1、一、对坐标的曲面积分的概念与性质一、对坐标的曲面积分的概念与性质第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分(第二类曲面积分第二类曲面积分)第十二章第十二章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分二、对坐标的曲面积分的计算法二、对坐标的曲面积分的计算法三、两类曲面积分之间的联系三、两类曲面积分之间的联系一、对坐标的曲面积分的概念与性质一、对坐标的曲面积分的概念与性质我们对曲面作一些说明。这里假定曲面是光滑的。通常我们总假定所考虑的曲面是双侧的。例如由方程 表示的曲面，有上侧与下侧之分；又如一张包围某一空间区域的闭曲面，有外侧与内侧之分。,zz x y在确定曲面的侧时，我们可以通过曲面上法向量的
2、指向定出曲面的侧。对于由 所表示的曲面 ，如 上各点处法向量 （即 的方向余弦 ）均指向朝上，我们就认为取定曲面的上侧；又如,闭曲面各点处的法向量均指向朝外，我们就认为取定曲面的外侧。这种选定了法向量亦即选定了侧的曲面，称为有向曲面有向曲面。,zz x yncos0n定义定义1 设 为光滑的有向曲面，函数 在 上有界。把 任意分成n块小曲面 （其面积亦记作 ），在 面上的投影为 ，在 上任意取点 。如果当各小曲面的直径的最大 时，,R x y ziSiSxOyiSxyiS)(iS,iii 0niR10lim),(iiixyiS)(总存在，则称此极限值为函数 在有向曲面上对坐标 的曲面积分，记作
3、 ，即,R x y z),(yx,R x y z dxdydxdyzyxR),(niR10lim),(iiixyiS)(其中 称为被积函数，称为积分曲面。,R x y zdydzzyxP),(niP10lim),(iiiyziS)(及函数 在有向曲面 上对坐标 的曲面积分为,Q x y z),(xzdzdxzyxQ),(Q0lim),(iiizxiS)(,P x y z),(zy类似地，可定义函数 在有向曲面 上对坐标 的曲面积分当 、在有向光滑曲面 上连续时，对坐标的曲面积分总存在。,P x y z,Q x y z,R x y z通常一个流向 指定侧的流量 可以表示成,P x y z dyd
4、zQ x y z dzdxR x y z dxdy 如果 是分片光滑的有向曲面，规定函数在 上对坐标的曲面积分等于该函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和。对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质，有(1)如果把分成 和 ，则12PdydzQdzdxRdxdy12Pdydz QdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy此公式可推广到 分成 的情形。12,n (2)设 是有向曲面，表示与 取相反侧的有向曲面，则 ,P x y z dydzP x y z dydz 这就表示，当积分曲面改变为相反侧时，对坐标的曲面积分要改变符号。因此关于对坐标的曲面积分，我们必须注意积分曲面所取
5、的侧。二、对坐标的曲面积分的计算法二、对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面 是由方程 给出的曲面上侧，在面上 的投影区域为 ，函数 在 上具有一阶连续偏导数，被积函数 在 上连续。,zz x yxOyxyD,zz x yxyD,R x y zdxdyzyxR),(niR10lim),(iiixyiS)(因为 取上侧 ，所以0cos.iixyxyS 又因 点在 上，所以满足 。从而有,iii ,iiiz 按第二类曲面积分的定义，有niR1),(iiixyiS)(niR1),(,(iiiiixyi)(令取 上式两端的极限，就有0,xyDR x y z dxdyR x y z x ydxdy以上公式给
6、出了对坐标的曲面积分的计算方法。即只要把变量z换为表示 的函数 ，然后在 的投影区域 上计算二重积分就可以了。,z x yxyD注意注意：公式中的曲面积分取在曲面 的上侧，故二重积分取“+”号；如果曲面积分取曲面 的下侧，则二重积分取“”号。这是因为此时 从而0cosxyiS)(xyi)(,xyDR x y z dxdyR x y z x ydxdy 所以有当有向光滑曲面 的方程为 时，则有,xx y z,P x y z dydzP x y zy z dydz 其中等式右端的等号为：如果积分曲面 是由 给出曲面的前侧，即 则二重积分取“+”号；反之，如果 取后侧，即 则二重积分取“”号。,xx
