1、直 积一、外直积一、外直积 定义定义2.4.1 设 是群，构造集合 与 的 12,G G1G2G卡氏积 121122,|,Ga aaG aG并在 中定义乘法运算:G 12121 12 21212,.a ab bab a ba ab bG则 关于上述定义的乘法构成群，称为群 与 的 G1G2G外直积外直积(external direct product)，记作 12GGG 注注(1)如果 分别是群 和 的单位元，则 12,e e1G2G 是 的单位元。12,e e12GG (2)设 ，则 ，12,a aG1111212,a aaa (3)当 和 都是加群时，与 的外直积也 1G2G1G2G可记作
2、 12.GG 定理定理2.4.1 设 是群 与 的外直积，则 12GGG1G2G (1)是有限群的充分必要条件是 与 都是 G1G2G有限群。并且，当 是有限群时，有 G12GGG (2)是交换群的充分必要条件是 与 都是 G1G2G交换群;(3)1221GGGG 证证 (1)由卡氏积的性质知，这是显然的，(2)如果 与 都是交换群，则对任意的 1G2G ，有 12,a a12,b bG 12121 12 21 1221212,.a ab bab a bba b ab ba a 所以 是交换群。G 反之，如果 是交换群，那么对任意的 G有 11,a bG22,a bG 12121212,a a
3、b bb ba a即 1 12 21 122,.ab a bba b a故1 11 1,abba2 222,a bb a所以 ，都是交换群。1G2G (3)构造映射 122112211212:(,)(,),(,),GGGGa aa aa aGG则 是一一对应，且 12121 12 22 21 121211212(,)(,)(,)(,)(,)(b,)(,)(b,).a ab bab a ba b aba aba ab因此，是 到 的同构映射，即 12GG21GG1221GGGG 例例1 设 分别是3阶和5阶的 12GaGb 、循环群，则 是一个15阶的循环群。12GGG 证证 首先，由定理2.4
4、.1(1)和(2)知，是一个15阶G的交换群。设(,)ca bG 是 的单位元。则 12(e,)eG335212(,),(,).ce bca e所以 ，都不等于 ，3c5c12(,)e e 可知 ，ord 3,5c 由拉格朗日定理知，。ord 15c 即 是15阶循 Gc 环群。例例2 ，这里 G22(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23).G 证证 对于4阶群 中的任意元 ，有 22(,)a b(,)(,)(0,0)a ba b因此，中没有4阶元素，故 不是循环群。2222而4阶群必同构于循环群或 ，G于是 。G22事实上，到 的任意一个将零元(0，0)映到(1)22G的
5、一一对应都是一个群同构。定理定理2.4.2 设 是群，和 分别是 和 中 12,G Gab1G2G的有限阶元素。则对于 ，有 12(,)a bGG(,),.ord a borda ordb 证证 设 则,.ordam ordbn sm n12(,)(,)(,).sssa ba be e (2.4.1)从而 的阶有限，设其为，则我们要证明 。(,)a btts由(2.4.1)，我们得 。|t s 又因为 12(,)(,)(,).ttte ea ba b1,tae所以2.tbe于是 且 ，|m t|n t从而 是 和 tmn的公倍数。而 是 和 的最小公倍数，因此 。结 smn|s t合以上讨论得
6、 。st 例例3 我们来确定 中5阶元素的个数。155由定理2.4.2，我们就是要确定 中满足 155的元素 的个数。显然 5(,),ord a borda ordb(,)a b这就要求:或者 且 或5;或者 5orda 1ordb 1orda 且 。我们分情况来讨论。5ordb(1)5.ordaordb此时 有4种选择(即:3，6，a9，12)，也有4种选择，从而共有16个5阶元。b(2)5,1.ordaordb此时 仍有4种选择，a而 只有一种选择，故共有4个5阶元。b(3)1,5ordaordb此时 只有一种选择，a而 有4种选择，故也有4个5阶元。b 于是，共有24个5阶元。155 定
7、理定理2.4.3 设 和 分别是 阶及 阶的循环 1G2Gmn群。则 是循环群的充要条件是 。12GG(,)1m n 证证 设 ，1Ga 2.Gb 假设 是循环群。12GG若 。则由于(,)1m nt,ordam,ordbn而 和 的阶都是，因此/m ta/n tbt 和 是循环群 中的两个不同/2,m tae/1,n te b12GG的 阶子群。t而这与第一章定理1.5.5的推论2相矛盾，所以 。(,)1m n 反之，假设 ，则(,)1m n 1212(,),ord a bm nmnGGGG所以 是 的生成元，(,)a b12GG因此 是循环群。12GG二、内直积二、内直积 定义定义2.4.
