1、一一 波函数波函数(量子力学基本原理之一）量子力学基本原理之一）波函数的物理意义波函数的物理意义 (玻恩统计诠释玻恩统计诠释),r t波函数波函数 本身没有直接的物理意义。它并不像经本身没有直接的物理意义。它并不像经典波那样代表什么实在的物理量的波动，而其模方典波那样代表什么实在的物理量的波动，而其模方 trtrtr,2r表示表示 t t 时刻微观粒子在空间时刻微观粒子在空间 点出现的相对概率密度点出现的相对概率密度一个微观客体在时刻一个微观客体在时刻 t t 状态状态,用波函数用波函数 (一般是复函数一般是复函数 )完全描述完全描述.tzyx,为了定量描述微观粒子的状态为了定量描述微观粒子的
2、状态“量子力学量子力学”引入了引入了19-8 19-8 量子力学简介量子力学简介微观粒子具有波粒二象性微观粒子具有波粒二象性单色平面波单色平面波)22cos().(xtAtx复数形式复数形式)(2)22().(xtixtiAeAetx一个沿一个沿x x方向作匀速直线运动的自由粒子方向作匀速直线运动的自由粒子(能量为能量为E,E,动量为动量为p px x)具有波粒二象性：具有波粒二象性：由德布罗依关系式由德布罗依关系式hpxhE 代入上式代入上式/)(0)(20).(xpEtixpEthixxeetx（三维）（三维）自由粒子波函数自由粒子波函数 /)(0).(rpEtietr例例2h2.2.统计
3、诠释及其它物理条件对波函数提出的要求统计诠释及其它物理条件对波函数提出的要求1 1）.空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值式中式中dxdydzdV 2 2）.粒子在空间各点的概率的总和为粒子在空间各点的概率的总和为 1-1-波函数归一化条波函数归一化条件件1,2dVtrV 0 0 是任意有限体积元是任意有限体积元满足该条件为归一化波函数满足该条件为归一化波函数.3 3）.要求要求2,tr单值单值 一般情况下一般情况下,物理上要求物理上要求波函数是有限，连续和单值的波函数是有限，连续和单值的 -波函数标准化条件波函数标准化条件有限值dVtr02,a
4、b只打开只打开a a11c11111ccP只打开只打开 b b22c22222ccP两缝同时打开两缝同时打开2211cc21PPP121221212222111122112211)()(ccccccccccccP干涉项干涉项波函数可以相加，其概率不能相加波函数可以相加，其概率不能相加波函数遵从叠加原理波函数遵从叠加原理:实验证实实验证实,以双缝实验为例以双缝实验为例 3.3.叠加原理；如果叠加原理；如果 都是体系的可能状态，那么它的线性叠加，也是这个体系的一个都是体系的可能状态，那么它的线性叠加，也是这个体系的一个可能态。可能态。n,21nnnnncccc2211为任意常数nccc,211).
