1、第三节第三节 定积分与原函数的联系定积分与原函数的联系 第六章第六章 定定 积积 分分一、一、积分上限的函数及其导数积分上限的函数及其导数二、二、牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、一、积分上限的函数及其导数积分上限的函数及其导数 设函数 在闭区间 上连续，对任意的 ，定积分 )(xf,ba,baxxadxxf)(一定存在。这里x既表示积分变量，又表示积分上限，为便于区分起见，可以把积分变量x换成t，于是上面的定积分可以写成 。xadttf)(令上限x在区间 上变化，这时对于每一个取定的x值，定积分就有一个确定的数值与之对应，所以它在 上定义了一个x的函数，记作 。,ba,ba)(x即 xa
2、dttfx)()()(bxa我们把这个函数 称为积分上限函数。这个函数的自变量是定积分的上限，这是一种新的表示函数的方法。)(x)(x函数 具有下面的重要性质。定理定理1 设函数 在区间 上连续，则积分上限函数，在上可导，且有 )(xf,baxadttfx)()()()()(xfdttfdxdxxa)(bxa （只证 的情况，当 及 时证明类似）对任意 ，给x以增量 ，且假设 ，则 在点 的函数值为 bxaax bx),(baxx),(baxx)(xxxxxadttfxx)()(证：证：于是 xxxxaxxxxaxaxxadttfdttfdttfdttfdttfdttfxxx)()()()()
3、()()()(由积分中值定理 其中 在x与 之间。xfdttfxxx)()(xx令 ，则必有 ，又因为 为连续函数，从而即 可导，且 。0 xx)(xf)()(lim)(limlim00 xffxxfxxxx)(x)()(xfx 上述定理同时也指出了一个重要结论：若 在 上连续，则函数 就是 在 上的一个原函数。即连续函数的原函数必存在。)(xf,baxadttfx)()()(xf,ba例例1 设 ，求 ，。xtdtex02)()(x)0(220)(xxtedtedxdx1)0(02xxe解解 例例2 求 dttdxdx20311 它是以 为上限的积分，作为x的函数，可看成是以 为中间变量的复
4、合函数。于是dttx203112x2xu 6321230303122)(11)(1111112xxxxxudxdudttduddttdxdxux解：解：例例3 求 020arctanlimxxtdtx易知这是一个 的未定式，可以利用罗必塔法则来计算002020001arctanarctan111limlimlim2212xxxxtdtxxxx解：解：微积分的基本原理在牛顿、莱布尼兹之前已散见于各国的著作中，然而系统地、全面地应用微积分方法却是17世纪最后三十年以后的事。牛顿和莱布尼兹最杰出的贡献是将两个貌似不相关的切线问题（微分学的中心问题）和求积问题（积分学的中心问题）联系在一起，并且建立起
5、了两者之间的桥梁现今通称的“牛顿莱布尼兹公式”。二、二、牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式 由定理1 知 是 的一个原函数，又由假设，也是 在 上的一个原函数，于是有定理定理2 设设 在闭区间在闭区间 上连续上连续，是是 在在 上的任一原函数，则上的任一原函数，则 )(xf,ba)(xF)(xf,ba)()()(aFbFdxxfbaxadttfx)()()(xf)(xF)(xf,bacxxF)()(caaF)()(先确定常数c，在上式中令 ，得ax 证：证：(1)由 得 ，从而 0)()(aadttfa)(aFc)()()(aFxxF即 ，在上式中令 ，即得 )()()(aFxFdttfxabx
6、)()()(aFbFdttfba)()()(aFbFdxxfba我们把 常记作 或 。)()(aFbFbaxF)(baxF)(把积分变量写为x，便有公式（1）叫做牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式。该公式揭示了定积分与不定积分的内在联系，而不定积分与微分互为逆运算；微分与导数又有紧密的联系，这样微分学与积分学中的一些重要概念又有了一定的联系，故通常也把公式（1）叫做微积分基本公式微积分基本公式。公式（1）把求一个连续函数 在上的定积分的问题，即求一个和式的极限问题转化为求被积函数的原函数在区间 端点处的函数值之差，这个转化极大地简化了被积函数是连续函数的定积分的计算。,ba,ba例例2 计算 例
7、例1 计算 11211dxx2)4(4)1arctan(1arctanarctan1111112xdxx12xdx2ln2ln1lnln1212xxdx注：被积函数 在 上的原函数为 。x1 1,2xln解：解：解：解：另外，我们还要指出，运用公式（1）时必须要求被积函数 在积分区间 上连续。如果在上例中把积分区间换成 ，则按公式（1）算出的结果是错误的，这是因为 在 中的点 处无穷间断。)(xf,ba 1,1x1 1,10 x例例3 计算 3422cossin1dxxx223322224433224433441sincossincossincos11cossin32tancot311333xxdxdxxxxxdxdxxxxx 解：解：例例4 设 ，计算 31,10,)(xexxxfxdxxf30)(由于是分段函数 ，在积分区间 上被积函数用两个不同的式子来表示，因此定积分须分段计算。于是3,0)(xf31300131313201012313()()()23221(1 0)()33xxf x dxf x dxf x dxxdxe dxxeeeee解：解：