8、2 设 和 是群 的正规子群。如果 HKG群 满足条件:G,GHKHKe且则称 是 和 的内直积内直积(it internal direct product)。GHK 定理定理2.4.4 设 和 是 的子群。则 是 和 HKGGHK的内直积的充分必要条件是 满足如下两个条件:G (1)中每个元可惟一地表为 的形式，其中 Ghk,hH;kK (2)中任意元与 中任意元可交换，即:对任 HK意 ，有 。hHkKhkkh 证证 如果 是 和 的内直积，则 。所 GHKGHK以，中每个元 都可表为 的形式，其中 Gghk ，。如果 hHkK,ghkhkhH kK 则 ，从而 。因此 11hhkkHK1
9、1hhkke ，即条件(1)成立。hhkk 对任意的 ，考虑 ，hHkK11ghkh kG则由于 ，故 KG111()ghkhkKkK又由于 11(),gh kh khHH故 。所以 ，即 。于是gHgHKgehkkh条件(2)成立。反之，若 是 的子群，且条件(1)和(2)成立。,H KG则 。又对任意的 ，其中 GHK1hHghkG ，则由条件(2)，所以 hHkK11khhk于是 。同理可得 。HGKG 对任意的 ，有 gHKgegeg而由条件(1)，表为 的形式是惟一的，故得 ，ghkge即 从而 是 和 的内直积。HKeGHK111111111111()()()().gh ghk h
10、 hkhk h k hhhkk hhhhH 例例4 设 。则容 12122(,)|,()Gdiag A AA AGL R易验证:是 的子群。令 G4()GL R122(,)|()Hdiag A EAGL R22(,)|()Kdiag EAAGL R则 和 是 的正规子群。显然 ，且对 HKG4HKE，有12(,)diag A AG121222(,)(,)(,)diag A Adiag A Ediag EAHK所以由定义知 是 和 的内直积。GHK 例例5 将 自然地看作 的子群，设 3S4S(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23).K 则 是 的正规子群。显然，。因此 K4
11、S3(1)SK 334324SKS KSSK从而 。但是由于 不是 的正规子群，因此 43SS K3S4S 不是 和 的内直积。4S3SK 定理定理2.4.5 如果群 是正规子群 和 的内直 GHK积，则 ;反之，如果群 ，则存在。HKG12GGG 的正规子群 和 ，且 与 同构(=1，2)，使得 G1G2GiGiGi 是 与 的内直积。G1G2G 证证 如果群 是正规子群 和 的内直积。定义 GHK映射 :(,),(,).HKGh khkh kHK则由于 ，故 是满射。又由定理2.4.4知 中 GHKG 元表为 形式时表法惟一，故 是单射。又对任意的 hk1122(,),(,),h kh k
12、HK由于 中的元与 中的元可HK交换，故 11221 21 21 21 21 1221122(,)(,)(,)()()()()(,)(,).h kh khh k khhk khkh kh kh k 所以，是同构映射，从而HKG 如果 ，令 12GGG1121121222(,)|,(,)|Ga eaGGe aaG则容易验证 都是 的子群，且对任意的 12,G GG12(,)a aG12121212(,)(,)(,),a aa ee aGG 这一表法是惟一的。且对任意的 ，121(,)a eG，有 122(,)e aG1212121212(,)(,)(,)(,)(,)a ee aa ae aa e
13、所以由定理2.4.4知 是 与 的内直积。而 G1G2G1112:(,)aa e以及 2212:(,)ae a分别为 到 和 到 的同构映射。1G1G2G2G三、多个群的直积三、多个群的直积 定义定义2.4.3 设 是有限多个群。构造 12,nG GG12(,)|,1,2,.niGa aaaG in并在 中定义运算:G12121 12 2(,)(,)(,).nnnna aab bbab a ba b则 关于上述运算构成群，称为群 的外外 G12,nG GG直积。直积。定义定义2.4.4 设 是群 的有限多个 12,nH HHG正规子群。如果 满足以下两个条件，我们就称 是 GG 的内直积内直积:12,nH HH (1)121 2|;nniiGH HHhhhhH(2)121(),1,2,1.iiH HHHein 定理定理2.4.6 如果群 是有限多个子群 G 的内直积，则 同构于 的 12,nH HHG12,nH HH外直积。例例6 ，又由定理 465465()2.4.3，所以，我们有:6530465430同理，465465()见定理2.4.1(3)456()456()206.