5、1).微观粒子的状态用波函数描述，与经典物理不同，波函数微观粒子的状态用波函数描述，与经典物理不同，波函数没有对应的物理量，它不能测量，一般是复数没有对应的物理量，它不能测量，一般是复数.例如：一维自由粒子的波函数例如：一维自由粒子的波函数)(0),(pxEthietxdVtrdVtrtr2),(),(),(t t时刻，在时刻，在 附近，附近，内，找到粒子的概率内，找到粒子的概率rdV 玻恩统计诠释玻恩统计诠释波函数波函数 是概率振幅，简称是概率振幅，简称 概率幅概率幅C描述同一个状态，因为，对于概率分布描述同一个状态，因为，对于概率分布来说，重要的是相对概率分布。来说，重要的是相对概率分布。
6、2).2).波函数的物理意义波函数的物理意义：小结：小结：波函数波函数),(),(),(),(212221trtrtrCtrC 3).3).概率波概率波 -量子力学是一种统计理论与经典决定论不同量子力学是一种统计理论与经典决定论不同（存在长时期的争沦）（存在长时期的争沦）4).4).波函数应满足的标准条件波函数应满足的标准条件（物理要求）（物理要求）以后会看到，有些情况下能量量子化以后会看到，有些情况下能量量子化就是源于这些条件的限制就是源于这些条件的限制连续性连续性 有限性有限性 单值性单值性 归一化条件归一化条件.5).5).波函数遵从叠加原理波函数遵从叠加原理:实验证实实验证实,波函数（
7、概率幅）可以相加波函数（概率幅）可以相加概率不能相加概率不能相加问题的提出：问题的提出：物理讨论会（物理讨论会（1926）薛定谔：你能不能给我们薛定谔：你能不能给我们讲一讲讲一讲De Broglie的那篇的那篇学位论文呢？学位论文呢？瑞士联邦工业大学瑞士联邦工业大学 一月以后：薛定谔一月以后：薛定谔向大家介绍了德布罗向大家介绍了德布罗意的论文。意的论文。你这种谈论太幼稚，作为你这种谈论太幼稚，作为索末菲的门徒，都知道：索末菲的门徒，都知道：处理波要有一个波动方程处理波要有一个波动方程才行啦！才行啦！德德拜拜薛薛定定谔谔二、二、薛定谔方程薛定谔方程 (量子力学基本原理之二量子力学基本原理之二）瑞
8、士联邦工业大学瑞士联邦工业大学德德拜拜又过了几个星期又过了几个星期薛薛定定谔谔我的同行提出，要有一个我的同行提出，要有一个波动方程，今天我找到了波动方程，今天我找到了一个：一个：)(222xyztUmti氢原子能量：氢原子能量：光谱波长：光谱波长：激发态寿命：激发态寿命：薛定谔：薛定谔：方程方程能解很多好东西。能解很多好东西。若问这是为什么？若问这是为什么？谁也不知道！谁也不知道！散会后：散会后：以自由粒子为例建立以自由粒子为例建立Schrding方程方程原来薛定谔方程是利用原来薛定谔方程是利用经典物理，用类比的办经典物理，用类比的办法得到的，或者说开始法得到的，或者说开始只不过是一个假定，尔
9、只不过是一个假定，尔后为实验证实。我们从后为实验证实。我们从特例出发，推广得出这特例出发，推广得出这个方程。个方程。物理讨论会（物理讨论会（1926）（非相对论条件下讨论）（非相对论条件下讨论）,iEt pxx tA e一个沿一个沿 x 方向运动的方向运动的自由粒子自由粒子,可用一维平面波函数描述可用一维平面波函数描述经典波动微分方程经典波动微分方程222221yyxut2222px2222Et消去消去222222pxEtkEE对于自由粒子对于自由粒子mpE22)(cosuxtAy原则原则:(一一)波函数满足叠加原理波函数满足叠加原理,(二二)方程应具有粒子各种状态都能满足的普方程应具有粒子各
10、种状态都能满足的普 适性质适性质.iEt2222(,)(,)x tpx tx(,)(,)x tiEx ttmpE22222()2ix,ttm x2()2pEx,tm02222(,)(,)22x tpx tmxm(,)(,)x tiEx tt222()()2ix,tx,ttm x,iEt pxx tA e22,2ir tr ttm-自由粒子的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程222()()2ix,tx,ttm x 推广到三维：推广到三维：222222xyz,iEt p rr tA empE222 一般情况：一般情况：在势场在势场 trEp,中运动的粒子中运动的粒子 trEmpEp,22 trtrEm
