1、一、函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点第六节第六节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第二章第二章 极限与连续极限与连续三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质一、函数的连续性一、函数的连续性定义定义1 设变量 从它的一个初值 变化到终值 ，则终值与初值的差 就称为变量 的增量，记为 ，即 。uu0u1u01uu u01uuu增量可以是正的，可以是负的，也可以是零。当 时，变量 从 增大到 ，当 时，变量 从 减小到 。u0u0u1u1u0u0uux0 x)(0 xxf)(0 xfxx0 xy)(xfy O对于
2、函数 ，当自变量 从 变化到 ，即 在 点取得增量 时，函数 相应地从 变化到 ，取得增量 ，即 。)(xfy x0 xxx0 x0 xy)(0 xf)(0 xxfyy)()(00 xfxxfyx定义定义2 设函数 在 点的某邻域内有定义，如果当自变量的增量 趋向于零时，函数相应的增量 也趋向于零，即)(xfy 0 x0 xxx)()(00 xfxxfy0lim0yx则称函数 在点 处连续或称 是 的连续点。)(xfy 0 x0 x)(xf例例1 用定义证明 在 点处连续。2xy 20 x证：证：222)(42)2()2()2(xxxfxfy0)(4limlim200 xxyxx在连续性定义中
3、，令 ，即 ，则当 时，且 ，xxx00 xxx0 x0 xx)()()()(000 xfxfxfxxfy于是 可以改写为0lim0yx0)()(lim00 xfxfxx即)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx定义定义3 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果)(xfy 0 x0 x)(xf则称函数 在点 处连续。从定义式可知，一个函数 在点 处连续，必需满足下列三个条件：)(xf0 x)(xf0 x)(0 xf（1）在 有确定的函数值 )(lim0 xfxx（2）极限 存在)(0 xf（3）这个极限值就等于函数值)(xf)(xf0 x0 x显然可知，函数 在点 处连续
4、的充分必要条件是 在点 处左、右连续。若 ，则称函数 在点 处左连续。)()(lim00 xfxfxx)(xf0 x若 ，则称函数 在点 处右连续；)()(lim00 xfxfxx)(xf0 x如果函数 在开区间 内每一点都连续，则称函数在开区间 内连续。如果函数 在开区间 内连续，且在 处右连续，在 处左连续，则称 在闭区间 上连续。)(xf)(xf)(xf),(ba),(ba),(baax bx,ba二、函数的间断点二、函数的间断点0 x)(xf由函数在某点连续的定义可知，如果 在点 处有下列三种情况之一，则 是 的一个间断点。)(xf0 x定义定义4 如果函数 在点 不连续，则称点 为函
5、数 的一个间断点。)(xfy)(xf0 x0 x（2）不存在；)(lim0 xfxx（3）存在，也有定义，但 。)(lim0 xfxx)(0 xf)()(lim00 xfxfxx0 x（1）在 的某个去心邻域内有定义，而在点 没有定义；)(xf0 x例例2 函数 在点 处无定义，所以 是 的一个间断点。又因为 ，所以点 称为 的无穷间断点。无穷间断点。1()f xx0 x0 x0 xxxf1)(xx1lim0)(xf1yx例例3 函数 在 点处有定义，但在 处，有0,10,00,1)(xxxxxxf0 x0)0(f1)1(lim)(lim1)1(lim)(lim0000 xxfxxfxxxx0
6、 x即 在 处左、右极限不相等，在 处极限不存在。所以 是 的一个间断点。0 x)(xf0 x)(xf0 xxyO例例4 函数 在 点处有定义，且 但是 所以点 是 的间断点。1,11,11)(2xxxxxf1x211lim)(lim211xxxfxx)1()(lim1fxfx1x)(xf例例5 设函数 在点 处连续，求 值。2,2,24)(2xaxxxxfa因为 在 处连续，则 ，而 2x)2()(lim2fxfx2224lim()lim42(2)xxxf xxfa所以当 时，函数 在点 处连续。2x)(xf4a)(xf2x解：解：定理定理1 若函数 与 在点 处连续，则这两个函数的和、差
7、、积 、商 时在点 处仍连续。)(xf)(xg0 x)()(xgxf)()(xgxf)0)()()(0 xgxgxf0 x三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性定理定理2 设函数 在点 处连续，在点 处连续，且 ，则复合函数 在点 处连续，且)(xu0 x)(ufy 0u)(00 xu)(xfy0 x)(lim)()(lim000 xfufxfxxxx这个等式成立表明：在函数连续的前提下，极限符号与函数符号可以互相交换。例例6 求 xxx)1ln(lim0解：解：由于 在点 连续，所以函数 可以看成由 及 复合而成。xxxxy1)1ln()1ln(uylnxxu1)1(uyexxxln,)1
8、(lim10eu 1ln)1(limln)1ln(lim)1ln(lim10100exxxxxxxxx有 ，即证明了 。10lnlim(1)1xxx10lim(1)xxxe可以证明：基本初等函数在其定义域内都是连续函基本初等函数在其定义域内都是连续函数，一切初等函数在其定义区间内都是连续的数，一切初等函数在其定义区间内都是连续的。所谓定义区间，就是包含在定义域内的区间。这样我们求初等函数在其定义区间某点的极限，只需求初等函数在该点的函数值即可。例例7 求)cos(limsin2xexx解：解：eexexx2cos)cos(lim2sinsin2由于 是初等函数，是其定义区间 内的一点，所以xe
9、xcossin2x),(四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质定理定理3（最大值与最小值定理）（最大值与最小值定理）如果函数 在闭区间 上连续，则函数 在闭区间 上必有最大值与最小值。)(xfy,ba)(xfy,bamMa1x2xbxyo最值定理给出了函数存在最大值及最小值的充分条件，定理中的两个条件：闭区间，连续函数是缺一不可的。推论（有界性定理）推论（有界性定理）闭区间上的连续函数，在该区间上必有界，即存在数 ，使得0MMxf)(,bax这个定理的几何意义是：函数 的图形位于两条水平直线 之间。)(xfMyMy,定理定理4（介值定理）（介值定理）如果函数 在闭区间 上连续，和
10、 分别为 在 上的最小值与最大值，则对介于 和 之间的任一实数 ，至少存在一点 ，使得 。)(xf,bamM)(xf,bamMc),(bacf)(其几何意义是：连续曲线 与水平直线 至少有一个交点.)(xfy)(McmcyMmc推论（零点定理）推论（零点定理）如果函数 在闭区间 上连续，且 与 异号，则至少存在一点 ，使得 。)(xf,ba)(af)(bf),(ba0)(f其几何意义是：如果连续曲线弧 的两个端点位于 轴的不同侧，那么这段曲线弧与 轴至少有一个交点 。)(xfy xxy()yf xbxaO0)1()0(ff证明：证明：01)1(,01)0(ff 1,0由于初等函数 在闭区间 上连续，又14)(23xxxf所以由零点定理知，存在 ，使得 ，即 是方程 的一根。)1,0(0)(f)1,0(0)(xf例例8 证明：三次代数方程 在开区间 内至少有一个根。01423 xx1,01,001423 xx故三次代数方程 在开区间 内至少有一个根。
