1、4.1 因式分解4.2 第1课时 提公因式为单项式的因式分解4.2 第2课时 提公因式为多项式的因式分解4.3 第1课时 平方差公式4.3 第2课时 完全平方公式第四章 小结与复习最新北师大版八年级下册数学课件最新北师大版八年级下册数学课件4.1 因式分解因式分解第四章 因式分解学习目标1.解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.（重点）2.理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.（难点）导入新课导入新课复习引入问题1：21能被哪些数整除？1，3，7，21.问题2：你是怎样想到的？因为21=121=37.思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？可
2、以.因式分解的概念一讲授新课讲授新课问题：993-99能被100整除这个吗？所以，993-99能被100整除.32299-999999-99199(99-1)9998009899100 想一想想一想:993-99还能被哪些整数还能被哪些整数整除整除?探究引入问题探究如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？abcm方法一：m(a+b+c)方法二：ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc整式乘法?完成下列题目：x(x-2)=_(x+y)(x-y)=_(x+1)2=_x2-2xx2-y2x2+2x+1根据左空，解决下列问题：x2-2x=()()x2-y2=()()
3、x2+2x+1=()2xx-2x+yx-yx+1做一做联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式.区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.问题2：右边一栏表示的正是多项式的因式分解，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？总结归纳 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：辩一辩 A.x(ab)=axbx B.x21+y2=(x1)(x+1)+y2 C.y21=(y+1)(y1)
4、D.ax+by+c=x(a+b)+c E.2a3b=a22ab F.(x+3)(x3)=x29提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多项式(2)右边是积的形式.(3)右边的因式全是整式.做一做根据左面算式填空:(1)3x2-3x=_(2)ma+mb+mc=_(3)m2-16=_(4)x2-6x+9=_(5)a3-a=_计算下列各式:(1)3x(x-1)=_,(2)m(a+b+c)=_,(3)(m+4)(m-4)=_,(4)(x-3)2=,(5)a(a+1)(a-1)=_,3x2 -3xma+mb+mcm2-16x2-6x+9a3-a3x(x-1)m(a+b+c)(m+4)(m-4)(
5、x-3)2a(a+1)(a-1)想一想：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程.因式分解与整式乘法的关系二x2-1 (x+1)(x-1)因式分解整式乘法x2-1=(x+1)(x-1)等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？是互为相反的变形，即例 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x2）（x+3），求a，b的值.解：x2+ax+b=a（x2）（x+3）=a
6、x2+ax-6a.a=1，b=6a=6.典例精析方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可.下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是（）Ax2y2 Bx2+y2Cx2+y2 Dx2y2B练一练当堂练习当堂练习2.下列从左到右的变形中，是因式分解的有_.24x2y=4x6xy （x+5）（x5）=x225 x2+2x3=（x+3）（x1）9x26x+1=3x（x2）+1 x2+1=x（x+）3xn+2+27xn=3xn（x2+9）1.下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（）A.a(a+b-1
7、)=a2+ab-a B.a2-a-2=a(a-1)-2C.-4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b)D.2x+1=x(2+)Cx13.把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m+n的值为 解析：由题意可得 x2+4mx+5=(x+5)(x+n)=x2+(n+5)x+5n，5n=5，4m=n+5 解得n=1，m=，m+n=1+=.52523232 4.20042+2004能被2005整除吗?解:20042+2004=2004(2004+1)=2004 2005 20042+2004能被2005整除5.若多项式x4+mx3+nx16含有因式(x2)和(x1)，求mn的值.解
8、：x4+mx3+nx16的最高次数是4，可设x4+mx3+nx16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b 比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n 解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20.mn=520=1006.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1）(x+9)，求a+b的值.解：分解因式甲看错了b，但a是正确的，其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，a=6，同