11、trtip,2,22 薛定谔方程普遍形式薛定谔方程普遍形式1 1 薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设；薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设；3 3 薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程；薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程；知道初始时刻波函数，就可以确定以后任何时刻知道初始时刻波函数，就可以确定以后任何时刻的波函数的波函数.讨论讨论:2 2 薛定谔方程的解满足态叠加原理薛定谔方程的解满足态叠加原理若若 和和 是薛定谔方程的解，是薛定谔方程的解，),(2tr),(1tr 则则 也是薛定谔方程的解。也是薛定谔方程的解。),(),(2211trctrc 这是因为薛定谔方程是线性偏微分方程。这是因为
12、薛定谔方程是线性偏微分方程。trtrEmtrtip,2,22 4 4 薛定谔方程中含有虚数薛定谔方程中含有虚数 i i所以它的解所以它的解 必然是复数，必然是复数，只有只有 的模方才有直接的物理意义。的模方才有直接的物理意义。(,)r t(,)r t trtrEmtrtip,2,22 5 5 一般情况下一般情况下,物理上要求物理上要求波函数满足有限，波函数满足有限，连续，单值的波函数标准化条件和归一化条件连续，单值的波函数标准化条件和归一化条件定态薛定谔方程定态薛定谔方程则薛定谔方程的一般表达式则薛定谔方程的一般表达式 trrEmtrtip,2,22 设一个特解设一个特解代入薛定谔方程，得：代
13、入薛定谔方程，得：tfrtr ,rrEmtftftirp 222 rrEmrtfdtdtfip 2221 rEpE令令与时间无关时与时间无关时 trEp,当势函数当势函数左边左边:右边右边:-定态薛定谔方程定态薛定谔方程 tEftfdtdi EtiCetf rErrEmEEp 222 rrEmrtfdtdtfip 2221 tfrtr,EEdtitftdf)()(常数常数 E 就是能量就是能量与自由粒子波函数对比可知，与自由粒子波函数对比可知，0)(222 rEEmrp 讨论讨论:只有某些只有某些 E 值对应的解才是物理上可接受的值对应的解才是物理上可接受的 -能量本征能量本征值值2.能量本征
14、值所对应的波函数称为能量本征值所对应的波函数称为能量本征函数能量本征函数.rEE3.这一方程又称为这一方程又称为能量本征值方程。能量本征值方程。定态薛定谔方程：定态薛定谔方程：定态定态:能量取确定值的状态能量取确定值的状态定态波函数定态波函数,iEtEr tCr e4.这一波函数所描述的量子态称为这一波函数所描述的量子态称为定态定态。0)(222 rEEmrp 概率密度分布概率密度分布22)(),(rCtrE 不随时间变化不随时间变化一维定态薛定谔方程：一维定态薛定谔方程：例如：对自由粒子，例如：对自由粒子，Ep（x）=0，一维情况下，上式，一维情况下，上式成为：成为：其解为其解为20()im
15、E xxB e0ip xB e2pmE()0iEtp xe 这正是自由粒子的波函数，这正是自由粒子的波函数，E 正是粒子的能量，正是粒子的能量，p正正是粒子的动量。是粒子的动量。EtiCetf ,x tx f t0iip xEtB eCe其中其中0)()(2)(222 xEEmdxxdp 0)(2)(222 xmEdxxd xEp axxaxo ,00势阱内势阱内 ax 002222 mEdxd则则0222 kdxd其通解其通解势阱外势阱外 axx ,00)(x（有限条件）（有限条件）a三三 一维无限深方势阱问题一维无限深方势阱问题 0)(2222 xEEmxdxdp pmEhmEk 2822
