1、聊聊天聊聊天微积分的产生微积分的产生17、18、19世纪的微积分世纪的微积分.很久很久以前很久很久以前,在很远很远的一块古老的土地上在很远很远的一块古老的土地上,有一群智者有一群智者开普勒、开普勒、笛卡尔笛卡尔、卡瓦列里、卡瓦列里、费马费马、帕斯卡、帕斯卡、格雷戈里、罗伯瓦尔、惠更斯、巴罗、瓦里斯、格雷戈里、罗伯瓦尔、惠更斯、巴罗、瓦里斯、牛顿牛顿、莱布尼茨莱布尼茨、.任何研究工作的开端，几乎都是极不完美任何研究工作的开端，几乎都是极不完美的尝试，且通常并不成功。每一条通向某个目的尝试，且通常并不成功。每一条通向某个目的地的路都有许多未知的真理，唯有一一尝的地的路都有许多未知的真理，唯有一一尝
2、试，方能觅得捷径。也只有甘愿冒险，才能将试，方能觅得捷径。也只有甘愿冒险，才能将正确的途径示以他人。正确的途径示以他人。可以这样说，为了可以这样说，为了寻找真理，我们是注定要经历挫折和失败的。寻找真理，我们是注定要经历挫折和失败的。狄德罗狄德罗狄德罗：狄德罗：18世纪法国唯物主义哲学家，美学世纪法国唯物主义哲学家，美学家，文学家，百科全书派代表人物，第一家，文学家，百科全书派代表人物，第一部法国部法国百科全书百科全书主编。主编。随着函数概念的采用，产生了微积分，随着函数概念的采用，产生了微积分，它是继欧几里德几何之后，全部数学中的一它是继欧几里德几何之后，全部数学中的一个最伟大的创造。虽然在某
3、种程度上，它是个最伟大的创造。虽然在某种程度上，它是已被古希腊人处理过的那些问题的解答，但已被古希腊人处理过的那些问题的解答，但是，微积分的创立，首先还是为了处理十七是，微积分的创立，首先还是为了处理十七世纪主要的科学问题的。世纪主要的科学问题的。哪些主要的科学问题呢哪些主要的科学问题呢?有四种主要类型的问题有四种主要类型的问题.Archimedes 第一类问题第一类问题 已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距物体的加速度
4、表为时间的函数的公式，求速度和距离。离。困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而，而 0/0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。第一类问题第一类问题 求曲
5、线的切线。求曲线的切线。这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。第二类问题第二类问题 第二类问题第二类问题 困难在于：曲线的困难在于：曲线的“切线切线”的定义本身就是一个的定义本身就是一个没有解决的问题。没有解决的问题。古希腊人把圆锥曲线的切线定义为古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对。这
6、个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。第三类问题第三类问题 求函数的最大最小值问题。求函数的最大最小值问题。十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 角角发射炮弹时，射程最大。发射炮弹时，射程最大。研究行星运动也涉及最大最小值问题。研究行星运动也涉及最大最小值问题。45 困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。第三类问题第三类问题 第四类问题第四类问题 求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成
7、求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。另一个物体上的引力。困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立
