2.理解数学建模的过程,并不断地加强数学的应用意识.1231.直线型的函数模型我们学过的正比例函数、一次函数等都是直线型的,它们在每个区间的变化率都一样.解题时常设为:正比例型:y=kx(k0),一次函数型:y=kx+b(k0).当k0时两者都是增长型函数,k的值越大增速越快.如在市场经济大潮中,普遍存在着最优化问题最佳投资、最小成本等,常常归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件.如果一个问题中有两个变量,且这两个变量之间存在一次函数关系,那么可以用一次函数模型来解决.名师点拨在引入自变
2、量建立目标函数解决函数应用题时,一是要注意自变量的取值范围;二是要检验所得结果,必要时运用估算和近似计算,使结果符合实际问题的要求.123【做一做1】据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元.若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式是()A.y=0.3x+800(0 x2 000)B.y=0.3x+1 600(0 x2 000)C.y=-0.3x+800(0 x2 000)D.y=-0.3x+1 600(0 x2 000)解析:由题意可知总收入y(单位:元)关于x(单位:辆次)的函数关
3、系式为y=0.5x+(2 000-x)0.8=-0.3x+1 600,0 x2 000.答案:D123现在人们注重对普遍存在的诸如造价成本最低而产出利润最大、风险决策、最优化等问题的研究,透过实际问题的背景,抓住本质,挖掘隐含的数量关系,可抽象成二次函数的最值模型.投物、射击、喷泉灌溉等物体运动的轨迹有某种规律,或者变量的变化具有二次函数关系时,可以通过直角坐标系由实际问题建立抛物线的数学模型,利用图象的性质解答.123知识拓展在解决应用题时,列出函数的解析式常用的有待定系数法、归纳法及方程法.(1)待定系数法:已知条件中已给出了含参数的函数关系式,或可确定函数类型,此种情形下应用待定系数法求
4、出函数表达式中的相关参数(未知系数)的值,就可以得到确定的函数解析式;(2)归纳法:先让自变量x取一些特殊值,计算出相应的函数值,从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数解析式;(3)方程法:用x表示自变量及其他相关的量,根据问题的实际意义,运用掌握的数学、物理等方面的知识,列出函数关系式,此种方法形式上和列方程解应用题类似,故称为方程法,实际上函数关系式就是含x,y的二元方程.123【做一做2】如图所示,某单位计划建造一排连续三个相同的矩形饲养场,现有总长为1的围墙材料,则当每个矩形的长宽之比为时,能使围成的饲养场的总面积最大.1233.分段函数模型有些实际问题,在事物的某个阶段对应的变
5、化规律不相同,此时我们可以利用分段函数模型来进行刻画.由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际问题中,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.名师点拨1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏;2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集;3.分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.123【做一做3】已知A,B两地相距150 km.某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地,在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地.把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数表达式是()123答案:D 一、数学建模的一般步骤剖析
6、:数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤.识模就是把应用问题的外部信息与自己已有的内部经验相对照,初步判断问题解决的方向;析模就是精读问题,做到“咬文嚼字”,抓住关键词,化简、转换问题,注意已知量,发现未知量,挖掘隐含量;建模是通过数学符号化,把问题转化为数学模型的过程;解模时我们可以借助计算机等数学工具对所建模型求解;由于应用问题本身的繁杂性、开放性,根据自己理解所建立的模型也有局限性,最后要对模型的解检验,或取或舍,或重新修正模型,直到满意为止.归纳总结实际问题的解决步骤还可以用下面的口诀表述:(1)收集数据,画图提出假设;(2)依托图表,理顺数量关系;(3)抓住关键,建立函
7、数模型;(4)精确计算,求解数学问题;(5)回到实际,检验问题结果.二、教材中的“思考与讨论”对例2中的“客房问题”你有什么体会?在现实问题中,有没有与它类似的问题?如果有,请举例说明.剖析:“客房问题”反映的规律性在实际中有很多典例,实际归结到最后,“客房问题”是一个二次函数模型的具体应用,在现实生活中的“调价问题”与其类似,其模型为:当某类商品在销售价格为b元时,可售出a件,现欲提价,若单价每提高m元,则销售量减少n件,求提高多少元时销售的总收入最高?设将商品售价提高x个m元,则总收入为y=(b+xm)(a-xn)=-mnx2+(am-bn)x+ab.它是一个自变量为自然数的二次函数,且其