16、 令令 kxAxsin 22 hhoaxEp式中式中 A,为待定系数为待定系数 0,00,0 aax 处处在在 0,00)1 要要求求anmEk 2与本征值与本征值 En 对应本征函数对应本征函数 0sin)2 kaAa nkaka 0sin aAdxxan/2,1)320 可可求求用用 )0()sin(2axxanaxn （单值，连续条件）（单值，连续条件）（归一化条件）（归一化条件）kxAxsin本本征征能能量量 222222282mahnmanEEn )sin(xanAxn 0 n,2,1 n阱外阱外 x 0,x a 0 xn 势阱内势阱内ax0 )sin(2xanaxn )2()2(2
17、21)2cos(2sin2 axniaxnineeaxanaxanax )2()2(221)(,EtaxniEtaxniiEtnneeaextxx正向波正向波x反向波反向波讨论讨论:(1)(1)无限深方势阱中粒子能量量子化无限深方势阱中粒子能量量子化 n n是量子数，是量子数，E En n是能量本征值，又称能级是能量本征值，又称能级.(2)(2)无限深方势阱粒子能谱为离散能谱，能级分布不均匀无限深方势阱粒子能谱为离散能谱，能级分布不均匀 n n越大越大,能级间隔越大。能级间隔越大。基基态态 22212maE 其余称为激发态其余称为激发态(3)(3)势阱中粒子波函数是驻波势阱中粒子波函数是驻波
18、基态除基态除 x=0,x=a x=0,x=a 无节点无节点.第一激发态有一个节点第一激发态有一个节点,k k 激发态有激发态有 k=n-1k=n-1个节点个节点.(4)(4)概率密度分布不均匀概率密度分布不均匀当当 n n 时时过渡到经典力学过渡到经典力学四四 对应原对应原理理在某些极限条件下在某些极限条件下,量子规律可以转化为经典规律量子规律可以转化为经典规律量子物理的对应原理量子物理的对应原理本征能量本征能量 222222282mahnmanEEn 相邻能级间隔相邻能级间隔2218)12(mahnEEEnn 能级的相对间隔能级的相对间隔nmahnmahnEEnn288222222 时时当当
19、 n0 nnEE能量连续能量连续量子规律转化为经典规律量子规律转化为经典规律例例五五 一维方势垒一维方势垒 隧道效应隧道效应1.1.散射问题和势垒穿透散射问题和势垒穿透定态问题有两种态定态问题有两种态束缚态：束缚态：(一维一维 )x)x时时,(x)(x)0 0，E E U(x),U(x),离散能量离散能量散射态：散射态：(一维一维 )x)x 时时,(x)(x)0 0，能量连续，能量连续对散射问题对散射问题已知粒子能量已知粒子能量 E,E,求解定态薛定谔方程解求解定态薛定谔方程解.-粒子受势场作用被散射到个方向去的概率粒子受势场作用被散射到个方向去的概率2.2.势垒势垒 隧道效应隧道效应考虑考虑
20、 E EEpEp0 0 的情况的情况 研究穿透问题研究穿透问题Ep(x)Ep(x)x x0 0a aEpEp0 0 xEpEpEp0 0 0 0,2112220dmEdxh0121122kdxdEhmk221202202222pEEhmdxdEhmkp0222E20222222kdxd 0232322Ehmdxd0323322kdxd2123kk UE 0)(2222xEEmxdxdpEp(x)x0aEp00121122kdxd0222222kdxd0323322kdxd 上述各方程的解上述各方程的解 xikxikeBeAx11111入射入射 反射反射 xkxkeBeAx22222衰减衰减 3
21、3333ik xik xxAeB e入射入射 (反射反射)无反射无反射03B求求 A1,B1,-.入射波的概率密度入射波的概率密度1133AAAA透射波的概率密度透射波的概率密度连续条件连续条件 020121000 xxdxddxdx axaxdxddxdaaax3232 xikxikeBeAx11111 xkxkeBeAx22222 333ik xxA e)1(2211BABA111222()()(2)ik ABkAB322223(3)ik ak ak aAeBeAe322222 233(4)ik ak ak ak AeB k eik Ae 由波函数的标准条件：由波函数的标准条件：D穿透系数
