1、3.3幂函数第三章 基本的概念与性质引例引例.(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数;(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 s=a2,这里s是a的函数;(3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积V=b3,这里V是b函数;(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长 c=S1/2 这里S是a的函数;(5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v=t-1 km/s 这里v是t的函数.以上问题中的函数具有什么共同特征？以上问题中的函数具有什么共同特征？答案底数为变量，指数为常数.答案一般地，叫做幂函数，其中x是
2、自变量，是常数.函数yx以上问题中的函数具有什么共同特征？以上问题中的函数具有什么共同特征？一一新新课课讲解讲解一一.幂函数的定义幂函数的定义 一般地，函数一般地，函数 叫做幂函数叫做幂函数（power function），其中），其中x是自变量，是自变量，是常数是常数.xy 几点说明：几点说明：1)中中 前面系数是前面系数是1,并且后面也没有常数项；并且后面也没有常数项；xy x2)要确定一个幂函数，需要一个条件就可以，即把常数要确定一个幂函数，需要一个条件就可以，即把常数 确定下来确定下来;3)幂函数和指数函数的异同：两者都具有幂的形式，但幂函数和指数函数的异同：两者都具有幂的形式，但指数
3、函数的自变量位于指数上，幂函数的自变量是底数指数函数的自变量位于指数上，幂函数的自变量是底数.二幂函数的图象与性质思考如图在同一坐标系内作出函数(1)yx；(3)yx2；(4)yx1；(5)yx3的图象.122 yx；答案填写下表：yxyx2yx3yx1定义域值域奇偶性单调性增在0，)上，在(，0 上 在(0，)上，在(，0)上_12yx；RRR0，)x|x00，)RR0，)y|y0奇偶奇非奇非偶奇增减增增减减根据上表，可以归纳一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图象都过点 ；(2)0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间0，)上是 函数.特别地，当1时，幂函数的图象；当0
4、1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从到的顺序排列.答案(1,1)原点增下凸上凸1或xg(x)；(2)当x1或x1时，f(x)g(x)；(3)当1x1且x0时，f(x)g(x).反思与感悟反思与感悟注意本题中对f(x)g(x)，f(x)g(x)的几何解释.这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式方程，是以后常用的方法.类型三幂函数性质的综合应用例3(1)探讨函数 的单调性.解析答案 12fxx解 的定义域为(0，).12fxx任取x1，x2(0，)，且x1x10，所以x1x2f(a1)等价于2aa10，解析答案C答案DA.1,3 B.1,1C.1,3 D.1,1,3答案A
5、4.下列是 的图象的是()答案23yxB5.以下结论正确的是()A.当0时，函数yx的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C.若幂函数yx的图象关于原点对称，则yx在定义域内y随x的增大 而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限答案D规律与方法1.幂函数yx(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.2.幂函数yx的图象与性质由于的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)0时，图象过(0,0)，(1,1)在第一象限的图象上升；0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0时，曲线下凸.