9、理，乙看错了a，但b是正确的，分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10 x+9，b=9，a+b=15课堂小结课堂小结因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫做因式分解，也可称为_.其中，每个整式叫做这个多项式的_.与多项式乘法运算的关系 的变形过程.前者是把一个多项式化为几个整式的_，后者是把几个整式的_化为一个_.积 分解因式 因式 相反 多项式 乘积 乘积 4.2 提公因式法提公因式法第四章 因式分解 第1课时 提公因式为单项式的因式分解学习目标1.能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题；（重点）2.能简单运用提公因式法进行因式分解.（难点）导入新
10、课导入新课问题引入问题1：多项式ma+mb+mc有哪几项？问题2：每一项的因式都分别有哪些？问题3：这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因 式是什么？ma,mb,mc依次为m,a和m,b和m,c有，为m问题4：请说出多项式ab2-2a2b中各项的公共的因式.a,b,ab相同因式p这个多项式有什么特点？pa+pb+pc 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.讲授新课讲授新课确定公因式一例1 找 3x 2 6 xy 的公因式.系数：最大公约数3字母：相同的字母x 所以公因式是3x.指数：相同字母的最低次幂1典例精析u正确找出多项式各项公因式的关键是：1.定系数：公因式的系
11、数是多项式各项系数的最大公 约数.2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即 字母最低次幂.要点归纳写出下列多项式的公因式.（1）x-x2；（2）abc+2a；（3）abc-b2+2ab；（4）a2+ax2；练一练xaba提公因式为单项式的因式分解二观看视频学习 提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.(a+b+c )pa+pb+pcp=概念学习8a3b2+12ab3c；例2 分解因式：分析：提公因式法步骤（分两步）第一步:找出公
12、因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.解：8a3b2+12ab3c=4ab2 2a2+4ab2 3bc=4ab2(2a2+3bc)；如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公式？另一个因式将是2a2b+3b2c,它还有公因式是b.思考：以下是三名同学对多项式2x2+4x分解因式的结果：（1）2x2+4x=2(x2+2x)；（2）2x2+4x=x(2x+4)；（3）2x2+4x=2x(x+2).第几位同学的结果是正确的？用提公因式法分解因式应注意哪些问题呢？做乘法运算来检验易得第3位同学的结果是正确的.因式分解：12x2y+18xy2.解：原式=3xy(4x+6y).错误公因式
13、没有提尽，还可以提出公因式2注意：公因式要提尽.正确解：原式=6xy(2x+3y).问题1：小明的解法有误吗？易错分析当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.错误注意：某项提出莫漏1.解：原式=x(3x-6y).因式分解：3x2-6xy+x.正确解：原式=3xx-6yx+1x =x(3x-6y+1)问题2：小亮的解法有误吗？提出负号时括号里的项没变号错误因式分解：-x2+xy-xz.解：原式=-x(x+y-z).注意：首项有负常提负.正确解：原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z)问题3：小华的解法有误吗？例3 分解下列因式：解：(1)3x+x3=x 3+xx2=x(3
14、+x2)；33232332(1)3(2)721(3)812(4)241228xxxxa bab cabxxx (2)7x3 21x2=7x2x 7x23=7x2(x3)；(3)8a3b2 12ab3c+ab=ab8a2b ab12b2c+ab1=ab(8a2b12b2c+1)；(4)24x3+12x228x =(24x3 12x2+28x)=(4x6x2 4x3x+4x7)=4x(6x2 3x+7).例4 已知ab7，ab4，求a2bab2的值原式ab(ab)4728.解：ab7，ab4，方法总结：含ab，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用ab和ab表示的式子，然后将
15、ab，ab的值整体带入即可.1.多项式8xmyn112x3myn的公因式是（）AxmynBxmyn1C4xmynD4xmyn1解析：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大 公约数，为4；（2）字母取各项都含有的相同字母，为xy；（3）相同字母的指数取次数最低的，x为m次，y为n-1次；D当堂练习当堂练习2.把多项式4a3+4a216a分解因式（）Aa（4a24a+16）Ba（4a2+4a16）C4（a3a2+4a）D4a（a2a+4）D3.若ab=3，a2b=5，则a2b2ab2的值是（）A15 B15 C2 D8解析：因为ab=3，a2b=5，所以a2b2ab2=ab（a2b）=35=15
16、A4.计算（3）m+2（3）m1，得（）A3m1 B（3）m1C（3）m1 D（3）m解析：（3）m+2（3）m1 =（3）m1（3+2）=（3）m1C5.把下列多项式分解因式：(1)-3x2+6xy-3xz；(2)3a3b+9a2b2-6a2b.解：-3x2+6xy-3xz =(-3x)x+(-3x)(-2y)+(-3x)z =-3x(x-2y+z).3a3b+9a2b2-6a2b=3a2ba+3a2b3b-3a2b2=3a2b(a+3b-2)6.已知:2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值.解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 4=12.课堂小结课堂小结因式分解提 公
