1、一、方向导数一、方向导数二、梯度二、梯度第六节第六节 方向导数、梯度方向导数、梯度第十章第十章 多元函数微分学多元函数微分学一、方向导数一、方向导数在许多实际问题中，常常需要知道函数 在点 处沿某一方向的变化率。例如，要预报某地的风向和风力，就必须知道气压在该处沿某些方向的变化率。因此，要引入多元函数在点 处沿一给定方向的方向导数方向导数的概念。(,)f x y z0P0P设函数 在点 的某个邻域内有定义，是从点 出发的射线，它的方向向量用 来表示。设点p是射线 上的任一点，它的坐标为(,)f x y z0000(,)P xyzl0Pll其中 是的方向余弦，是线段 的长度，且cos,cos,c
2、os0P P222()()()xyz 如图所示。我们考虑函数的增量 与 、两点间的距离 的比值0()()f Pf PP0P0()()f Pf P000000(,)(cos,cos,cos)xx yy zzxyz000()()limPPPf Pf Pfl当 点沿着射线 趋向于 时，如果 存在，那么称此极限为函数 在点 处沿方向的方向 导数，记作 ，即 P0Pl00()()limPPf Pf P(,)f x y z0Pl0Pfl方向导数的解释：方向导数的解释：方程 表示空间曲面S。若 ，则点 在S上。过P和 的平行于 的竖直平面交S于曲线C。沿方向 的变化率是C在点P的切线的斜率。(,)zf x
3、y000(,)zf xy000(,)P xyz000(,)P xylfl斜率limQPPQ0102000(,)(,)limsf xsu ysuf xys00,lPl PdfD fds 当 时，在 的方向导数是 在 的值。当 时，在 的方向导数是 在 的值。方向导数推广了两个偏导数。我们现在可以求沿任何方向，而不仅仅是方向 和 的变化率。il0Pfx00(,)xyjl0P00(,)xyfxij(,)Tf x y(,)x y00(,)f xy000(,)P xy0lPD fl0P 这里对方向导数的一个物理解释。假定 是在一个平面区域每点 的温度。则 是在点 的温度，而 是温度沿方向 在点 的瞬时变
4、化率。定理定理1 如果函数 在点 处是可微的，那么函数在该点沿任何方向 的方向导数都存在，并且有(,)f x y z0000(,)P xyzcos,cos,cosl0(,)(,)(cos,cos,cos)Pfffffffllxyzxyz coscoscosfffxyz二元函数 的方向导数，可以看成三元函数的方向导数的特殊情形，这时 沿任一方向 的方向导数，有如下的计算公式(,)uf x y,02uzl00000(,)cos(,)cosxyffxyfxyl其中 在点 处是可微的。(,)f x y00(,)xy例例1 求函数 在点 处沿方向 的方向导数。222yuxyz(1,2,2)1,4,8l1
5、48cos,cos,cos999 32222(1,2,2)(1,2,2)227()uxyxxyz 2232222(1,2,2)(1,2,2)527()uxzyxyz32222(1,2,2)(1,2,2)427()uyzzxyz又解解 由于方向的方向余弦为因此，所求的方向导数0(1,2,2)21544814()()27927 9279243ul 二、梯度二、梯度与方向导数相关联的一个概念是函数的梯度，在空间区域 内，一个数量函数 具有连续一阶偏导数，则对每一点 ，都可定出一个向量(,)f x y z0000(,)P xyz000000000(,)(,)(,)xyzfxyzfxyzfxyzijk这
6、个向量称为函数 在点 的梯度，记作()。即 (,)f x y z0000(,)P xyz000(,)gradf xyz000000000000(,)(,)(,)(,)xyzgradf xyzfxyzfxyzfxyzijk1.梯度的定义梯度的定义000(,)xyzgradf或 。引进一个算符，称其为Nabla，它在直角坐标系中表示为xyz i+j+k这是一个运算符号，作用于一个函数 的意义是(,)uu x y zuuuuxyz i+j+k因此ugradu 如果 在 可微分，是方向 的单位向量，则方向导数公式可改为(,)f x y z0000(,)P xyz(cos,cos,cos)ll00000
7、0000000(,)(,),(,),(,)(cos,cos,cos)xyzxyzffxyzfxyzfxyzlgradfl若记 ，那么由内积定义,gradf l000000000(,)(,)(,)cosxyzxyzxyzfgradfgradfll=l000(,)cosxyzgradf(1)当 与 同方向时，方向导数有最大值 ；(2)当 与 反方向时，方向导数有最小值 ；(3)当 与 垂直时，方向导数为零，即 。gradflfgradfllgradffgradfl lgradf0flflgradfl可以看出，方向导数 就是梯度 在射线 上的投影。且可知方向导数有性质：可知，梯度方向是方向导数取最大
8、值的方向，也是函数变化率最大的方向，它的模是方向导数的最大值。数量函数 取常值C的曲面 称为等值曲面，简记为 ，其中 为此曲面上的点。(,)uf x y z(,)f x y zC()u MC(,)M x y z2 梯度的几何意义梯度的几何意义过 的梯度是通过等值面 在点 的法向量，且指向 增大的方向。因此，沿等值面的法线方向看出，数量场函数的变化最快，等值面分布最密。0M()u MC()u M0M345550lll=ijl 在(2,0)的偏导数是f(2,0)(2,0)(2,0)2xyfff=iji+j(2,0)(2,0)3438(2)()15555ffjl l=iji因此 在(2,0)沿方向的
9、导数是f解解l的单位向量为例例2(用梯度求方向导数)求 在点 沿方向 的导数。(,)cos()yf x yxexy(2,0)34ijl=(1)在点(1,1)增加最快；(2)在(1,1)减少最快；(3)在什么方向在(1,1)的变化率为零？22(,)22xyf x y 例例3 (求变化率最大、最小和为零的方向)求方向，使得解解(1)函数沿在(1,1)的 的方向增加最快。f这里的梯度是(1,1)(1,1)()fxy=iji+j它的方向是 221122(1)(1)i+ji+juiji+j(2)函数沿在(1,1)的 的方向减少最快，它是f1122-uij1122 nij1122nij和ff(3)在 变化
10、率为零的方向是垂直于 的方向：例例4 (1)求 在 沿 方向的方向导数；(2)沿什么方向 在 变化最快，在这个方向的变化率是多少？32(,)f x y zxxyz0(1,1,0)P236lij+kf0P222(2)(3)(6)7 l0236777llij+kl22(1,1,0)(1,1,0)(3)2xfxy(1,1,0)(1,1,0)22yfxy (1,1,0)(1,1,0)11zf 解解 (1)，又故 在 的梯度是 ，f0P(1,1,0)22fijk(1,1,0)(1,1,0)2364(22)()7777ffl lijkij+k222(2)(2)(1)3f 3f f0Pl因此 在 沿 的方向导数为(2)函数 沿 的方向增加最快，沿方向减少最快，在这两个方向的变化率是f22f ijkf由梯度的直角坐标表示可推得(5)，()()gradf uf u gradu3.梯度的运算法则梯度的运算法则gradCuCgradu(1)，C为常数；1212()grad uugradugradu(2)；121221()grad u uu graduu gradu(3)；12112222uu graduu gradugraduu(4)；其中 都是可微函数。12,u u uf
