1、 2019 年山东省泰安市高考一模试卷年山东省泰安市高考一模试卷 数学（文科）数学（文科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题）小题） 1.若集合， 0，1，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用交集运算得答案 【详解】解：集合，0，1， ， 故选：C 【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题 2.若复数的实部与虚部互为相反数，则实数 A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可. 【详解】因为, 且复数的实部与虚部互为相反数， 所以， 解得，故选
2、 D. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握 纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式 相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3.某中学数学竞赛培训班共有 10 人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所 示，已知甲组 5 名同学成绩的平均数为 81，乙组 5 名同学成绩的中位数为 73，则的值为 A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值 【详解】解：根据茎叶图中
3、的数据，得； 甲班 5 名同学成绩的平均数为 ，解得； 又乙班 5 名同学的中位数为 73，则； 故选：D 【点睛】本题考查了平均数与中位数的概念与应用问题，是基础题 4.从抛物线在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，从且 ，设抛物线的焦点为 F，则直线PF的斜率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进 而利用斜率公式求得答案 【详解】解：设， 依题意可知抛物线准线， ， ， 直线PF的斜率为， 故选：C 【点睛】本题主要考查了抛物线的应用、直线斜率解题的关键是灵活利用
4、了抛物线的定义 5.如图是一个算法流程图，若输入n的值是 13，输出S的值是 46，则a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输 出条件. 详解：输入， 第一次循环； 第二次循环； 第三次循环； 第四次循环， 输出，此时应满足退出循环的条件， 故 的取值范围是，故选 B. 点睛： 本题主要考查程序框图的循环结构流程图， 属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点： (1) 不 要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和
5、直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给 出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 6.已知实数x，y满足约束条件，则 的最大值是 A. 0 B. 1 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使 z 最大，则直线在 y 轴上 的截距最大，结合可行域可知当直线 zx+2y 过点 A时 z 最大，求出 A 的坐标，代入 zx+2y得答案 【详解】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示； 由解得A（0
6、，3） ， 此时直线yxz在y轴上的截距最大， 所以目标函数zx+2y的最大值为 zmax0+236 故选：D 【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查数形结合的思想，解答的关键是正确作出可行域，是中档题 7.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯 视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为 A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体 的表面积 【详解】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱， 底面是一个直角三角形，
7、两条直角边分别是、斜边是 2， 且侧棱与底面垂直，侧棱长是 2， 几何体的表面积， 故选：D 【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力 8.等比数列的首项，前n项和为 ，若，则数列的前 10 项和为 A. 65 B. 75 C. 90 D. 110 【答案】A 【解析】 【分析】 由的首项，前 项和为，求出 ，可得 ，再求数列前 10 项和 【详解】的首项，前 项和为， 解得 故数列的前项和为 故选 A. 【点睛】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础 9.函数 的部分图象如图所示， 为了得到的
8、图象， 只需将的 图象 A. 向右平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向左平移 个单位 【答案】B 【解析】 试题分析：由图象知， ， 得，所以，为了得到的图象，所以只需将的图象向右平移 个长度单 位即可，故选 D 考点：三角函数图象. 10.已知函数等于 A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 利用已知推导出，由此能求出结果 【详解】解：函数， 故选：A 【点睛】本题考查函数值值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 11.设， ，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用对数的运算法则即可得出