8、二次项系数小于零,根据二次函数的知识知它有最大值.题型一题型二题型三题型四【例1】某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司,甲分公司现有某型号电脑6台,乙分公司有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台,B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台.已知甲地运往A,B两地每台电脑的运费分别是40元和30元,乙地运往A,B两地每台电脑的运费分别是80元和50元,设甲地调运x台至B地,该公司运往A地和B地的总运费为y元.(1)求y关于x的函数关系式;(2)若总运费不超过1 000元,则有几种调运方案?(3)求总运费最低的调运方案及最低运费.分析:解答本题首先表示出从甲、乙两地分别运至
9、A,B两地的电脑台数,求得函数的解析式,再利用函数的单调性求出最低运费.题型一题型二题型三题型四解:(1)设甲地调运x台到B地,则剩下(6-x)台电脑调运到A地;乙地应调运(8-x)台电脑至B地,运往A地12-(8-x)=(x+4)台电脑(0 x6,xN),则总运费y=30 x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20 x+960,故y=20 x+960(xN,且0 x6).(2)若使y1 000,即20 x+9601 000,得x2.因为0 x6,xN,所以0 x2,xN.所以x=0,1,2,即有3种调运方案.(3)因为y=20 x+960是R上的增函数,且0 x6,xN,所以当
10、x=0时,y有最小值,为960.所以总运费最低的调运方案为从甲地运6台到A地,从乙地运8台到B地、运4台到A地,运费最低为960元.题型一题型二题型三题型四反思通过对本题的求解,我们可得到以下启发:(1)读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质.本题涉及电脑台数与运费的关系,解答的关键在于表示出运往A,B两地的电脑台数;(2)根据已知条件建立函数关系式,将实际问题数学化,注意标注自变量的取值范围,如本题中0 x6,且xN;(3)本题通过一次函数的解析式,利用单调性,讨论了最值问题.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】某服装厂现有甲种布料42米,乙种布料30
11、米,现计划用这两种布料生产M,L两种型号的校服共40件.已知做一件M型号的校服需用甲种布料0.8米,乙种布料1.1米,可获利45元;做一件L型号的校服需用甲种布料1.2米,乙种布料0.5米,可获利30元.设生产M型号的校服件数为x,用这批布料生产这两种型号的校服所获的利润为y(单位:元).(1)写出y(单位:元)关于x(单位:件)的函数解析式,并求出自变量x的取值范围;(2)该厂在生产这批校服时,当M型号的校服为多少件时,能使该厂所获的利润最大?最大利润为多少?题型一题型二题型三题型四解:(1)生产M型号的校服为x件时,生产L型号的校服为40-x件,因此生产两种型号的校服所获利润y=45x+3
12、0(40-x),即y=15x+1 200.所以自变量x的取值为15或16.(2)因为y=15x+1 200,y随x的增大而增大,所以当x=16时,y取最大值1516+1 200=1 440,即工厂安排生产M型号的校服16件时,工厂能获最大利润1 440元.题型一题型二题型三题型四【例2】一位篮球运动员在距篮下4 m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5 m时,达到最大高度为3.5 m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的解析式;(2)该篮球运动员身高1.9 m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25 m处出手
13、,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?分析:解决此类问题需以顶点坐标、对称轴、特殊点为突破口.题型一题型二题型三题型四解:(1)由于抛物线的顶点是(0,3.5),故可设其解析式为y=ax2+3.5(a0).因为抛物线过点(1.5,3.05),所以a1.52+3.5=3.05,解得a=-0.2.所以抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5.(2)当x=-2.5时,y=2.25.故球出手时,他跳离地面的高度是2.25-1.9-0.25=0.10(m).题型一题型二题型三题型四反思解这类问题一般分为以下四个步骤:(1)建立适当的平面直角坐标系(若题目中给出,不用重建).(2)根据给定的条件,找出抛
14、物线上已知的点,并写出坐标.(3)利用已知点的坐标,求出抛物线的解析式.当已知三个点的坐标时,可用一般式y=ax2+bx+c(a0)求其解析式;当已知顶点坐标为(h,k)和另外一点的坐标时,可用顶点式y=a(x-h)2+k(a0)求其解析式;当已知抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为(x1,0),(x2,0)时,可设y=a(x-x1)(x-x2)(a0)求其解析式.(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标,从而使问题得到解决.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】某商场购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元的价格销