22、穿透系数Ep(x)x0aEp0)1(2211BABA)2()()(222111BAkBAik322223(3)ik ak ak aAeB eAe322222 233(4)ik ak ak ak AeB k eik Ae322222333(3)(4)2()ik ak akk Aek Aik A e32232322ik ak akikAeAek)4()3(2 k32232322ik ak akikBeA ek考虑考虑1)(212ahEUmak211)1(BBA22111)()2(BkBAik1(1)(2)ik111222()ik Aikk B3212122312311 224iK ak aikki
23、kkkikABeAeikikk3231/14ikakai fifAe eEUEkkf02120A hEUmaakeDeffAAAAD02220222211331160D讨论讨论(1)设粒子为设粒子为 e U0-E=1ev 则当则当 a=2x10-10m D 0.44 a=5x10-10 m D O.O16 质子质子 U0-E=1ev a=2x10-10 m D 2x10-38 当当 m,U0-E 及及 a 为微观尺度时为微观尺度时,(特别对于特别对于 e)穿透系数有一定值穿透系数有一定值.若为宏观尺度若为宏观尺度 D 0 势垒穿透势垒穿透(隧道效应隧道效应)是一种微观现象是一种微观现象,是粒子
24、波动性的表现是粒子波动性的表现.穿透系数穿透系数3212122312311 224iK ak aikkikkkikABeAeikikk3231/14ikakai fifAe e(2)从经典力学的观点看从经典力学的观点看 022pEmpE 在势垒区在势垒区,动能为负值动能为负值,动量将为虚数动量将为虚数,(经典理论不允许经典理论不允许,称隧道效应佯缪称隧道效应佯缪).佯缪不存在：能量不能分离成动能和势能佯缪不存在：能量不能分离成动能和势能(测不准关系测不准关系),经经典理论不适用于微观现象典理论不适用于微观现象.(3)当当 E Ep或或E Ep 经典经典 粒子一定越过或不越过势垒粒子一定越过或不
25、越过势垒 量子力学量子力学 有透射与反射有透射与反射dxhEEmpeDdD220 xdxEpab bapdxExEmheDD220022pkEEmpEEEp0 势垒穿透隧道效应：势垒穿透隧道效应：粒子将部分被势垒反射粒子将部分被势垒反射,部分穿透势垒部分穿透势垒,-隧道效应或势垒贯穿隧道效应或势垒贯穿20aDD e隧道特征长度隧道特征长度EU0a隧道效应已完全被实验证实隧道效应已完全被实验证实,并制成并制成扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜例例对电子计算对电子计算m=9.110-31kgSJ 34101.1JeVEEp1901085则对不同的势垒宽度则对不同的势垒宽度a,D的数量级的数量级)(0Aa
26、1.0 2.0 5.0 10.0D0.1 1.210-2 1.710-5 3.010-1001.aA每 增 加，D 减 少 一 个 数 量 级hEEmapeDD022000DEEp穿透系数，但虽然)(20EEmp扫描隧道显微镜年由扫描隧道显微镜年由G.Binig G.Binig 和和H.Rohrer H.Rohrer 首先研制成功首先研制成功 针尖非常尖锐针尖非常尖锐,接近原子尺寸接近原子尺寸.针尖与表面接近到零点几毫米时针尖与表面接近到零点几毫米时,电子波电子波 函数重叠函数重叠,若加一小的直流电位差若加一小的直流电位差,出现出现 隧道电流隧道电流 I,I,电流对针电流对针尖尖 表面距离表面
27、距离 d d 十分敏感十分敏感,d,d 增加增加0.1 nm,I 0.1 nm,I 减小一个数量级减小一个数量级.保持保持 I I 不变不变,针尖的轨道提供了表面电子云分布或原子分布状针尖的轨道提供了表面电子云分布或原子分布状况况.横向分辨率达到横向分辨率达到 0.1 nm,0.1 nm,纵向分辨率达到纵向分辨率达到 0.001 nm0.001 nm可以分辨出表面单个原子和原子台阶可以分辨出表面单个原子和原子台阶,原子结构原子结构,超晶格结超晶格结构构,表面缺陷细节表面缺陷细节,观测活体观测活体 DNA DNA 基因基因,病毒病毒.六六 谐振子谐振子1.1.线性谐振子定态薛定谔方程线性谐振子定