9、 【详解】， 则 . 故选 D. 【点睛】本题考查了对数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题 12.若函数 恰有三个极值点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先对函数求导，得，当时，由，可得，从而极值 点问题转化为了与 y=-2m 的交点问题,结合图像即可得出 m 范围；当，由，可得 0,可得 m的范围. 【详解】由题可知，当时，令，可化为，令 ，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，的图象如图所示， 所以当，即时，有两个不同的解；当，令，解 得，综上，. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的极值点问题，分别研究分段函数在不同范围的单调性，结
10、合图 像即可得出结果. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题）小题） 13.已知ABC和点 M 满足.若存在实数 m 使得成立，则 m_. 【答案】3 【解析】 试题分析：由条件知是的重心，设是边的中点，则，而，所以 ，故选 B. 考点：平面向量. 【此处有视频，请去附件查看】 14.若数列满足：， ，则_ 【答案】234 【解析】 【分析】 由， 可 得， 可 得 故为 等 比 数 列 ， 且， 可 得 ，可得答案. 【详解】解：， 故为等比数列.， 故. 【点睛】本题主要考查数列的性质及数列前 n 的项的和，得出为等比数列，且是解题的关键. 15.已知直三棱柱外接球的表面
11、积为， 若 外接圆的圆心在AC上， 半径， 则直三棱柱的体积为_ 【答案】3 【解析】 【分析】 由题意可得，直三棱柱的底面为直角三角形，由其外接球的表面积求得侧棱长，代入体积公式 得答案 【详解】解：如图， 外接圆的圆心在AC上， 为AC的中点，且是以为直角的直角三角形， 由半径，得，又， 把直三棱柱补形为长方体，设， 则其外接球的半径 又直三棱柱外接球的表面积为， ，即 ，解得 直三棱柱的体积为 故答案为：3 【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心 到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，
12、解题时 要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 16.已知双曲线的左焦点为F，A，B分别是C的左、右顶点，P为C上一点， 且 轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若（O 为坐标 原点） ，则双曲线C的离心率为_ 【答案】3 【解析】 【分析】 根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用的关系建立方程进行求解即可 【详解】解：因为轴，所以设， 则， AE的斜率， 则AE的方程为，令，则， 即， BN的斜率为，则BN的方程为， 令，则，即， 因为，所以， 即，即，则离心率 故答案为：3
13、 【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点N，E的坐标是解决本题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 小题）小题） 17.已知函数 求函数的单调递减区间； 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边AB上一点，为 锐角，且，求b的值 【答案】(1)(2) 【解析】 【分析】 直接利用三角函数关系是的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间 利用的结论，进一步利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果 【详解】解：函数 ， ， 令， 解得：， 所以函数的单调递减区间为： 由于：， 即：， 解得： 当时，BDC 为锐角，则为钝角
14、，不适合题意，舍去； 当时， 在中， ， 由于为锐角， 则：， 所以：， 解得： 则： 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理和余弦 定理及三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 18.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，E、F分别为 和BC的中点 求证：平面平面； 求证：平面ABE 【答案】(1)见证明；(2)见证明 【解析】 【分析】 通过证明平面，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面； 取AC的中点G，连结G、FG，通过证明平面平面EAB，利用平面与平面平行的性质定理证明 平面ABE 【详解】证明：平面ABC，平