15、售时,每月能卖360件,若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y(单位:件)是价格x(单位:元/件)的一次函数.(1)试求y与x之间的函数关系式;(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本)题型一题型二题型三题型四解:(1)依题意设y=kx+b(k0),故y=-30 x+960(16x32).(2)每月获得利润p=(-30 x+960)(x-16)=30(-x2+48x-512)=-30(x-24)2+1 920.故当x=24时,p有最大值,最大值为1 920.故销售价格定为每
16、件24元时,每月获得的利润最大,最大利润是1 920元.题型一题型二题型三题型四【例3】在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙,并约定在该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中有:这种消费品的进价为每件14元;该店月销售量Q(单位:百件)与销售价格P(单位:元)之间的关系如图所示;每月需各种开支2 000元.(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润余额最大?并求最大余额.(2)企业乙只依靠该店,最早可
17、望在几年后脱贫?题型一题型二题型三题型四分析:解答本题首先要仔细阅读,读懂题意,明确各种数据之间的关系式,然后建立函数关系式,解答相应问题.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思1.本题经过了三次建模:(1)根据月销量与销售价格之间的关系图建立Q与P的函数关系;(2)建立利润余额函数;(3)建立脱贫不等式.2.本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数,在实际问题中,由于在不同的背景下解决的问题发生变化,因此在不同范围中,建立函数模型也不一样,因此分段函数应用很广泛.3.在构造分段函数时,要力求准确、简捷,做到分段合理,不漏不重.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】某地区的农产品
18、A第x天(1x20)的销售价格p=50-|x-6|(单位:元/百斤).一农户在第x天(1x20)农产品A的销售量q=40+|x-8|(单位:百斤).(1)求该农户在第7天销售农产品A的收入;(2)问:这20天中该农户在哪一天的销售收入最大?题型一题型二题型三题型四解:(1)由已知得第7天的销售价格p=49,销售量q=41.故第7天的销售收入W7=4941=2 009.(2)设第x天的销售收入为Wx元,当1x6时,Wx=(44+x)(48-x)=-x2+4x+2 112=-(x-2)2+2 116,故当x=2时,Wx取最大值W2=2 116;当8x20时,Wx=(56-x)(32+x)=-x2+
19、24x+1 792=-(x-12)2+1 936,故当x=12时,Wx取最大值W12=1 936.因为W2W7W12,所以这20天中该农户在第2天的销售收入最大.题型一题型二题型三题型四易错点:忽视问题中变量的实际意义致误【例4】如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(ab),在AB,AD,CB,CD上分别截取AE=AH=CF=CG=x(x0),设四边形EFGH的面积为y.(1)写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系式;(2)求当x为何值时,y取得最大值,最大值是多少?题型一题型二题型三题型四错因分析:(1)问中没有注意实际问题中x的取值范围;(2)问中没有讨论对称轴与区间的
20、关系,从根本上是由(1)问中没明确定义域而造成最后的错误.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思对实际问题中的函数解析式一定要注意自变量x要受实际问题的约束,看似一个细节失误,它将会造成严重问题.例如,本题就直接造成了第(2)问的错误解法,因此大家不要因小失大.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】用一根长为12 m的细铁丝围成一个矩形,要求围成的矩形的长边与短边之比最小为2.求围成矩形的最大面积.1 2 3 4 5 61一段导线,在0 时的电阻为2欧,温度每增加1,电阻增加0.008欧,那么电阻R(单位:欧)表示为温度t(单位:)的函数关系式为()A.R=0.008tB.R=2
21、+0.008tC.R=2.008tD.R=2t+0.008解得a=0.008,b=2,故R=0.008t+2.答案:B1 2 3 4 5 62一等腰三角形的周长是20,则底边长y是关于腰长x的函数,其解析式为()A.y=20-2x(x10)B.y=20-2x(x10)C.y=20-2x(5x10)D.y=20-2x(5x5时,只能售出500台,故利润y关于年产量x之间的函数关系为y=R(x)-(0.5+0.25x)(2)当0 x5时,y=-0.5x2+4.75x-0.5,当x=4.75时,ymax=10.781 25(万元).当x5时,y12-1.25=10.75(万元),因此当年产量为475台时,该厂所得利润最大.