28、态薛定谔方程 mkkxxmxEp,2121222势能 xExxEdxdmp2222xm,令0222dd xExxmdxdm22222212mx122221dmddx22221mx Emmddmm22222212 Edd22222 Edd2222E2令2.波函数波函数 在在 的渐进行为的渐进行为很大时，很大时，20222dd取取3.满足束缚态边界条件的级数解满足束缚态边界条件的级数解22 e其解22e ue22代入方程，代入方程，得到得到 u()所满足的厄米微分方程：所满足的厄米微分方程：01222uuddudd0222dd通解可写成通解可写成 发散因而的渐进解xeu,2u()必须中断为必须中断
29、为有限项多项式有限项多项式,必要条件必要条件 =2n+1(奇数奇数),n=0,1,2,-221eddeHunnnn-厄米多项式厄米多项式 12016032,124816128,24,2,1355244332210HHHHHH4.能量本征值的零点能能量本征值的零点能12,2nE01222uuddudd21nEn零点能零点能(基态能量基态能量)为为:210E5.能量本征函数和宇称能量本征函数和宇称线性谐振子定态波函数为线性谐振子定态波函数为 xHeAxnxnn222!2 nAnn其中 3,2,1,0,2121nnE4.能量本征值的零点能能量本征值的零点能12,2nEExm2,图图 线性谐振子的位置
30、概率密度分布线性谐振子的位置概率密度分布 xHeAxnxnn222图图 线性谐振子的波函数线性谐振子的波函数讨论讨论1.由图可见由图可见当为当为 n偶数时偶数时:线性谐振子处于偶宇称线性谐振子处于偶宇称 xxnn当为当为 n奇数时奇数时:线性谐振子处于奇宇称线性谐振子处于奇宇称 xxnn来源于来源于空间反演不变性空间反演不变性 xUxUxx,2.量子力学量子力学n较小时较小时,位置的概位置的概率密度分布与经典完全不同率密度分布与经典完全不同.随着随着 n,如如n=11时量子和经时量子和经典在平均上比较符合典在平均上比较符合.0 xUn=0n=1n=2n=3hE210hE230hE250hE27
31、0221kxU 202122233.一维谐振子能级和概率密度分布一维谐振子能级和概率密度分布可以看出可以看出U=U(x)以外概率密度不为以外概率密度不为0隧道效应隧道效应相对能级间隔相对能级间隔211)21(nhnhEE当当n0EE能量可以连续变化（经典）能量可以连续变化（经典）例例1:求线性谐振子在第一激发态时求线性谐振子在第一激发态时,概率最大的位置概率最大的位置.解解:第一激发态波函数为第一激发态波函数为 mxHHeA,2,112112令令 021dd1,03,21可得10 xm因此有mx0!2 nAnn其中小结小结:1.2221xmxU势能 xExxmdxdm22222212Exm2,
32、令2.无量纲化无量纲化0)(222dd3.波函数波函数 在在 的渐进行为的渐进行为 He2201222HHddHdd用级数法解用级数法解4，asssa)2)(1(12220)(saH1000或sa0as,0,a011同为或或s5，级数发散，为使，级数发散，为使 He22有限，中断有限，中断12 nnn,3,2,1,0nnnnnaH0)(122 nhE能量量子化能量量子化1)(0H2)(1H24)(22H取取10a讨论讨论 1.能量量子化能量量子化 能量本征值的能量本征值的 零点能零点能12 n122nhE21nEn零点能零点能(基态能量基态能量)为为:210E2，波函数，波函数 能量本征函数能量本征函数 宇称宇称线性谐振子定态波函数为线性谐振子定态波函数为 xHeAxnxnn222!2 nAnn其中1)(0H2)(1H24)(22Hm 20022xeAx 211222xexAx 2122222)24(xeAxxxxx12nh12h3.量子力学量子力学n较小时较小时,位置的概率密度分布与经典完全不同位置的概率密度分布与经典完全不同.随着随着 n,如如n=11时量子和经典在平均上比较符合时量子和经典在平均上比较符合.
