1、一、柱面一、柱面二、二次曲面二、二次曲面第四节第四节 柱面和二次曲面柱面和二次曲面第九章第九章 空间解析几何空间解析几何一、柱面一、柱面一个柱面是由在空间中平行于各顶直线通过给定平一个柱面是由在空间中平行于各顶直线通过给定平面曲线的所有直线组成的曲面。面曲线的所有直线组成的曲面。这里的曲线称为柱面的母线。在立体几何中，柱面意味圆柱面，母线是圆周，但允许母线是任何类型的曲线。曲面同平行于坐曲面同平行于坐标平面的平面相标平面的平面相交形成的曲线称交形成的曲线称为为横截线或迹横截线或迹。母线（在yOz平面）过母线平行于x轴的直线例例1求由平行于 轴过抛物线 的直线构成的柱面的方程。z2,0yxz解：
2、假定点 在 平面的抛物线 上。那么对 的任何值，点 将在柱面上。反之，任何点 的 坐标是 坐标的平方，从而在柱面上，因为它在过 且平行于 轴的直线 2000,0P x xxOy2yx200,Q xxz0P200,Q xxzyxz200,xxyxz上。因此，不管 的值是多少，曲面上的点是坐标满足方程 的点。这使得 成为曲面的方程。正由于此，我们称该柱面为“柱面 ”。z2yx2yx2yx 平面上的任何曲线 定义一个平行于 轴的柱面，其方程也是 ，平面 上的任何曲线 定义一个平行于 轴的柱面，其方程也是 。平面 上的任何曲线 定义一个平行于 轴的柱面，其方程也是 xOy(,)f x yc(,)f x
3、 ycxOz(,)g x zc(,)g x zcyOz(,)h y zc(,)h y zcxzy定义定义 任何两个笛卡儿坐标的方程定义一个平行任何两个笛卡儿坐标的方程定义一个平行于第三轴的柱面，称为柱面的方程。于第三轴的柱面，称为柱面的方程。二、二次曲面二、二次曲面2220AxByCzDxyEyzFxzGxHyJzK其中的 等等是常数，但是跟二维曲线一样方程可以经过平移旋转化简。我们将仅仅研究简化后的方程。基本的二次曲面是椭球面，抛物面，椭圆锥面和双曲面。一个二次曲面是空间中 和 的二次方程的图形。最一般的形式是,x yz,A B C(1)椭圆锥面由方程 所表示的曲面称为椭圆锥面。圆锥曲面在y
4、轴方向伸缩而得的曲面。把圆锥面 沿y轴方向伸缩 倍 所得曲面称为椭圆锥面 22222zbyax2222zayxab22222zbyax(2)椭球面由方程 所表示的曲面称为椭球面。它是球面在x轴、y轴或z轴方向伸缩而得的曲面。把x2+y2+z2a2沿z轴方向伸缩 倍 得旋转椭球面 再沿y轴方向伸缩 倍 即得1222222czbyax122222czayxacab1222222czbyax(3)单叶双曲面由方程由方程 所表示的曲面称为单叶双曲面。所表示的曲面称为单叶双曲面。1222222czbyax把zOx面上的双曲线 绕z轴旋转 得旋转单叶双曲面 再沿y轴方向伸缩 倍 即得单叶双曲面 12222
5、czax122222czayx2222221xyzabcab(4)双叶双曲面 由方程 所表示的曲面称为双叶双曲面。把zOx面上的双曲线 绕x轴旋转 得旋转双叶双曲面 再沿y轴方向伸缩 倍 即得双叶双曲面 。1222222czbyax12222czax122222cyzax1222222czbyaxcb(5)椭圆抛物面由方程由方程 所表示的曲面称为椭圆抛物面。所表示的曲面称为椭圆抛物面。把zOx面上的抛物线 绕z轴旋转 所得曲面称为旋转抛物面 再沿y轴方向伸缩 倍 所得曲面称为椭圆抛物面 。zbyax2222zax22zayx222abzbyax2222(6)双曲抛物面双曲抛物面又称马鞍面。用平面xt截此曲面 所得截痕l为平面xt上的抛物线2222atzby此抛物线开口朝下 其顶点坐标为 当t变化时 l的形状不变 位置只作平移 而l的顶点的轨迹L为平面y0上的抛物线),0 ,(22att22axz由方程由方程 所表示的曲面称为双曲抛物面。所表示的曲面称为双曲抛物面。zbyax2222
