1、22.4平面与平面平行的性质平面与平面平行的性质n 要点一平面与平面平行的性质的应用要点一平面与平面平行的性质的应用证线线平行证线线平行n平面与平面平行的性质定理是由面面平行平面与平面平行的性质定理是由面面平行得到的线线平行，实现面面平行与线线平得到的线线平行，实现面面平行与线线平行的转化因此平面与平面平行的性质定行的转化因此平面与平面平行的性质定理是用来证明线线平行的理是用来证明线线平行的n例例1 如图，平面四边形如图，平面四边形ABCD的四个顶点的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形均在平行四边形ABCD所确定所确定一个平面一个平面外，且外，且AA、BB、CC、DD互互相平行相平行n求证：
2、四边形求证：四边形ABCD是平行四边形是平行四边形n【分析分析】可利用平面与平面平行的性质可利用平面与平面平行的性质定理证明线线平行定理证明线线平行n【证 明证 明】在在 A B C D 中，中，ABCD，nAB 平面平面CDDC，CD平平面面CDDC，nAB平面平面CDDC.n同理同理AA平面平面CDDC.n又又AAABA，n平面平面ABBA平面平面CDDC.n平面平面ABCD平面平面ABBAAB，n平面平面ABCD平面平面CDDCCD，nABCD.n同理同理ADBC.n四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形n【规律方法规律方法】本题证明过程体现线线平本题证明过程体现线线平行、线面平行
3、、面面平行之间的相互转行、线面平行、面面平行之间的相互转化化n变式变式1如图，已知如图，已知，点，点P是平面是平面、外的一点外的一点(不在不在与与之间之间)，直线，直线PB、PD分分别与别与、相交于点相交于点A、B和和C、D.n(1)求证：求证：ACBD；n(2)已知已知PA4 cm，nAB5 cm，PC3 cm，n求求PD的长的长n 要点二证明直线和平面平行要点二证明直线和平面平行n证明线面平行的方法主要有三种：证明线面平行的方法主要有三种：n1应用线面平行的定义；应用线面平行的定义；n2应用线面平行的判定定理；应用线面平行的判定定理；n3应用平面与平面平行的性质，应用平面应用平面与平面平行
4、的性质，应用平面与平面平行的性质证题的关键是找到过直与平面平行的性质证题的关键是找到过直线和已知平面平行的平面并给予证明，这线和已知平面平行的平面并给予证明，这时注意线线平行，线面平行和面面平行之时注意线线平行，线面平行和面面平行之间的相互转化间的相互转化n例例2 如右图所示，正方体如右图所示，正方体ABCDABCD中，点中，点E在在AB上，点上，点F在在BD上，且上，且BEBF.n求证：求证：EF平面平面BBCC.n【分析分析】线线平行线线平行线面平行线面平行 面面平面面平行行n【证明证明】证法一：连结证法一：连结AF延长交延长交BC于于M，连结连结BM.nADBC，nEH平面平面BBCC，
5、又，又EHFHH.n平面平面FHE平面平面BBCC，EF平面平面FHE.nEF平面平面BBCC.n【规律方法规律方法】本题证法一使用线面平行本题证法一使用线面平行的判定定理；证法二利用面面平行的性质的判定定理；证法二利用面面平行的性质定理，关键就是找到过直线定理，关键就是找到过直线EF与平面与平面BBCC平行的平面平行的平面n变式变式2如下图，有公共边如下图，有公共边AB的两个全等的的两个全等的矩形矩形ABCD和和ABEF不共面，对角线不共面，对角线AC和和BF上各有点上各有点M和和N，且，且AMFN.连接连接MN.求证：求证：MN平面平面BCE.n证明：证明：如下图，如下图，n四边形四边形A
6、BCD和和ABEF是全等的两个矩形，是全等的两个矩形，nACFB.nAMFN，MCNB.n过过M作作MQCB，交，交AB于于Q，连接，连接QN，n 要点三线与面、面与面平行的性质定理的要点三线与面、面与面平行的性质定理的综合运用综合运用n确定空间中的平行关系，就在于熟练进行确定空间中的平行关系，就在于熟练进行线线平行、线面平行、面面平行的相互转线线平行、线面平行、面面平行的相互转化一般地，线线关系或面面关系都转化化一般地，线线关系或面面关系都转化为线面关系来分析解决为线面关系来分析解决n例例3 如图所示，平面如图所示，平面平面平面，ABC、ABC分别在分别在、内，线段内，线段AA、BB、CC共
7、点于共点于O，O在在、之间，若之间，若AB2，AC1，BAC90，OAOA3 2.求求ABC的面积的面积n【解解】相交直线相交直线AA、BB所在平面和两所在平面和两平行平面平行平面、分别相交于分别相交于AB、AB.n由面面平行的性质定理可得由面面平行的性质定理可得ABAB.n同理相交直线同理相交直线BB、CC确定的平面和平行确定的平面和平行平面平面、分别相交于分别相交于BC、BC，从而，从而BCBC.n同理易证同理易证ACAC.nBAC与与BAC的两边对应平行的两边对应平行且方向相反，且方向相反，nBACBAC.n同理同理ABCABC，BCABCA.nABC与与ABC的三内角分别相等，的三内角
8、分别相等，nABCABC，nABAB，AABBO，n在平面在平面ABAB中，中，AOBAOB.n【规律方法规律方法】面面平行可得线面平行或面面平行可得线面平行或线线平行，这样就把空间问题转化成了平线线平行，这样就把空间问题转化成了平面问题，此时应熟练掌握平面几何的有关面问题，此时应熟练掌握平面几何的有关知识，从而使问题得到解决知识，从而使问题得到解决n在空间平行的判断与证明时要注意线线、在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：线面、面面平行关系的转化过程：n变式变式3如图所示，线段如图所示，线段PQ分别交两个平行分别交两个平行平面平面、于于A、B两点，线段两点，线段PD分别交分别交、于于C、D两点，线段两点，线段QF分别交分别交、于于F、E两点，若两点，若PA9，AB12，BQ12，ACF的面积为的面积为72，求，求BDE的面积的面积n解：解：平面平面QAFAF，平面，平面QAFBE，n又又，AFBE.n同理可证同理可证ACBD，nFAC与与EBD相等或互补，相等或互补，n即即sinFACsinEBD.n由由FABE，