17、因 式 法（单 项 式）确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数分两步：第一步找公因式；第二步提公因式注意注意1.分解因式是一种恒等变形；2.公因式：要提尽；3.不要漏项；4.提负号，要注意变号4.2 提公因式法提公因式法第四章 因式分解 第2课时 提公因式为多项式的因式分解学习目标1.准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解；（重点）2.能运用整体思想进行因式分解.（难点）导入新课导入新课复习引入 1.多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号；2.公因式的系数是多项式各项_;3.字母取多项式各项中都含有的_;4.相同字母的指数取各项中最小的一个,即 _.提公因
18、式法因式分解的一般步骤：系数的最大公约数相同的字母最低次幂思考1：提公因式时，公因式可以是多项式吗？找找上面各式的公因式.思考2：公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？)()(yxbyxa)1()2()(3)(2cbcba)3()4()3(2)3(xbxa22)1()1(xyxy提公因式为多项式的因式分解讲授新课讲授新课例1 把下列各式分解因式（1）a(x-3)+2b(x-3)（2）解:（1）a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b)2211xyxy2211y xy x=y(x+1)(1+xy+y)(2)典例精析归纳总结1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式
19、的形式.2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.练一练：1.x(a+b)+y(a+b)2.3a(xy)(xy)3.6(p+q)212(q+p)=(a+b)(x+y)=(xy)(3a1)=6(p+q)(p+q-2)()()a xyb xy(1)()();a xyb yx(1)()()a xyb yx解：()xy()yx()()xy ab()b xy例2 把下列各式因式分解：32(2)6()12();mnnm32(2)6()12()mnnm26()()2mnmn326()12()mnmn2)(12nm)2()(62nmnm 两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:(1)当相同字
20、母前的符号相同时,则两个多项式相等.如:a-b 和-b+a 即 a-b=-b+a(2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数.如:a-b 和 b-a 即 a-b=-(a-b)归纳总结由此可知规律：由此可知规律：(1)a-b 与与-a+b 互为相反数互为相反数.(a-b)n=(b-a)n (n是偶数）是偶数）(a-b)n=-(b-a)n (n是奇数）是奇数）(2)a+b与与b+a 互为相同数互为相同数,(a+b)n=(b+a)n (n是整数）是整数）a+b 与与-a-b 互为相反数互为相反数.(-a-b)n=(a+b)n (n是偶数）是偶数）(-a-b)n=-(a+b)n (n是奇数
21、）是奇数）在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立：(1)(a-b)=_(b-a);(2)(a-b)2=_(b-a)2;(3)(a-b)3=_(b-a)3;(4)(a-b)4=_(b-a)4;(5)(a+b)=_(b+a);(6)(a+b)2=_(b+a)2.+-+(7)(a+b)3=_(-b-a)3;-(8)(a+b)4=_(-a-b)4.+当堂练习当堂练习 1.请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.(1)2-a=(a-2)(2)y-x=(x-y)(3)b+a=(a+b)-(6)-m-n=(m+n)(5)s2+t2=(s2-t2)(4)(b-a)2=(a-b
22、)2(7)(b-a)3=(a-b)3-+-3.因式分解：(x-y)2+y(y-x).解法1：(x-y)2+y(y-x)=（x-y)2-y(x-y)=(x-y)(x-y-y)=(x-y)(x-2y).解法2：(x-y)2+y(y-x)=（y-x)2+y(y-x)=(y-x)(y-x+y)=(y-x)(2y-x).2.因式分解：p(a2+b2)-q(a2+b2).解：p(a2+b2)-q(a2+b2)=(a2+b2)(p-q).课堂小结课堂小结因式分解公 因 式为 多 项式确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数分两步：（整体思想）第一步找公因式；第二步提公因式注意注意1.分解因式是一种恒
23、等变形；2.公因式：要提尽；3.不要漏项；4.提负号，要注意变号4.3 公式法公式法第四章 因式分解 第1课时 平方差公式学习目标1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化 思想（重点）2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进 行因式分解（难点）导入新课导入新课a米米b米米b米米a米米(a-b)情境引入如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？a2-b2=(a+b)(a-b)讲授新课讲授新课用平方差公式进行因式分解一想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a,b两数的平方差的形式)(bab
