1、 如图是两组形状、大小完全相同的图形如图是两组形状、大小完全相同的图形.用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形放在一起，它们完全重合吗与另一个图形放在一起，它们完全重合吗？做一做做一做（1）（2）（1）（2）我发现它们可以完全重合我发现它们可以完全重合结论结论 我们把能够完全重合的两个图形叫我们把能够完全重合的两个图形叫作作全等图形全等图形.像上面能够完全重合的三角形叫像上面能够完全重合的三角形叫ABCABCABCABCABCABCABCABCBACABC全等三角形 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.记
2、做：记做：ABCABC 读做读做：ABC全等于ABC小提示 全等用符号全等用符号“”表示，读作表示，读作“全全等于等于”.在表示两个三角形全等时，通常把在表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上表示对应顶点的字母写在对应位置上.结论结论 全等三角形全等三角形的对应边相等的对应边相等；全等三角形的全等三角形的对应角相等对应角相等.我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，能够完全重合的两个角是相等的，由此得到：能够完全重合的两个角是相等的，由此得到：例如例如，A=A B=B C=C.,AB=A B BC=B C CA=C A.,例例1
3、 如图，已知如图，已知ABC DCB，AB=3，DB=4，A=60.（1）写出写出ABC和和DCB的对应边和对应角的对应边和对应角；（2）求求AC，DC的长及的长及D的度数的度数.解解（1）AB与与DC，AC与与DB，BC与与CB是对应边；是对应边；A与与D，ABC与与DCB，ACB与与DBC是对应角是对应角.（2）ACAC与与DBDB，ABAB与与DCDC是全等三角形的对应边，是全等三角形的对应边，AC=DB=4 AC=DB=4，DC=AB=3.DC=AB=3.AA与与D D是全等三角形的对应角，是全等三角形的对应角，D=A=60D=A=60.思考 如果已知两个三角形有两边一角如果已知两个三
4、角形有两边一角对应相等时，应分为几种情形讨论？对应相等时，应分为几种情形讨论？边角边边角边边边角边边角（角夹在两条边的中间，（角夹在两条边的中间，形成两边夹一角）形成两边夹一角）（角不夹在两边的中间，角不夹在两边的中间，形成两边一对角形成两边一对角）边角边边角边（角夹在两条边的中间，形成两边夹一角）（角夹在两条边的中间，形成两边夹一角）做一做做一做已知两条线段和一个角，以这两条线段为边，已知两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为这两条边的夹角，画一个三角形以这个角为这两条边的夹角，画一个三角形 3cm4cm456cm3cm120步骤：步骤：1 1、画一线段、画一线段ABAB，使它等于，
5、使它等于4cm4cm；2 2、画、画MABMAB4545；3 3、在射线、在射线AMAM上截取上截取ACAC3cm3cm；4 4、连结、连结BCBCABCABC即为所求即为所求ABMC4cm4cm45453cm3cm、请同学们把画好的三角形剪下来、请同学们把画好的三角形剪下来,并和同桌进行比较并和同桌进行比较,两人的三角形全等两人的三角形全等吗吗?、小组长把本组剪好的三角形收齐、小组长把本组剪好的三角形收齐并进行比较并进行比较,所有的三角形全等吗所有的三角形全等吗?由此得到判定两个三角形全等的基本事实：结论 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.通常可简写成
6、“边角边”或“SAS”.注意：边角边定理中的角是指两边的夹角.用几何语言表达为：在ABC与DEF中AB=DEB=EBC=EFABCDEF（SAS）ABCDEF|例例2 已知：如图，已知：如图，AB和和CD相交于相交于O，且，且AO=BO，CO=DO.求证：求证：ACOBDO.证明：证明：在在ACO和和BDO中，中，ACOBDO.（SAS）AO=BO，AOC=BOD，（对顶角相等对顶角相等）CO=DO，练习练习1.如图，将两根钢条如图，将两根钢条AA和和BB的中点的中点O连在一起，使连在一起，使钢条可以绕点钢条可以绕点O自由转动，就可做成测量工件内槽自由转动，就可做成测量工件内槽宽度的工具宽度的
7、工具（卡钳卡钳）.只要量出只要量出 AB的长，就得出的长，就得出工件内槽的宽工件内槽的宽AB.这是根据什么道理呢这是根据什么道理呢？解解 ABOABO，AB=AB.2.如图，如图，ADBC，AD=BC.问：问：ADC和和CBA 是全等三角形吗是全等三角形吗？为什么为什么？解解 ADBC ADCCBA.DAC=BCA，又又 AD=BC，AC公共公共 3.已知：如图，已知：如图，AB=AC，点，点E，F分别是分别是AC，AB的中点的中点.求证：求证：BE=CF.解解 AB=AC,且且 E，F分别是分别是 AC，AB中点中点，ABEACF，AF=AE，又又 A公共公共，BE=CF.如图，在如图，在A