8、而被根本修改了。被根本修改了。第四类问题第四类问题 微积分不仅使用了函数概念，还引入微积分不仅使用了函数概念，还引入了两个全新的且更为复杂的概念：微分和了两个全新的且更为复杂的概念：微分和积分。这样，除了用来处理数值所需要的积分。这样，除了用来处理数值所需要的基础外，还需要逻辑方面的基础。基础外，还需要逻辑方面的基础。微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。这两种过程的一些特殊的情况，甚至在这两种过程的一些特殊的情况，甚至在就已经就已经有人考虑过（在阿基米德工作中达到高峰），而在有人考虑过（在阿基米德工作中达到高峰），而在十六世纪和十七世纪，更是越来越受
9、到人们的重十六世纪和十七世纪，更是越来越受到人们的重视。然而，微积分的视。然而，微积分的是在十七世纪才开始是在十七世纪才开始的，通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先的，通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先驱的创造。这一系统发展的关键在于认识到：过去驱的创造。这一系统发展的关键在于认识到：过去一直分别研究的微分和积分这两个过程，实际上是一直分别研究的微分和积分这两个过程，实际上是彼此互逆的联系着。彼此互逆的联系着。公正的历史评价，是不能把创建微积分归功于公正的历史评价，是不能把创建微积分归功于一两个人的偶然的或不可思议的灵感的。许多人，一两个人的偶然的或不可思议的灵感的。许多人，例如，费
10、马、伽利略、开普勒、巴罗等都曾为科学例如，费马、伽利略、开普勒、巴罗等都曾为科学中的这些具有革命性的新思想所鼓舞，对微积分的中的这些具有革命性的新思想所鼓舞，对微积分的奠基作出过贡献。奠基作出过贡献。事实上，牛顿的老师巴罗，就曾经几乎充分认事实上，牛顿的老师巴罗，就曾经几乎充分认识到微分与积分之间的互逆关系。牛顿和莱布尼茨识到微分与积分之间的互逆关系。牛顿和莱布尼茨创建的系统的微积分就是基于这一基本思想。创建的系统的微积分就是基于这一基本思想。数学和科学中的巨大进展，几乎总是建立在数学和科学中的巨大进展，几乎总是建立在几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上几百年中作出一点一滴贡献的许多人的
11、工作之上的。需要有一个人来走那最高和最后的一步，这的。需要有一个人来走那最高和最后的一步，这个人要能足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理个人要能足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人的有价值的想法，有足够想象力地把这些出前人的有价值的想法，有足够想象力地把这些碎片重新组织起来，并且能足够大胆地制定一个碎片重新组织起来，并且能足够大胆地制定一个宏伟的计划。在微积分中，这个人就是牛顿。宏伟的计划。在微积分中，这个人就是牛顿。牛顿（牛顿（16421727年），年），英国数学家、英国数学家、物理学家、天文学家、自然哲学家。物理学家、天文学家、自然哲学家。生于英生于英格兰格兰林肯郡伍尔索普林肯郡伍尔索普
12、的一个小村庄里。他的的一个小村庄里。他的母亲在那里管理着丈夫遗留下来的农庄，他母亲在那里管理着丈夫遗留下来的农庄，他父亲是在他出生前两个月去世的。父亲是在他出生前两个月去世的。莱布尼茨（莱布尼茨（16461716年）是在建立微积分中唯年）是在建立微积分中唯一可以与牛顿并列的科学家。他研究法律，在答辩一可以与牛顿并列的科学家。他研究法律，在答辩了关于逻辑的论文后，得到哲学学士学位。了关于逻辑的论文后，得到哲学学士学位。1666年年以论文论组合的艺术获得阿尔特道夫大学哲学以论文论组合的艺术获得阿尔特道夫大学哲学博士学位，同时获得该校的教授席位。博士学位，同时获得该校的教授席位。微积分是能应用于许多
