1、2 2、向量的减法的几何作法、向量的减法的几何作法：第一步：将向量第一步：将向量a,b移至同一起点移至同一起点.第二步：连接向量第二步：连接向量a和和b的终点，指向被减向量的终点，指向被减向量a.baa+b平行四边形的两条对角线恰为向量平行四边形的两条对角线恰为向量a,b的和向量与差向量！的和向量与差向量！三角形法则三角形法则a-b1 1、向量的减法、向量的减法：求两个向量差的运算（求两个向量差的运算（差仍为向量差仍为向量）(1)|abab在什么情下，有：所在直线垂直所在直线与baba)6(（2）(2)|ab所在直线垂直与 ba)5(（1）abOBA)(ba D)(ba 思考：思考：向量的加法
2、、减法的记作作法都用到了三角形法则，由三向量的加法、减法的记作作法都用到了三角形法则，由三角形三边的关系易得：角形三边的关系易得：|abab|abab|ab|aba,b方向相反方向相反a,b方向相同方向相同a,b方向相反方向相反a,b方向相同方向相同思考：思考：若上述不等式中若上述不等式中a，b为实数时还成立吗？有何区别？为实数时还成立吗？有何区别？平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算高中数学高中数学必修四必修四a.)()()(aaaaaaa和作出：，已知非零向量OABCaaaPQMNaaaaaaOC)()()(aaaPNa3a31、平面向量的数乘运算的定义：的方向相同，的方向与方向：aa3倍
3、，的长度的的长度是长度：33aa.|3|3|aa 即：的方向相反，的方向与方向：aa3.|3|3|aa 即：倍，的长度的的长度是长度：33aaaOABCaaaPQMNaaaaOC3aPN3，的积，记作与向量一般地，实数aa下：它的长度与方向规定如；|)1(aa；的方向相同的方向与时，当aa0)2(；的方向相反的方向与时，当aa0.00a时，当)(表示一个向量a1、平面向量的数乘运算的定义：babba则的方向相反，长度是和、向量练习,311babba则倍的方向相同，长度是和、向量练习,52)(3ACABADADABC，则的中线为、练习)(4ACABAGABCG的重心，则是、练习定义，可得运算律：
4、根据实数与向量的积的为实数，则、设；)()()()1(aaa；aaa)()2(.)()3(baba)(结合律)(第一分配律)(第二分配律2、平面向量的数乘运算的运算律：，中至少有一个成立，如果000a.)()(成立则aa则，如果000a|)(|a|)(|a|)(|)(|aa则同号，若；同向两边向量的方向都与 aaa)()(则异号，若.)()(反向两边向量的方向都与aaa.)()(aa故|a|a|a|a；aa)()()1()(结合律定义，可得运算律：根据实数与向量的积的为实数，则、设.)()3(baba)(第二分配律OABC/A/B/C1例计算：；a4)3()1(；ababa)(2)(3)2(.
5、)23()32()3(cbacba解：a4)3()1(a)43(；a12原式)2(ababa2233；b5原式)3(cbacba2332.25cba2:例,.ABCDABa ADba bMA MB MC MD 平行四形角交于M，且用表示向量ADMCB1111()2222MAACabab 1111()2222MBDBabab 1122MCMAab 1122MDMBab 向量的加法、减法、数乘运算向量的加法、减法、数乘运算统称为统称为线性运算，线性运算，因此这三种因此这三种运算可以解决线性关系运算可以解决线性关系有什么样的关系？与思考：aaaa/ba若/ab/,(0),()ababaR若|ba取a
6、bab同向时，与当)1(abab反向时，与当)2(.)0(abbaa使，数个实共线，那么有且只有一与也就是说，如果0)1(a有且唯一实数)2(用途一：证明两线平行用途二：证明三点共线.)0(abbaa使，数个实共线，那么有且只有一与也就是说，如果3、平面向量共线定理：BCDEACABEDABC21/:2求证边上的中点，、分别是、中，、在例ABCDE1|)2DEBCDEBC （分析：与同向，且ADAEDEACAEABAD21,21又ABACDE2121)(21ABAC BC21BCDE21/3例4例：.33共线、证明，已知，如图ECABCDEABADABCDE解：DEADAEBCAB33)(3B
7、CAB，AC3.共线与AEAC)AEAC（分析：证明.AAEAC有共同起点与又.三点共线、ECAACAE()OCOAOEOA 将向量换成将向量换成O O为起点为起点(1)OCOEOA 进一步化简进一步化简A,B,C共线的等价条件为：共线的等价条件为：(1)OCOAOB 5,2,3,a b OAab OBab OCabA B C 例：非零向量是否共xi an？(1)OCOAOB ACAB ACOCOA 2bABOBOA b2ACAB 1122OBOAOC 1、平面向量的数乘运算的定义：2、平面向量的数乘运算的运算律：3、平面向量共线定理：A,B,C共线的等价条件为：共线的等价条件为：(1)OCOAOB 完成教材完成教材90页练习，远端自行安排页练习，远端自行安排作业：作业：教材习题教材习题2.1A组组913题，题，B组组35题题