8、BC和和 中，如果中，如果BC=，B=B，C=C，你能通过平移、，你能通过平移、旋转和轴反射等变换使旋转和轴反射等变换使ABC的像与的像与 重重合吗合吗？那么那么ABC与与 全等吗全等吗？A B C B C A B C A B C探探 究究 类似于基本事实类似于基本事实“SAS”的探究，同样的探究，同样地，我们可以通过平移、旋转和轴反射等变地，我们可以通过平移、旋转和轴反射等变换使换使ABC的像与的像与ABC重合，因此重合，因此ABC ABC结论结论由此得到判定两个三角形全等的基本事实：由此得到判定两个三角形全等的基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等两角及其夹边分别相等的两个三角形全
9、等.通常可简写成通常可简写成“角边角角边角”或或“ASA”.”.例例3 已知：如图，点已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线上，在同一条直线上，ABDC，AB=CD，B=D.求证：求证：ABECDF.证明证明 ABDC，A=C.在在ABE和和CDF中，中，ABECDF（ASA）.A=C，AB =CD，B=D，例例4 如图，为测量河宽如图，为测量河宽AB，小军从河岸的，小军从河岸的A点沿着和点沿着和 AB垂直的方向走到垂直的方向走到C点，并在点，并在AC的中点的中点E处立一根标杆，然处立一根标杆，然后从后从C点沿着与点沿着与AC垂直的方向走到垂直的方向走到D 点，使点，使D，E，B恰恰好在一条
10、直线上好在一条直线上.于是小军于是小军 说：说：“CD的长就是河的宽的长就是河的宽.”你能说出这个道理吗？你能说出这个道理吗？图图3-35ABECD解：解：在在AEB和和CED中，中，A=C=90，AE=CE，AEB=CED(对顶角相等对顶角相等)AEB CED.（ASA）AB=CD.(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)因此，因此，CD的长就是河的宽度的长就是河的宽度.练习练习1.如图，工人师傅不小心把一块三角形玻璃打碎如图，工人师傅不小心把一块三角形玻璃打碎 成三块，现要到玻璃店重新配一块与原来一样成三块，现要到玻璃店重新配一块与原来一样 的三角形玻璃，只允许带其中的一块玻璃碎片
11、的三角形玻璃，只允许带其中的一块玻璃碎片 去去.请问应带哪块玻璃碎片去请问应带哪块玻璃碎片去？为什么为什么？答：应带玻璃碎片答：应带玻璃碎片去去;只有这块玻璃具备决定全只有这块玻璃具备决定全等三角形的几个条件等三角形的几个条件:在在直角三角形中已知一个锐直角三角形中已知一个锐角和一条直角边，由角和一条直角边，由AAS判定定理即可确定两个三角形全等，故应带判定定理即可确定两个三角形全等，故应带这块玻璃去这块玻璃去.2.已知：如图，已知：如图，ABC ，CF，分别是分别是ACB和和 的平分线的平分线.求证：求证：A B C C F A C B CF=C F .证明：证明：ABCABC，A=A ,A
12、CB=ACB.AC=AC证明：证明：CF=CF.又又CF，CF分别是分别是ACB和和ACB的平分线的平分线，ACF=ACF.ACFACF在在ABC和和 中，中，A B C A=A，B=B，C=C.又又 ，B=B，BC=B C ABC=ABC.(ASA).结论结论由此得到判定两个三角形全等的定理：由此得到判定两个三角形全等的定理：两角分别相等且其中一组等角的对边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等相等的两个三角形全等.通常可简写成通常可简写成“角角边角角边”或或“AAS”.”.例例5 已知：如图，已知：如图，B=D，1=2，求证：求证：ABCADC.证明证明 1=2，ACB=AC
13、D（同角的补角相等同角的补角相等）.在在ABC和和ADC中，中，ABCADC（AAS）.B=D，ACB=ACD，AC=AC，例例6 已知：如图，点已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，在同一条直线上，ACFD，A=D，BF=EC.求证：求证：ABCDEF.证明证明 ACFD，ACB=DFE.BF=EC，BF+FC=EC+FC，即即 BC=EF.在在ABC 和和DEF中，中，ABC DEF（AAS）.A=D，ACB=DFE，BC=EF，练习练习1.已知：如图，已知：如图，1=2，AD=AE.求证：求证：ADCAEB.ADCAEB（AAS）.1=2，A=A，AD=AE，证明证明 在在ADC
14、和和AEB中，中，2.已知：在已知：在ABC中，中，ABC=ACB，BDAC于点于点D，CEAB于点于点E.求证：求证：BD=CE.证明证明 由题意可知由题意可知BEC和和BDC均为直角三角形均为直角三角形，在在RtBEC和和RtCDB中，中，ABC=ACB，BC=BC，RtBEC RtCDB（AAS）.BEC=CDB=90，探究探究 如图，在如图，在ABC和和 中，如果中，如果 ，那么，那么ABC与与 全等吗全等吗？A B C BC=BC AB=A B ABC 如果能够说明如果能够说明A=A，那么就可，那么就可以由以由“边角边边角边”得出得出ABCABC.CA=CA 将将ABC作平移、旋转和