13、类函数的一种新的微积分是能应用于许多类函数的一种新的 普遍的方法，这一发现必须归功于牛顿和莱布普遍的方法，这一发现必须归功于牛顿和莱布尼茨俩人。经过他们的工作，微积分不再是古尼茨俩人。经过他们的工作，微积分不再是古希腊几何的附庸和延展，而是一门独立的科希腊几何的附庸和延展，而是一门独立的科学，用来处理较以前更为广泛的问题。学，用来处理较以前更为广泛的问题。十七世纪最伟大的成就就是微积分。由此起源十七世纪最伟大的成就就是微积分。由此起源产生了数学的一些主要的新分支，如产生了数学的一些主要的新分支，如复变函数等复变函数等等。其中某些工作的萌芽确实在牛顿和莱布尼茨的等。其中某些工作的萌芽确实在牛顿和
14、莱布尼茨的工作中就已经出现了。十八世纪，人们大量地致力工作中就已经出现了。十八世纪，人们大量地致力于这些分析分支的发展。但是在这一发展完成之于这些分析分支的发展。但是在这一发展完成之前，首先必须扩展微积分本身。前，首先必须扩展微积分本身。在十八世纪初期，就已经出现了两个和三个变在十八世纪初期，就已经出现了两个和三个变量的函数的微积分（量的函数的微积分（）。通）。通常的导数与偏导数的区别在一开始并未被人们明确常的导数与偏导数的区别在一开始并未被人们明确地认识，因而对两者使用相同的记号。而物理意义地认识，因而对两者使用相同的记号。而物理意义又要求人们在多个自变量的函数中，考虑只有一个又要求人们在多
15、个自变量的函数中，考虑只有一个自变量变化的导数。自变量变化的导数。两个或多个变量的函数的偏导数研究的主要动两个或多个变量的函数的偏导数研究的主要动力来自偏微分方程方面的工作。偏导数的演算是由力来自偏微分方程方面的工作。偏导数的演算是由欧拉研究流体力学问题的一系列文章提供的。达朗欧拉研究流体力学问题的一系列文章提供的。达朗贝尔在贝尔在1744年前后，推广了偏导数的演算。年前后，推广了偏导数的演算。历史进入十九世纪，数学陷入更加自相矛盾历史进入十九世纪，数学陷入更加自相矛盾的处境。虽然它在描述和预测物理现象方面所取的处境。虽然它在描述和预测物理现象方面所取得的成功远远超过人们的预料，但是，正如十八
16、得的成功远远超过人们的预料，但是，正如十八世纪的人所指出的那样，大量的数学结构没有逻世纪的人所指出的那样，大量的数学结构没有逻辑基础，因此不能保证数学是正确无误的。尽管辑基础，因此不能保证数学是正确无误的。尽管这种自相矛盾的情况一直存在于十九世纪上半这种自相矛盾的情况一直存在于十九世纪上半叶，但并不影响许多数学家在开始研究的自然科叶，但并不影响许多数学家在开始研究的自然科学的一些新领域中成绩斐然。学的一些新领域中成绩斐然。如果认为只有在几何证明里或者在感觉的如果认为只有在几何证明里或者在感觉的证据里才有必然，那会是一个严重的错误。证据里才有必然，那会是一个严重的错误。柯西柯西 波尔查诺、柯西、
17、魏尔斯特拉斯和其它一些人波尔查诺、柯西、魏尔斯特拉斯和其它一些人的工作给分析提供了严密性。这些工作将微积分及的工作给分析提供了严密性。这些工作将微积分及其推广从几何概念、运动和直觉了解的完全依赖中其推广从几何概念、运动和直觉了解的完全依赖中解放出来。这些研究一开始就造成了巨大轰动。在解放出来。这些研究一开始就造成了巨大轰动。在一次科学会议上，柯西提出了级数收敛性理论，会一次科学会议上，柯西提出了级数收敛性理论，会后拉普拉斯急忙赶回家并隐居起来，直到查完他的后拉普拉斯急忙赶回家并隐居起来，直到查完他的天体力学中所用到的级数为止（幸亏他用到的天体力学中所用到的级数为止（幸亏他用到的级数都是收敛的）。当魏尔斯特拉斯的工作通过演级数都是收敛的）。当魏尔斯特拉斯的工作通过演讲为人们所知时，其影响更为显著。但是，分析的讲为人们所知时，其影响更为显著。但是，分析的严密化并不证明就是基础研究的终结，恰恰相反，严密化并不证明就是基础研究的终结，恰恰相反，它是新的，更深入的问题研究的开始。例如，实数它是新的，更深入的问题研究的开始。例如，实数系的逻辑基础是什么？系的逻辑基础是什么？。