15、面ABC， 又， 平面 而平面ABE， 平面平面 取AC的中点G，连结G、FG， 为BC的中点， 又E为的中点，且 四边形为平行四边形， ， 平面平面EAB， 而平面， 平面EAB 【点睛】本题考查仔细与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理以及平面与平面平行的性质定理的应用，考 查空间想象能力以及逻辑推理能力 19.某老师是省级课题组的成员，主要研究课堂教学目标达成度，为方便研究，从实验班中随机抽取 30 次的 随堂测试成绩进行数据分析已知学生甲的 30 次随堂测试成绩如下满分为 100 分： 88 58 50 36 75 39 57 62 72 51 85 39 57 53 72 46 64
16、74 53 50 44 83 70 63 71 64 54 62 61 42 把学生甲的成绩按，分成 6 组，列出频率分布表，并画 出频率分布直方图； 为更好的分析学生甲存在的问题， 从随堂测试成绩 50 分以下不包括 50分的试卷中随机抽取 3份进行分析， 求恰有 2 份成绩在内的概率 【答案】 （1）见解析（2） 【解析】 【分析】 先作出频率分布表，由此能画出频率分布直方图 成绩在内的有 3 个数据，记为A，B，C，成绩在内的有 3 个数据，记为a，b，c，从， 共 6 个数据中任意抽取 3 个，利用列举法能求出恰有 2 份成绩在内的概率 【详解】解：频率分布表为： 分组 频数累计 频率
17、 3 3 9 6 6 3 合计 30 1 画出频率分布直方图如下： 成绩在内的有 3 个数据，记为A，B，C， 成绩在内的有 3 个数据，记为a，b，c， 则从，共 6 个数据中任意抽取 3 个，基本事件有 20 个，分别为： B，B，B，B， ，C，C，C， ，C，C，C， ，a， ，a，b，a，a，b，a，a，b，b， 其中恰好有两份成绩在内共有 9 个， 恰有 2 份成绩在内的概率 【点睛】本题考查频率分布表、频率分布图的作法，考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 20.已知椭圆的离心率 ，且经过点 求椭圆C的方程； 过点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于不
18、同的两点， 过右焦点F的直线AF， BF分别交椭圆C于点M、N，设，的取值范围 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 由题意可得，解得，即可求出椭圆方程， 设直线l的斜率为k，则，分两种情况， 求出直线AG的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系的分析可得范围，即可得答案 【详解】解：由题意可得，解得， 则椭圆方程为， 设直线l的斜率为k， 则， 由题意可知，直线l的斜率存在且不为 0， 由，可得， 则， 当AM与x轴不垂直时，直线AM的方程为，即， 代入曲线C的方程又，整理可得， ， ， 当AM与x轴垂直时，A点横坐标为，显然也成立， ， 同理可得， 设直线l的方程为，联立， 消
19、去y整理得， 由，解得， 又， ， 即的取值范围是 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键依据椭圆的性质，求出椭圆的标准方 程 21.已知，函数 ，直线l： 讨论的图象与直线l的交点个数； 若函数的图象与直线l：相交于，两点，证明： 【答案】 （1）见解析（2）见证明 【解析】 【分析】 根据函数与方程的关系，设，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，结合极值与 0 的关系进行判断即可 构造函数，求函数的导数，结合与l的交点坐标，进行证明即可 【详解】解：由題意，令， 则， 令，解得 所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 则当时，函数取得极小值，同时也是最小
20、值 ， 当，即时，的图象与直线l无交点， 当，即时的图象与直线l只有一个交点 当，即时的图象与直线l有两个交点 综上所述，当时，的图象与直线l无交点； 时的图象与直线l只有一个交点，时的图象与直线l有两个交点 证明：令， ， ， ，即在上单调递增， ， 时，恒成立， 又， ， ， 又 ， 在上单调递增， 即 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和极值是解决本 题的关键综合性较强，难度较大 22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t 为参数),曲线C的方程为 以坐 标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系 求直线l的普通方程与曲线C的极坐标
21、方程； 直线与直线l交于点A，点B是曲线C上一点，求面积的最大值 【答案】 （1）直线l的普通方程为，曲线C的极坐标方程为 （2） 【解析】 【分析】 用代入法消去t可得直线l的普通方程；利用，代入可得曲线C的极坐标方程； 先求得，再利用B的极径求出三角形的面积，再求最值 【详解】解：由得代入整理得， 直线l的普通方程为， 又， ， 曲线C的极坐标方程为， 由得， 设，则， 的面积 ， 【点睛】此题主要考查曲线的参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化，以及极坐标方程 在求最值中的应用等方面的知识与运算能力，属于中档题型. 23.已知函数 当时，求不等式的解集； 当时，不等式恒成立，求m的取值范围 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 代入m的值，得到关于x的不等式组，解出即可； 问题转化为恒成立，当时，令，求 出的最大值，求出m的范围即可 【详解】解：当时， 由， 得或或， 解得：或， 故不等式的解集是； 当时， 恒成立， 即恒成立， 整理得：， 当时，成立， 当时， 令， ， ， ， ， 故， 故 【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题