24、a-+=22ba-)(22bababa-+=-整式乘法因式分解因式分解两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2-()2的形式.两数是平方，两数是平方，减号在中央减号在中央（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2-(x2+y2)y2-x2（4）-x2+y2（5）x2-25y2(x+5y)(x-5y)（6）m2-1(m+1)(m-1)2(1)49;x 例1 分解因式：22(2)3x(23)(23);xx22(2)()().xpx qaabb
25、(+)(-)a2 -b2 =解:(1)原式=2x32x2x33()()()()xpx qxpx q(2)原式(2)().xp q p q 22()()xpx q典例精析方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.分解因式：(1)(ab)24a2；(2)9(mn)2(mn)2.针对训练(2m4n)(4m2n)解：(1)原式(ab2a)(ab2a)(ba)(3ab)；(2)原式(3m3nmn)(3m3nmn)4(m2n)(2mn)若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.)(22bababa-+
26、=-2015220142=（2mn）2-(3xy)2=(x+z)2-(y+p)2=例2 分解因式：443(1);(2).xya bab解：(1)原式(x2)2-(y2)2(x2+y2)(x2-y2)分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.(x2+y2)(x+y)(x-y);(2)原式ab(a2-1)分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.ab(a+1)(a-1).方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止分解因式：(1)5m2a45m2b4；(2)a24b2
27、a2b.针对训练(a2b)(a2b1).5m2(a2b2)(ab)(ab)；解：(1)原式5m2(a4b4)5m2(a2b2)(a2b2)(2)原式(a24b2)(a2b)(a2b)(a2b)(a2b)例3 已知x2y22，xy1，求x-y，x，y的值xy2.解：x2y2(xy)(xy)2，xy1，联立组成二元一次方程组，解得1,23.2xy 方法总结：在与x2y2，xy有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.例4 计算下列各题：(1)1012992；(2)53.524-46.524.解：(1)原式(10199)(10199)400；(2)原式4(5
28、3.5246.52)=4(53.546.5)(53.546.5)41007=2800.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n2=8n，n为整数，8n被8整除，方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()Aa2(b)2 B5m220mnCx2y2 Dx29当堂练习当堂练习D2.分解
29、因式(2x+3)2-x2的结果是（）A3(x2+4x+3)B3(x2+2x+3)C(3x+3)(x+3)D3(x+1)(x+3)D3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（）A-21 B21 C-10 D10A4.把下列各式分解因式：=_;=_;=_;(4)-a4+16=_.(4a+3b)(4a-3b)4ab9xy(y+2x)(y-2x)(4+a2)(2+a)(2-a)5.若将 2xn-81分解成 4x2+9 2x+3 2x-3，则n的值是_.46.已知4m+n=40，2m-3n=5求 m+2n2-3m-n2的值原式=-405=-200解：原式=m+2n+3m-n m+2n-3m+n=
30、4m+n 3n-2m=-4m+n（2m-3n，当4m+n=40，2m-3n=5时，7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积解：根据题意，得6.8241.626.82(21.6)26.823.22(6.83.2)(6.8 3.2)103.636(cm2)答：剩余部分的面积为36 cm2.8.(1)992-1能否被100整除吗？解：(1)992-1=(99+1)(99-1)=10098，n为整数为整数(2n+1)2-25能被4整除.(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？992-1能否被100整除.(2)原式=(2n+1+5)(2
31、n+1-5)=(2n+6)(2n-4)=2(n+3)2(n-2)=4(n+3)(n-2).课堂小结课堂小结平 方 差公 式 分解 因 式公式a2-b2=(a+b)(a-b)步骤一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.4.3 公式法公式法第四章 因式分解 第2课时 完全平方公式学习目标1.理解并掌握用完全平方公式分解因式（重点）2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解 进行计算（难点）导入新课导入新课复习引入1.因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？1.提公因式法2.平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