15、轴反射等变换，作平移、旋转和轴反射等变换，使使BC的像的像 与与 重合，并使点重合，并使点A的像的像 与点与点 在在 的两旁，的两旁，ABC在上述变换在上述变换下的像为下的像为 B C B CAA B C A B C .由上述变换性质可知由上述变换性质可知ABC ，A B C则则 ，AB=A B=A B AC=A C=A C .连接连接 A A .1=2，3=4.从而从而1+3=2+4，A B=A B A C=A C即即 B A C=B A C .在在 和和 中，中，A B C A B C （SAS）.A B C A B C ABC.A B C ，A B=A B B A C=B A C，A C
16、=A C，结论结论由此可以得到判定两个三角形全等的基本事实：由此可以得到判定两个三角形全等的基本事实：三边分别相等的两个三角形全等三边分别相等的两个三角形全等.通常可简写成通常可简写成“边边边边边边”或或“SSS”.”.例例7 已知：如图，已知：如图，AB=CD，BC=DA.求证：求证：B=D.证明：证明：在在ABC和和CDA中，中，ABC CDA.(SSS)AB=CD，BC=DA，AC=CA，(公共边公共边)B=D.例例8 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC，点，点D，E 在在BC上，且上，且AD=AE，BE=CD.求证：求证：ABDACE.证明证明 BE=CD，BE-DE
17、=CD-DE.即即 BD=CE.在在ABD和和ACE中，中，ABDACE（SSS）.AB=AC，BD=CE，AD=AE，结论结论 由由“边边边边边边”可知，只要三角形三边的长可知，只要三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小也就固度确定，那么这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.如日常生活中的定位锁、房屋的人字梁屋顶等都如日常生活中的定位锁、房屋的人字梁屋顶等都采用三角形结构，其道理就是运用三角形的稳定性采用三角形结构，其道理就是运用
18、三角形的稳定性.议一议议一议根据下列条件，分别画根据下列条件，分别画ABC和和ABC（1），B=B=45；3cmAB=A B=2.5cmAC=A C=满足上述条件画出的满足上述条件画出的ABC和和ABC 一定全等吗一定全等吗？由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论？满足条件的两个三角形满足条件的两个三角形不一定全等，由此得出：两不一定全等，由此得出：两边分别相等且其中一组等边边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不的对角相等的两个三角形不一定全等一定全等.（2）A=A=80，B=B=30，C=C=70.满足上述条件画出的满足上述条件画出的ABC和和 一一定全等吗定全等吗？由此你能得出
19、什么结论由此你能得出什么结论？A B C 满足条件的两满足条件的两个三角形不一定全个三角形不一定全等，由此得出：三等，由此得出：三角分别相等的两个角分别相等的两个三角形不一定全等三角形不一定全等.例例9 已知：如图，已知：如图，AC与与BD相交于点相交于点O，且且AB=DC，AC=DB.求证：求证：A=D.证明证明 连接连接BC.在在ABC和和DCB中，中，ABC DCB（SSS）.A=D.AB=DC，BC=CB（公共边公共边），），AC=DB，例例10 某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道.为估测这条隧道的长度为估测这条隧道的长度（如图如图），需测出这
20、，需测出这 座山座山A，B间的距离，结合所学知识，你能给间的距离，结合所学知识，你能给 出什么好方法吗出什么好方法吗？解解 选择某一合适的地点选择某一合适的地点O，使得从使得从O点能测出点能测出AO与与BO的长度的长度.这样就构造出两个三角形这样就构造出两个三角形.连接连接AO并延长至并延长至A，使，使 ；OA=OA连接连接BO并延长至并延长至B，使，使 ，OB=OB连接连接 ，A BOAB在在AOB和和 中，中，A OB ，OA=OAAOB=A OBOB=OB AOB （SAS）.A OB AB=A B .因此只要测出因此只要测出 的长度就能得到这座山的长度就能得到这座山A，B间的间的距离距
21、离.A B练习练习1.已知：如图，已知：如图，AB=AD，BC=DC.求证：求证：B=D.证明证明 如图，连接如图，连接AC.所以所以 ACB ACD(SSS).所以所以 B=D.在在ACB和和ACD中，中，AB=AD，BC=CD，AC=AC（公共边公共边），2.如图，在如图，在ABC和和DEC中，已知一些相等的边中，已知一些相等的边 或角或角（见下表见下表），请再补充适当的条件，从而能，请再补充适当的条件，从而能 运用已学的判定方法来判定运用已学的判定方法来判定ABCDEC.已知条件已知条件补充条件补充条件判定方法判定方法AC=DC，A=DSASA=D，AB=DEASAA=D，AB=DEAASAC=DC，AB=DESSSAB=DEB=EACB=DCEBC=EC