7、 y z0cos0cos如果 由 给出，则有,yy z x,Q x y z dzdxQ x y z xz dzdx 等式右端的符号与 相同。cos例例1 计算曲面积分 ，其中 是球面 外侧在 ，的部分。xyzdxdy2221xyz0 x 0y 的方程为12211zxy xyDyx),(，21把 分成 和 两部分解解 的方程为22221zxyxyDyx),(，其中 为圆 位于第一象限部分。xyD221xy21xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy其中积分曲面 取上侧，积分曲面 取下侧。化为 上的二重积分，再用极坐标计算此二重积分，得21xyD22221(1)xyxyDDxyzdxdyxyxy
8、 dxdyxyxydxdy2221xyDxyxy dxdy222sincos1xyDd d 132200sin21d2211515 例例2 计算曲面积分 ，其中 为平面 所围立体的表面积外侧。111Ixdydzydzdxzdxdy1,0,0,0 xyzxyz将 曲面分为 、和 四部分1234解解 在 及 面上的投影为零，而 在面上的投影区域为1yOzzOxxOy10,10|),(xxyyxDxy 取下侧，它的方程为 ，所以10z 1111xdydzydzdxzdxdy1112xyDzdxdydxdy 同理 211112xdydzydzdxzdxdy 311112xdydzydzdxzdxdy
9、而 的方程为 ，取上侧，在 面上的投影41zxy xOy410,10|),(xxyyxDxy41100122xyxDzdxdyxy dxdydxxy dy210322223xxdx由对称性得442113xdydzydydz41112.xdydzydzdxzdxdy因此 因此相加后得311112.22xdydzydzdxzdxdy 例例3 计算 其中 是锥面在 及 所围立体表面的外侧。222,yz dydzzx dzdxzxydxdy22zxy)0(hhz解解 可分为 和 两部分，其中 为锥面在 平面所截的圆盘上侧，为锥面在 之间的部分外侧。在 面上投影区域的面积为零，所以 的方程可以写为21h
10、z 1hz 02yOz122yzx2cosyOz两部分，其相应的 分别与根式前符号相同，它们在 面上投影都为hzzyzzyDyz0,|),(12200yzyzDDyz dydzyz dydzyz dydzyz dydzyz dydzyz dydz于是同理，在 面上投影区域的面积为0，所以 1xOz10)(dzdxxz对调字母x与y，可从上面计算 ，一样得到 ，于是20)(dydzzy20)(dzdxxz120zxzxDDzx dzdxzx dzdxzx dzdxzx dzdxzx dzdx而曲面 （取上侧）和 （取下侧），在 面上的投影均为圆盘1:zh222:zxyxOy222.xyh1222
11、2222222222222222350000462622.466xyxyDDhhzxy dxdyzxy dxdyzxy dxdyhxy dxdyxydxdydhdddhh故2222226.6yz dydzzx dzdxzxydxdyzxy dxdyh三、两类曲面积分之间的联系三、两类曲面积分之间的联系在有向曲面 上点 处取面积微元 作有向曲面微元 ，其中 为 在 处的单位法向量。分别把 称为有向曲面 在 面上的投影，记作 和 。,x y zdSdSnSdcos,cos,cosn,x y zdSdSdScos,cos,cosSdxOyzOxyOz,dydz dzdxdxdy于是两类曲面积分之间的
12、关系为,P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdydSzyxRzyxQzyxPcos),(cos),(cos),(也可写为向量形式nA dSA ndSA dS 其中 ，为有向曲面 在点 处的单位法向量，=为有向曲面元，为向量 在向量 上的投影。,AP Q Rcos,cos,cosn,x y zSddSndxdydzdxdydz,nAAn例例4 计算曲面积分 ，其中 是抛物面 介于平面 及 之间的部分的下侧。2zx dydzzdxdy2212zxy0z 2z 由上述可知，=；又曲面 取下侧，故有cosdxdydS cosdydz(,1)xynzz(,1)x y22221(1xxyxy22,1yxy22,)1zxy所以 ；22cos1xyxzz221cos1xyzzdydzxz)(22()coszxdS2cos()coszxdxdy2()()zxx dxdy解解 再按对坐标的曲面积分的计算法，便得 故 22zx dydxzdxdyzxxz dxdy2zx dydzzdxdy222221142xyDxyxxxydxdy 2221()2xyDxxydxdy22222001cos8.2dd 4|),(22yxyxDxy2210.4xyDx xydxdy其中 ，上面第三个等式是由于
