1、3.4 基本不等式基本不等式2abab几何背景：几何背景：如图是在北京召开的第如图是在北京召开的第24界界国际数学家大会的会标，会标国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等案中找出一些相等关系或不等关系吗？关系吗？结论：一般的，如果结论：一般的，如果)(2R,22号时取当且仅当那么baabbaba)(2R,22号时取当且仅当那么baabbabaAKbbabaIHBJCDGFE2
2、22ABCDCEFGBCGHJCDISSabSSab正方形正方形正方形正方形222abab证明：222)(2baabba0)(0)(22babababa时，当时，当abba222一、定理：如果Rba，那么abba222（当且仅当ba 时取“=”号）二、定理：如果ba，是正数，那么abba2（当且仅当ba 时取“=”）2 ab2 abba2abab要证要证要证（要证（3），只要证），只要证 （-）0当且仅当当且仅当a=b时，（时，（4）中的等号成立。）中的等号成立。（1）只要证只要证 a+b（2）要证（要证（2），只要证），只要证 a+b-0（3）（4）显然，（显然，（4）是成立的。）是成立的。
3、2证明：abba2)()(22即：abba2当且仅当ba 时，.2abbaabba2A B D D Cababba2的几何解释：abCBCACD2而半径abCDba2以ba 过C作弦DDAB 则为直径作圆，在直径AB上取一点C，abCD 从而即：即：“半径不小于半弦半径不小于半弦”2ba ab2ba ab评述：评述：1、如果把、如果把中项，中项，2、在数学中，我们称、在数学中，我们称数，称数，称几何平均数几何平均数.看作是正数看作是正数a、b的等差的等差看作是正数看作是正数a、b的等比中项，那么该的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小
4、于它们的等比中项们的等比中项.为为a、b的算术平均的算术平均为为a、b的几何平均数的几何平均数.本节定理还可本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的abbaabba2222和b都是正数。都是正数。成立的条件是不成立的条件是不同的：前者只要求同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求都是实数，而后者要求a,例例1（1）用篱笆围成一个面积为）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？篱笆最短。最短的篱笆是多少？（2）段长为段长为36 m的篱
5、笆围成一个一边靠墙的矩的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少园的面积最大，最大面积是多少?42MP，等号当且仅当，等号当且仅当ab时成立时成立.归纳：归纳：1、两个正数的和为定值时，它们的积有、两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若最大值，即若a，bR，且，且abM，M为定为定值，则值，则ab，等号当且仅当，等号当且仅当ab时成立时成立.2、两个正数的积为定值时，它们的和有最小、两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若值，即若a，bR，且，且abP，P为定值，则为定值，则ab2练习、求证：
6、（练习、求证：（1）在所有周长相同的矩形中，）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（正方形的面积最大；（2）在）在所有所有面积面积相同的矩相同的矩形中，正方形的周长最短。形中，正方形的周长最短。例2、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？解：设水池底面一边的长度为 ，则另一边的长度为 ，又设水池总造价为 元，根据题意，得lxmmx34800.29760040272024000016002720240000)1600(720240000)348003
7、232(12034800150 xxxxxxl.297600401600有最小值时，即当lxxx 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元。评述：此题既是不等式性质在实际中评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。的适用条件。归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：如下步骤进行：（1）先理解题意，设变量，设
8、变量时一般把）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；要求最大值或最小值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；象为函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；值；（4）正确写出答案）正确写出答案.例、某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的例、某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图如图是由两个相同的矩形主体造型平面图如图是由两个相同的矩形ABCD和和EFGH构成的面积为构成的面积为200平方米的十字型地域，
9、计划在平方米的十字型地域，计划在正方形正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米上建一座花坛，造价为每平方米4200元，元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米造价为每平方米210元，再在四个空角（图中四个三元，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，角形）上铺草坪，造价为每平方米造价为每平方米80元。元。（1）设总造价为）设总造价为S元，元，AD长为长为x米，试建立米，试建立S关于关于x的函数关系式；的函数关系式；（2）当）当x为何值时为何值时S最小，最小，并求出这个最小值。并求出这个最小值。QAPCBNMFEGHD小
10、结：小结：本节课我们用两个正数的算术平均数与本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：（查下列三个条件：（1）函数的解析式中，各项）函数的解析式中，各项均为正数；（均为正数；（2）函数的解析式中，含变数的各）函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；（项的和或积必须有一个为定值；（3）函数的解）函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值
11、。析式中，含变数的各项均相等，取得最值。即即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。个条件：一正二定三取等。三、定理：如果Rcba，那么3333abcabccba（当且仅当时取“=”）abcabbacbaabccba333)(32233333)(3)()(22cbaabccbabacba证明：32)(222abcbcacbabacba)(222cabcabcbacba)()()(21222accbbacbaRcba，abccba3333 上式0 从而33 abccba33abccba推论：如果Rcba，那么33abccbacba（
12、当且仅当时取“=”）3333333333)()()(cbacba证明：naaan21叫做这n个正数的算术平均数nnaaa21叫做这n个正数的几何平均数 四、关于“平均数”的概念NnnRaaan且，121，则：如果naaan21nnaaa21.1*niRaNni，基本不等式：语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数。327.xyzxyz（）xyzR，例、已知例、已知求证求证证明：因为证明：因为303xyzxyz，所以所以327xyzxyz（），即即327.xyzxyz（）例、如图，把一块边长为例、如图，把一块边长为a 的正方形铁片的各的正方形铁片的各角切去大小相等的小正方形，再把它
13、的边沿着角切去大小相等的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？最大容积是多少？最大容积是多少？32.627aaxV，答案：答案：2()(2)(0)2V xx axax提示：提示：1、若ab 0，且1ba，则四个数22221baaba，A、21B、aC、ab2D、22ba 中最大的是（）B2、已知函数，）（xxf21logba，设 M=）（2baf，N=）（abfP=）（baabf2（）NPMB、PNMC、MPND、MNP为正实数，A、，则M，N，
14、P的大小关系是B3、设a和b是不相等的正数，则（）2222baabba B、2222babaabC、2222babaabD、2222baabba A、B.4abcdbdaccdabdcba）（都是正数，求证：，例、已知.44.0202abcdbdaccdababcdbdaccdabbdacbdaccdabcdabdcba）（即：（，）（，都是正数，得，证明：由1、若00yx，且191yx，则yx的最小值为（）A、6 B、12 C、16 D、24CDyx，满足122 yx，那么）（xyxy11有（）B、最大值1而无最小值D、最小值43和最大值1 2、如果实数A、最小值 而无最大值C、最小值21和最大值1 43 3、ABC中，三边cba、成等比数列，则BA、30 BB、30 BC、B3D、40 B的取值范围是（）B4、若正数ba、满足3baab，则ab的取值范围是：），95、若）（122aayx，则）（yxaa2loglog的最大值是：。26、已知1ba，Rba、，则abab1的最小值是：417），），（40 8、若922 yx，则yx2的取值范围是：5353，7、实数Ryx，且yxyx，则x范围是：的取值