32、讲授新课讲授新课用完全平方公式分解因式一你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？同学们拼出图形为：aabbababababab这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2（a+b）2=baababb（a+b）2 a2+2ab+b2=将上面的等式倒过来看，能得到：a2+2ab+b2 a22ab+b2 我们把a+2ab+b和a-2ab+b这样的式子叫作完全平方式.观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项这两项都是数或式的平方，并且符号相同是第一项和第三项底数的积的2倍完全平方式的特点：1
33、.必须是三项式（或可以看成三项的）；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的2倍.222baba 完全平方式:简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.2ab+b2=(a b)a2首2+尾22首尾(首尾)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.3.a+4ab+4b=()+2()()+()=()2.m-6m+9=()-2()()+()=()1.x+4x+4=()+2()()+()=()x2x +2 aa 2ba+2b2b对照 a2ab+b=(ab)，填空：mm-3
34、3x2 m3 下列各式是不是完全平方式？（1）a24a+4;（2）1+4a;（3）4b2+4b-1;（4）a2+ab+b2;（5）x2+x+0.25.是（2）因为它只有两项；不是（3）4b与-1的符号不统一；不是分析：不是是（4）因为ab不是a与b的积的2倍.例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是()A.11 B.9 C.-11 D.-9B解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x(-3),故可知N=(-3)2=9.变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为_.解析：16=(4)2，故-m=2(4)，m=8.8典例精析方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构
35、特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解例2 分解因式：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.分析：(1)中，16x2=(4x)2,9=3,24x=24x3,所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+24x3 +(3)2.2ab+b2a2(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.解：(1)16x2+24x+9 =(4x+3)2；=(4x)2+24x3+(3)2 (2)-x2+4xy-4y2 =
36、-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.例3 把下列各式分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解:(1)原式=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2；分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.(2)原式=(a+b)2-2(a+b)6+62 =(a+b-6)2.利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.概念学习因式分解：(1)3a2x224a2x48a2；(2)(a24)216a2.
37、针对训练(a244a)(a244a)解：(1)原式3a2(x28x16)3a2(x4)2；(2)原式(a24)2(4a)2(a2)2(a2)2.有公因式要先提公因式要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解例4 把下列完全平方公式分解因式：(1)1002210099+99；(2)3423432162.解：(1)原式=（10099)(2)原式(3416)2本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算，=1.2500.例5 已知x24xy210y290，求x2y22xy1的值112121.解：x24xy210y290，(x2)2(y5)20.(x2)20，(y5)20，x20，y50，x2，y5，x2
38、y22xy1(xy1)2几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答问题例6 已知a，b，c分别是ABC三边的长，且a22b2c22b(ac)0，请判断ABC的形状，并说明理由ABC是等边三角形解：由a22b2c22b(ac)0，得 a22abb2b22bcc20，即(ab)2(bc)20，ab0，bc0，abc，当堂练习当堂练习1.下列四个多项式中，能因式分解的是()Aa21 Ba26a9 Cx25y Dx25y2.把多项式4x2y4xy2x3分解因式的结果是()A4xy(xy)x3 Bx(x2y)2Cx(
39、4xy4y2x2)Dx(4xy4y2x2)3.若m2n1，则m24mn4n2的值是_BB14.若关于x的多项式x28xm2是完全平方式，则m的值为_ 45.把下列多项式因式分解.（1）x212x+36;（2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;(3)y2+2y+1x2;(2)原式=2(2a+b)22(2a+b)1+(1)=(4a+2b 1)2;解：(1)原式=x22x6+(6)2 =(x6)2;(3)原式=(y+1)x =(y+1+x)(y+1x).2(20142013)1.22(2014)2 2014 2013(2013)(2)原式22(2)20142014 40262013.6.计算：(
