1、第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移1 梁的位移梁的位移挠度，转角的概念挠度，转角的概念2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分(重点重点)3 叠加法计算梁的挠度和转角叠加法计算梁的挠度和转角4 梁的刚度条件梁的刚度条件 5 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施 1 梁的位移梁的位移挠度、转角的概念挠度、转角的概念 弯曲变形弯曲变形：梁在垂直于其轴线的荷载：梁在垂直于其轴线的荷载作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。形。FAFBABFqMe梁轴线的变形梁轴线的变形轴线是由横截面的形心组成轴线是由横截面的形心组成ABxy平面简图平面
2、简图:由于主要观察轴线变化，荷载可由于主要观察轴线变化，荷载可略去，建立如图略去，建立如图x-y坐标系。坐标系。轴线是由横截面的形心组成轴线是由横截面的形心组成ABxy切线切线法线法线C1C1观察观察x截面形心变形前后的位置截面形心变形前后的位置(小变形小变形)x变形后截面形心变形后截面形心截面截面x 的水平位移相对于的水平位移相对于w为高阶微量为高阶微量 h）的条件下，）的条件下，略去略去x 方向的线位移，方向的线位移，y 方向的线位移是截方向的线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度挠度，用，用 w 表示，单位表示，单位m、mm；角位移；角位移
3、是横截面变形前后的夹角，称为是横截面变形前后的夹角，称为转角转角，用，用 表示，单位弧度。而变形后的轴线是一表示，单位弧度。而变形后的轴线是一条条光滑连续平坦光滑连续平坦的曲线称为的曲线称为挠曲线挠曲线（弹性（弹性曲线曲线）。注意：注意：挠曲线是一光滑连续平坦曲线，满挠曲线是一光滑连续平坦曲线，满足数学上的光滑性、连续性。即：足数学上的光滑性、连续性。即：曲线没有间断；曲线没有间断；曲线没有尖点。曲线没有尖点。ABxyABxy 挠曲线在挠曲线在x-y坐标系中的数学表达式即坐标系中的数学表达式即挠曲线方程挠曲线方程，可见确定梁的位移，关键是，可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程：确定挠曲线方程
4、：w=f(x)挠曲线方程挠曲线方程 tan=w=f(x)在在小变形条件下小变形条件下，tan ，因此，因此，(x)=f(x)转角方程转角方程ABxy挠度挠度wwC1C1x 截面的位移：挠度、转角截面的位移：挠度、转角w=f(x)挠曲线方程挠曲线方程转角方程转角方程(x)=f(x)x梁挠度、转角的求解方法：梁挠度、转角的求解方法：求解挠曲线求解挠曲线积分法（基本方法）积分法（基本方法）叠加法叠加法图乘法图乘法 2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 及其积分及其积分(重点重点)（1）梁的挠曲线近似微分方程）梁的挠曲线近似微分方程（2）积分法求梁的挠度和转角）积分法求梁的挠度和转角(熟练
5、掌握熟练掌握)（1）梁的挠曲线近似微分方程）梁的挠曲线近似微分方程 梁在荷载作用下轴线形状的变化称梁在荷载作用下轴线形状的变化称为变形，一般用为变形，一般用各段梁各段梁曲率的变化表示。曲率的变化表示。纯弯变形纯弯变形中性层中性层MM1/=/l l（1）梁的挠曲线近似微分方程）梁的挠曲线近似微分方程 梁梁纯弯曲纯弯曲时平面弯曲的曲率公式为时平面弯曲的曲率公式为：（4-4）式（式（4-4）表明梁轴线上任一点的曲率与该）表明梁轴线上任一点的曲率与该点处横截面上的弯矩成正比，而与该截面点处横截面上的弯矩成正比，而与该截面的抗弯刚度成反比。的抗弯刚度成反比。z1ME Iz1ME Il取梁中取梁中dx段，
6、横段，横力弯曲变形关系力弯曲变形关系ddxO2O11/(x)=d/dxMM(x)横力弯曲作用下忽略剪力对变形的影响，横力弯曲作用下忽略剪力对变形的影响，梁纯弯曲的曲率公式梁纯弯曲的曲率公式(4-4)式变为：式变为：z1M(x)()EIdxdxx曲率与挠曲线方程之间存在下列关系：曲率与挠曲线方程之间存在下列关系：(b)小挠度条件下，小挠度条件下，w 2 b,所以所以A b,b2可略去，可略去，x1=0.577 l (wmax wC )/wmax=2.65%2max0.0642FblwEI20.0625CFblwEI结论：只要挠曲线无拐点，无论什么荷载结论：只要挠曲线无拐点，无论什么荷载都可以近似得出都可以近似得出wmax wC。2max3max a=b=/2=-=16EI 48 ABlFlFlwEI特别时：在梁端在梁中ABl/2FabDxy21CAwmaxwCBl/2边界条件为边界条件为连续条件为连续条件为用积分法求图示梁的变形时用积分法求图示梁的变形时边界条件为边界条件为连续条件为连续条件为用积分法求图示梁的变形时用积分法求图示梁的变形时边界条件为边界条件为:连续条件为连续条件为:作业：作业：五版教材五版教材P181：5 3、5 5四版教材四版教材P177：5 4、5 6
