1、 第三章导数及其应用几个常见函数的导数1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式导数,导数源于实践,又服务于实践.2.求函数的导数的方法是:);()()1(xfxxfy 求函数的增量求函数的增量;)()(:)2(xxfxxfxy 的增量的比值的增量的比值求函数的增量与自变量求函数的增量与自变量.lim)()3(0 xyxfyx 求极限，得导函数求极限，得导函数复习导入说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数.3.函数f(
2、x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值,即 .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。)(0 xf)(xf 0|)()(0 xxxfxf 4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率.5.求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x0,f(x0)的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.公式1:.)(0为常数为常数CC .0lim)(,0,)()(,)(:0 xyCxfxyCC
3、xfxxfyCxfyx证证公式2:.)()(1Qnnxxnn 请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握的知识,只能就 的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.Qn*Nn 讲授新课;33)(2133xxx解：;222)()1(331222xxxxx ;212121)()(2112121xxxxx .535353)()1(58581535353xxxxx 53231)4()3(1)2(1:xxxx）（求下列函数的导数例如例题解析公式3:.xxcos)(sin 同理可证,公式4:.xxsin)(cos axexxxxaaln1log1)(log,1).(ln6.ln)(
4、,).(5aaaeexxxxxyxyxyxy3)4(;)3(;1)2(;log1:342）（求下列函数的导数例如基本初等函数导数公式表1y=f(x)y=cy=xn(nN+)y=x(x0,Q,0)y=ax(a0,a 0)y=logax(a0,a 1,x0)(xfy 0y1nnxy1xy情形）注意eaaayx(ln注意同上）(ln1log1axexyay=f(x)y=sinxy=cosx)(xfy xycosxysin基本初等函数导数公式表2例1:求 曲线 在点P(1,1)处的切线的方程.31xy ;3)()1(,14333 xxxyxy解解：.043),1(31,3|)1,1(1 yxxyykP
5、x即即从从而而切切线线方方程程为为处处的的切切线线的的斜斜率率为为曲曲线线在在故所求的直线m的方程为3x+y-4=0.例题解析例2:求过曲线y=cosx上点P()且与过这点的切线垂 直的直线方程.21,3.23sin|,sin,cos3 xyxyxyx 解解：；的的斜斜率率为为点点且且与与切切线线垂垂直直的的直直线线从从而而过过，处处的的切切线线斜斜率率为为故故曲曲线线在在点点3223)21,3(PP .0233232),3(3221 yxxy即即所所求求的的直直线线方方程程为为注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.例3.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。练习1:曲线y=sinx在点P()处的切线的斜率为 _.22,4 22请同学们求下列函数的导数:22)(),3)(),14)(),yfxxyfxxyfxx1y 21yx 2yx表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为11.要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1)(c为常 数;(2);(3);(4)0 c)()(1Rxx xxcos)(sin .sin)(cosxx 2.对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为 可以直接应用公式的基本函数的模式.3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综 合性问题.课堂小结