40、1)38.92238.948.948.92.解：(1)原式(38.948.9)2100.7.分解因式:(1)4x24x1；(2)小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.x2 22 2x3.3.1 13 3(2)原式 (x26x9)(x3)21 13 3解:(1)原式(2x)222x11(2x+1)2 小聪小聪:小明小明:1 13 38.(1)已知ab3，求a(a2b)b2的值；(2)已知ab2，ab5，求a3b2a2b2ab3的值原式25250.解：(1)原式a22abb2(ab)2.当ab3时，原式329.(2)原式ab(a22abb2)ab(ab)2.当ab2，a
41、b5时，课堂小结课堂小结完全 平 方公式 分 解因式公式公式a22ab+b2=(ab)2特点特点（1 1）要求多项式有三项三项.（2 2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.第四章 因式分解 小结与复习一、因式分解要点梳理要点梳理1.把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫 做多项式的_，也叫将多项式_.2.因式分解的过程和 的过程正好_3.前者是把一个多项式化为几个整式的_，后者 是把几个整式的_化为一个_.因式分解乘积 分解因式 整式乘法相反多项式 乘积 乘积 二、提公因式法1.一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个 多项式各项的_，
42、简称多项式的_.2.公因式的确定：(1)系数：多项式各项整数系数的 _；(2)字母：多项式各项 的字母；(3)各字母指数：取次数最_的 公因式公因式最大公约数 相同 最低 3.定义：逆用乘法对加法的_律，可以把 _写在括号外边，作为积的一个_，这 种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.分配公因式因式三、公式法 平方差公式1.因式分解中的平方差公式 a2b2 ；2.多项式的特征：(1)可化为个_整式；(2)两项负号_；(3)每一项都是整式的_.3.注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式;(2)进行到每一个多项式都不能再 分解为止.(ab)(ab)两相反平方四、公式法 完全平方公式1.完全平
43、方公式：a2+2ab+b2=()2 a2-2ab+b2=()22.多项式的特征：(1)三项式；(2)有两项符号_,能写成两个 整式的_的形式；(3)另一项是这两整式的_的 _倍.3.注意事项：有公因式时，应先提出_.a+ba-b相同 平方和 乘积 2 公因式 考点一 因式分解与整式乘法的关系 例1 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由：(1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a;(2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10;(3)x2-6x+9=(x-3)2;(4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2.【解析】（1）多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个
44、多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；（2）判断过程要从左到右保持恒等变形.考点讲练考点讲练不是不是是不是考点二 提公因式法分解因式例2 因式分解：(1)8a3b212ab3c；(2)2a(bc)3(bc)；(3)(ab)(ab)ab.解：(1)原式 4ab2(2a23bc)；(2)原式 (2a3)(bc)；(3)原式 (ab)(ab1)方法归纳：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.1.把下列多项式分解因式.3211xxx 211xxx211xx 2axbxayby axbxaybyx aby ababxy针对训练例3 计算
45、：(1)39371391；(2)2920.167220.161320.1620.1614.考点三 利用提公因式法求值解：(1)39371391313371391 13(33791)1320260；(2)2920.167220.161320.1620.1614 20.16(29721314)2016.2.已知ab7，ab4，求a2bab2的值解：因为ab7，ab4，所以原式ab(ab)4728.针对训练方法归纳 原式提取公因式变形后，将ab与ab作为一个整体代入计算即可得出答案考点四 平方差公式分解因式例4 分解因式：(1)(ab)24a2；(2)9(mn)2(mn)2.解：(1)原式(ab2a
46、)(ab2a)(ba)(3ab)；(2)原式(3m3nmn)(3m3nmn)(2m4n)(4m2n)4(m2n)(2mn)3.已知x2y21，xy ，求xy的值解：x2y2 (xy)(xy)1，xy ，xy2.针对训练12124.如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面 积的差，而正方形的面积是其边长的平方，则S阴影(1002992)(982972)(2212)10
47、0999897215050答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.考点五 完全平方公式分解因式例5 因式分解：(1)3a2x224a2x48a2；(2)(a24)216a2.解：(1)原式3a2(x28x16)3a2(x4)2；(2)原式(a24)2(4a)2 (a244a)(a244a)(a2)2(a2)2.5.已知ab5，ab10，求 a3ba2b2 ab3的值解：a3ba2b2 ab3 ab(a22abb2)ab(ab)2.当ab5，ab10时，原式 1052125.12121212121212因式分解定义提公因式法公 式 法平方差公式完全平方公式课堂小结课堂小结课后作业课后作业见章末练习
